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一、填空题
1. 方程组$\begin{cases}x+2y=5, \\ y=2x\end{cases}$的解为 ______ 。
2. 方程组$\begin{cases}3x+2y=12, \\ 2x-y=1\end{cases}$的解为 ______ 。
1. 方程组$\begin{cases}x+2y=5, \\ y=2x\end{cases}$的解为 ______ 。
2. 方程组$\begin{cases}3x+2y=12, \\ 2x-y=1\end{cases}$的解为 ______ 。
答案
1.$\begin{cases} x=1, \\ y=2 \end{cases}$
2.$\begin{cases} x=2, \\ y=3 \end{cases}$
2.$\begin{cases} x=2, \\ y=3 \end{cases}$
解析
【分析】
这两道题均考查代入消元法解二元一次方程组。第1题已经直接给出用x表示y的式子，可直接将该式代入第一个方程，消去未知数y，得到关于x的一元一次方程，求出x的值后回代求y即可得到方程组的解；第2题先对第二个方程变形，用含x的代数式表示y，再代入第一个方程消去y，求出x的值后回代求y即可。
【解析】
1. 把$y=2x$代入$x+2y=5$，得：
$x+2×2x=5$
$x+4x=5$
$5x=5$
解得$x=1$
将$x=1$代入$y=2x$，得$y=2×1=2$
2. 由$2x-y=1$变形得$y=2x-1$，把$y=2x-1$代入$3x+2y=12$，得：
$3x+2(2x-1)=12$
$3x+4x-2=12$
$7x=14$
解得$x=2$
将$x=2$代入$y=2x-1$，得$y=2×2-1=3$
【答案】
1.$\begin{cases} x=1, \\ y=2 \end{cases}$
2.$\begin{cases} x=2, \\ y=3 \end{cases}$
【知识点】
1. 代入消元法
2. 解二元一次方程组
【点评】
这两道题是代入消元法的基础应用，解题核心是通过代入将二元方程转化为一元方程求解，熟练掌握代入消元的步骤即可快速解题，计算难度较低。
【难度系数】
0.9
这两道题均考查代入消元法解二元一次方程组。第1题已经直接给出用x表示y的式子，可直接将该式代入第一个方程，消去未知数y，得到关于x的一元一次方程，求出x的值后回代求y即可得到方程组的解；第2题先对第二个方程变形，用含x的代数式表示y，再代入第一个方程消去y，求出x的值后回代求y即可。
【解析】
1. 把$y=2x$代入$x+2y=5$，得：
$x+2×2x=5$
$x+4x=5$
$5x=5$
解得$x=1$
将$x=1$代入$y=2x$，得$y=2×1=2$
2. 由$2x-y=1$变形得$y=2x-1$，把$y=2x-1$代入$3x+2y=12$，得：
$3x+2(2x-1)=12$
$3x+4x-2=12$
$7x=14$
解得$x=2$
将$x=2$代入$y=2x-1$，得$y=2×2-1=3$
【答案】
1.$\begin{cases} x=1, \\ y=2 \end{cases}$
2.$\begin{cases} x=2, \\ y=3 \end{cases}$
【知识点】
1. 代入消元法
2. 解二元一次方程组
【点评】
这两道题是代入消元法的基础应用，解题核心是通过代入将二元方程转化为一元方程求解，熟练掌握代入消元的步骤即可快速解题，计算难度较低。
【难度系数】
0.9
3. 方程组$\begin{cases}u - v = 4, \\ 2u + v = -1\end{cases}$的解为 ______ .
4. 方程组$\begin{cases}2s + t = 5, \\ 3s - 2t = -3\end{cases}$的解为 ______ .
4. 方程组$\begin{cases}2s + t = 5, \\ 3s - 2t = -3\end{cases}$的解为 ______ .
