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17 如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,F是边AD上的一个动点,将△AEF沿EF折叠得到△HEF,延长FH交BC于点M,连接EM.有下列结论:①△EFM一定是直角三角形;②△BEM≌△HEM;③当点M与点C重合时,$AF=\frac{1}{3}DF$;④MF平分正方形ABCD的面积;⑤$4FH· MH=AB^2$.其中,正确的是
①②③⑤
(填序号).答案
17. ①②③⑤
解析
【分析】
本题是正方形背景下的折叠综合题，解题核心是利用折叠的性质得到对应边、对应角相等，再结合正方形的性质、全等三角形判定、勾股定理逐个验证结论：
1. 先利用折叠得$AE=EH$、$∠ EHF=∠ A=90°$，结合E是AB中点得$EB=EH$，用HL证明$△ EBM ≌ △ EHM$，得到角相等，进而推出$∠ FEM=90°$判断①②；
2. 设正方形边长为参数，当M与C重合时，用勾股定理列方程求AF和DF的数量关系判断③；
3. 结合平分正方形面积的直线必过正方形中心的特点，根据F是动点判断④；
4. 利用直角三角形斜边上的高对应的相似关系推导边的关系判断⑤。
【解析】
逐个分析结论：
1. 验证①②：
由折叠性质得$△ AEF ≌ △ HEF$，因此$AE=EH$，$∠ A=∠ EHF=90°$，$∠ AEF=∠ HEF$。
∵E是AB中点，
∴$AE=EB$，即$EB=EH$。
又$∠ B=∠ EHM=90°$，$EM=EM$，
∴$\mathrm{Rt}△ BEM ≌ \mathrm{Rt}△ HEM (\mathrm{HL})$，故②正确。
由全等得$∠ BEM=∠ HEM$，
∵$∠ AEF+∠ HEF+∠ HEM+∠ BEM=180°$，
∴$2(∠ HEF+∠ HEM)=180°$，即$∠ FEM=90°$，$△ EFM$是直角三角形，故①正确。
2. 验证③：
设正方形边长为$2a$，$AF=x$，则$DF=2a-x$。当M与C重合时，$BM=BC=2a$。
由$△ BEM ≌ △ HEM$得$HM=BM=2a$，由折叠得$FH=AF=x$，因此$FM=x+2a$。
在$\mathrm{Rt}△ FDC$中，$FD^2+DC^2=FC^2$（$FC=FM$），代入得：
$(2a-x)^2+(2a)^2=(x+2a)^2$
展开化简得$4a^2=8ax$，解得$x=\frac{a}{2}$，即$AF=\frac{a}{2}$，$DF=2a-\frac{a}{2}=\frac{3a}{2}$，因此$AF=\frac{1}{3}DF$，故③正确。
3. 验证④：
平分正方形面积的直线必过正方形的中心，F是AD上的动点，直线FM不