答案
3.$\begin{cases} u=1, \\ v=-3 \end{cases}$
4.$\begin{cases} s=1, \\ t=3 \end{cases}$
4.$\begin{cases} s=1, \\ t=3 \end{cases}$
解析
【分析】
这两道题均考查用代入消元法解二元一次方程组，解题思路遵循代入消元的通用步骤：首先选取系数较简单的方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的代数式表示；再将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程；求解一元一次方程得到一个未知数的值，再回代求出另一个未知数的值即可。第3题可对第一个方程变形表示出u，第4题可对第一个方程变形表示出t，代入另一方程即可快速求解。
【解析】
第3题
方程组为$\begin{cases}u - v = 4&① \\ 2u + v = -1&②\end{cases}$
1. 由①变形得：$u = v + 4$ ③
2. 将③代入②得：$2(v+4) + v = -1$
展开计算：$2v + 8 + v = -1$，合并同类项得$3v = -9$，解得$v=-3$
3. 将$v=-3$代入③得：$u = -3 + 4 = 1$
因此方程组的解为$\begin{cases} u=1 \\ v=-3 \end{cases}$
第4题
方程组为$\begin{cases}2s + t = 5&① \\ 3s - 2t = -3&②\end{cases}$
1. 由①变形得：$t = 5 - 2s$ ③
2. 将③代入②得：$3s - 2(5-2s) = -3$
展开计算：$3s - 10 + 4s = -3$，合并同类项得$7s = 7$，解得$s=1$
3. 将$s=1$代入③得：$t = 5 - 2×1 = 3$
因此方程组的解为$\begin{cases} s=1 \\ t=3 \end{cases}$
【答案】
3.$\begin{cases} u=1, \\ v=-3 \end{cases}$；4.$\begin{cases} s=1, \\ t=3 \end{cases}$
【知识点】
代入消元法，二元一次方程组求解，一元一次方程解法
【点评】
这是代入消元法解二元一次方程组的基础题型，解题核心是选择系数简单的方程做变形，减少后续计算量，熟练掌握代入消元的步骤能为后续复杂方程组求解打下扎实基础。
【难度系数】
0.8
这两道题均考查用代入消元法解二元一次方程组，解题思路遵循代入消元的通用步骤：首先选取系数较简单的方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的代数式表示；再将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程；求解一元一次方程得到一个未知数的值，再回代求出另一个未知数的值即可。第3题可对第一个方程变形表示出u，第4题可对第一个方程变形表示出t，代入另一方程即可快速求解。
【解析】
第3题
方程组为$\begin{cases}u - v = 4&① \\ 2u + v = -1&②\end{cases}$
1. 由①变形得：$u = v + 4$ ③
2. 将③代入②得：$2(v+4) + v = -1$
展开计算：$2v + 8 + v = -1$，合并同类项得$3v = -9$，解得$v=-3$
3. 将$v=-3$代入③得：$u = -3 + 4 = 1$
因此方程组的解为$\begin{cases} u=1 \\ v=-3 \end{cases}$
第4题
方程组为$\begin{cases}2s + t = 5&① \\ 3s - 2t = -3&②\end{cases}$
1. 由①变形得：$t = 5 - 2s$ ③
2. 将③代入②得：$3s - 2(5-2s) = -3$
展开计算：$3s - 10 + 4s = -3$，合并同类项得$7s = 7$，解得$s=1$
3. 将$s=1$代入③得：$t = 5 - 2×1 = 3$
因此方程组的解为$\begin{cases} s=1 \\ t=3 \end{cases}$
【答案】
3.$\begin{cases} u=1, \\ v=-3 \end{cases}$；4.$\begin{cases} s=1, \\ t=3 \end{cases}$
【知识点】
代入消元法，二元一次方程组求解，一元一次方程解法
【点评】
这是代入消元法解二元一次方程组的基础题型，解题核心是选择系数简单的方程做变形，减少后续计算量，熟练掌握代入消元的步骤能为后续复杂方程组求解打下扎实基础。
【难度系数】
0.8
二、用代入法解下列方程组
5. $\begin{cases}2x+y=3, \\ y=2x-1\end{cases}$
6. $\begin{cases}3-2u=v, \\ v+3u=5\end{cases}$
7. $\begin{cases}m+n=0, \\ 3m+2n=8\end{cases}$
8. $\begin{cases}2a+b=-1, \\ 2b=1-a\end{cases}$
9. $\begin{cases}3x-y=-7, \\ 2y-5x=7\end{cases}$
10. $\begin{cases}3t+1=\dfrac{1}{2}(s+3), \\ s-7t=1\end{cases}$
11. $\begin{cases}3x-3y=5, \\ 3x+5y+11=0\end{cases}$
12. $\begin{cases}\dfrac{2x-1}{3}-\dfrac{y+2}{2}=4, \\ 2(3y-1)=5x+3\end{cases}$
5. $\begin{cases}2x+y=3, \\ y=2x-1\end{cases}$
6. $\begin{cases}3-2u=v, \\ v+3u=5\end{cases}$
7. $\begin{cases}m+n=0, \\ 3m+2n=8\end{cases}$
8. $\begin{cases}2a+b=-1, \\ 2b=1-a\end{cases}$
9. $\begin{cases}3x-y=-7, \\ 2y-5x=7\end{cases}$
10. $\begin{cases}3t+1=\dfrac{1}{2}(s+3), \\ s-7t=1\end{cases}$
11. $\begin{cases}3x-3y=5, \\ 3x+5y+11=0\end{cases}$
12. $\begin{cases}\dfrac{2x-1}{3}-\dfrac{y+2}{2}=4, \\ 2(3y-1)=5x+3\end{cases}$
答案
5.$\begin{cases} x=1, \\ y=1 \end{cases}$
6.$\begin{cases} u=2, \\ v=-1 \end{cases}$
7.$\begin{cases} m=8, \\ n=-8 \end{cases}$
8.$\begin{cases} a=-1, \\ b=1 \end{cases}$
9.$\begin{cases} x=-7, \\ y=-14 \end{cases}$
10.$\begin{cases} s=-13, \\ t=-2 \end{cases}$
11.$\begin{cases} x=-\dfrac{1}{3}, \\ y=-2 \end{cases}$
12.$\begin{cases} x=23, \\ y=20 \end{cases}$
6.$\begin{cases} u=2, \\ v=-1 \end{cases}$
7.$\begin{cases} m=8, \\ n=-8 \end{cases}$
8.$\begin{cases} a=-1, \\ b=1 \end{cases}$
9.$\begin{cases} x=-7, \\ y=-14 \end{cases}$
10.$\begin{cases} s=-13, \\ t=-2 \end{cases}$
11.$\begin{cases} x=-\dfrac{1}{3}, \\ y=-2 \end{cases}$
12.$\begin{cases} x=23, \\ y=20 \end{cases}$
解析
【分析】
代入法解二元一次方程组的核心是“消元”，将二元方程转化为我们熟悉的一元一次方程求解，通用解题步骤为：1. 选取方程组中系数较简单的方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的代数式表示；2. 将变形后的式子代入另一个未变形的方程，消去一个未知数得到一元一次方程；3. 解一元一次方程得到一个未知数的值；4. 将求得的未知数的值代回之前的变形式子，求出另一个未知数的值；5. 可代入原方程组检验解是否正确。下面逐题按步骤求解：
【解析】
5. $\begin{cases}2x+y=3&① \\ y=2x-1&②\end{cases}$
把②代入①得：$2x+(2x-1)=3$，
合并同类项得$4x=4$，解得$x=1$，
将$x=1$代入②得$y=2×1-1=1$，
故方程组解为$\begin{cases}x=1 \\ y=1\end{cases}$。
6. $\begin{cases}3-2u=v&① \\ v+3u=5&②\end{cases}$
把①代入②得：$3-2u+3u=5$，
合并同类项得$u=2$，
将$u=2$代入①得$v=3-2×2=-1$，
故方程组解为$\begin{cases}u=2 \\ v=-1\end{cases}$。
7. $\begin{cases}m+n=0&① \\ 3m+2n=8&②\end{cases}$
由①变形得$n=-m$③，
把③代入②得：$3m+2×(-m)=8$，
解得$m=8$，
将$m=8$代入③得$n=-8$，
故方程组解为$\begin{cases}m=8 \\ n=-8\end{cases}$。
8. $\begin{cases}2a+b=-1&① \\ 2b=1-a&②\end{cases}$
由①变形得$b=-1-2a$③，
把③代入②得：$2×(-1-2a)=1-a$，
整理得$-3a=3$，解得$a=-1$，
将$a=-1$代入③得$b=-1-2×(-1)=1$，
故方程组解为$\begin{cases}a=-1 \\ b=1\end{cases}$。
9. $\begin{cases}3x-y=-7&① \\ 2y-5x=7&②\end{cases}$
由①变形得$y=3x+7$③，
把③代入②得：$2(3x+7)-5x=7$，
整理得$x=-7$，
将$x=-7$代入③得$y=3×(-7)+7=-14$，
故方程组解为$\begin{cases}x=-7 \\ y=-14\end{cases}$。
10. $\begin{cases}3t+1=\dfrac{1}{2}(s+3)&① \\ s-7t=1&②\end{cases}$
由②变形得$s=1+7t$③，
把③代入①得：$3t+1=\dfrac{1}{2}(1+7t+3)$，
两边乘2消分母得$6t+2=7t+4$，解得$t=-2$，
将$t=-2$代入③得$s=1+7×(-2)=-13$，
故方程组解为$\begin{cases}s=-13 \\ t=-2\end{cases}$。
11. $\begin{cases}3x-3y=5&① \\ 3x+5y+11=0&②\end{cases}$
由①变形得$3x=5+3y$③，
把③代入②得：$5+3y+5y+11=0$，
整理得$8y=-16$，解得$y=-2$，
将$y=-2$代入③得$3x=5+3×(-2)=-1$，即$x=-\dfrac{1}{3}$，
故方程组解为$\begin{cases}x=-\dfrac{1}{3} \\ y=-2\end{cases}$。
12. $\begin{cases}\dfrac{2x-1}{3}-\dfrac{y+2}{2}=4&① \\ 2(3y-1)=5x+3&②\end{cases}$
先化简①：两边乘6得$2(2x-1)-3(y+2)=24$，整理得$4x-3y=32$③，
化简②得$6y-2=5x+3$，变形得$x=\dfrac{6y-5}{5}$④，
把④代入③得：$4×\dfrac{6y-5}{5}-3y=32$，
两边乘5消分母得$24y-20-15y=160$，整理得$9y=180$，解得$y=20$，
将$y=20$代入④得$x=\dfrac{6×20-5}{5}=23$，
故方程组解为$\begin{cases}x=23 \\ y=20\end{cases}$。
【答案】
5.$\begin{cases} x=1, \\ y=1 \end{cases}$
6.$\begin{cases} u=2, \\ v=-1 \end{cases}$
7.$\begin{cases} m=8, \\ n=-8 \end{cases}$
8.$\begin{cases} a=-1, \\ b=1 \end{cases}$
9.$\begin{cases} x=-7, \\ y=-14 \end{cases}$
10.$\begin{cases} s=-13, \\ t=-2 \end{cases}$
11.$\begin{cases} x=-\dfrac{1}{3}, \\ y=-2 \end{cases}$
12.$\begin{cases} x=23, \\ y=20 \end{cases}$
【知识点】
代入消元法解二元一次方程组、一元一次方程的解法、代数式化简
【点评】
本组题是代入消元法解二元一次方程组的专项训练，覆盖了直接代入、变形后代入、含分母/括号的方程组化简后代入等多种常见题型，熟练掌握消元步骤后，计算时注意去括号、去分母的符号规则，即可有效提升正确率。
【难度系数】
0.75
代入法解二元一次方程组的核心是“消元”，将二元方程转化为我们熟悉的一元一次方程求解，通用解题步骤为：1. 选取方程组中系数较简单的方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的代数式表示；2. 将变形后的式子代入另一个未变形的方程，消去一个未知数得到一元一次方程；3. 解一元一次方程得到一个未知数的值；4. 将求得的未知数的值代回之前的变形式子，求出另一个未知数的值；5. 可代入原方程组检验解是否正确。下面逐题按步骤求解：
【解析】
5. $\begin{cases}2x+y=3&① \\ y=2x-1&②\end{cases}$
把②代入①得：$2x+(2x-1)=3$，
合并同类项得$4x=4$，解得$x=1$，
将$x=1$代入②得$y=2×1-1=1$，
故方程组解为$\begin{cases}x=1 \\ y=1\end{cases}$。
6. $\begin{cases}3-2u=v&① \\ v+3u=5&②\end{cases}$
把①代入②得：$3-2u+3u=5$，
合并同类项得$u=2$，
将$u=2$代入①得$v=3-2×2=-1$，
故方程组解为$\begin{cases}u=2 \\ v=-1\end{cases}$。
7. $\begin{cases}m+n=0&① \\ 3m+2n=8&②\end{cases}$
由①变形得$n=-m$③，
把③代入②得：$3m+2×(-m)=8$，
解得$m=8$，
将$m=8$代入③得$n=-8$，
故方程组解为$\begin{cases}m=8 \\ n=-8\end{cases}$。
8. $\begin{cases}2a+b=-1&① \\ 2b=1-a&②\end{cases}$
由①变形得$b=-1-2a$③，
把③代入②得：$2×(-1-2a)=1-a$，
整理得$-3a=3$，解得$a=-1$，
将$a=-1$代入③得$b=-1-2×(-1)=1$，
故方程组解为$\begin{cases}a=-1 \\ b=1\end{cases}$。
9. $\begin{cases}3x-y=-7&① \\ 2y-5x=7&②\end{cases}$
由①变形得$y=3x+7$③，
把③代入②得：$2(3x+7)-5x=7$，
整理得$x=-7$，
将$x=-7$代入③得$y=3×(-7)+7=-14$，
故方程组解为$\begin{cases}x=-7 \\ y=-14\end{cases}$。
10. $\begin{cases}3t+1=\dfrac{1}{2}(s+3)&① \\ s-7t=1&②\end{cases}$
由②变形得$s=1+7t$③，
把③代入①得：$3t+1=\dfrac{1}{2}(1+7t+3)$，
两边乘2消分母得$6t+2=7t+4$，解得$t=-2$，
将$t=-2$代入③得$s=1+7×(-2)=-13$，
故方程组解为$\begin{cases}s=-13 \\ t=-2\end{cases}$。
11. $\begin{cases}3x-3y=5&① \\ 3x+5y+11=0&②\end{cases}$
由①变形得$3x=5+3y$③，
把③代入②得：$5+3y+5y+11=0$，
整理得$8y=-16$，解得$y=-2$，
将$y=-2$代入③得$3x=5+3×(-2)=-1$，即$x=-\dfrac{1}{3}$，
故方程组解为$\begin{cases}x=-\dfrac{1}{3} \\ y=-2\end{cases}$。
12. $\begin{cases}\dfrac{2x-1}{3}-\dfrac{y+2}{2}=4&① \\ 2(3y-1)=5x+3&②\end{cases}$
先化简①：两边乘6得$2(2x-1)-3(y+2)=24$，整理得$4x-3y=32$③，
化简②得$6y-2=5x+3$，变形得$x=\dfrac{6y-5}{5}$④，
把④代入③得：$4×\dfrac{6y-5}{5}-3y=32$，
两边乘5消分母得$24y-20-15y=160$，整理得$9y=180$，解得$y=20$，
将$y=20$代入④得$x=\dfrac{6×20-5}{5}=23$，
故方程组解为$\begin{cases}x=23 \\ y=20\end{cases}$。
【答案】
5.$\begin{cases} x=1, \\ y=1 \end{cases}$
6.$\begin{cases} u=2, \\ v=-1 \end{cases}$
7.$\begin{cases} m=8, \\ n=-8 \end{cases}$
8.$\begin{cases} a=-1, \\ b=1 \end{cases}$
9.$\begin{cases} x=-7, \\ y=-14 \end{cases}$
10.$\begin{cases} s=-13, \\ t=-2 \end{cases}$
11.$\begin{cases} x=-\dfrac{1}{3}, \\ y=-2 \end{cases}$
12.$\begin{cases} x=23, \\ y=20 \end{cases}$
【知识点】
代入消元法解二元一次方程组、一元一次方程的解法、代数式化简
【点评】
本组题是代入消元法解二元一次方程组的专项训练，覆盖了直接代入、变形后代入、含分母/括号的方程组化简后代入等多种常见题型，熟练掌握消元步骤后，计算时注意去括号、去分母的符号规则，即可有效提升正确率。
【难度系数】
0.75
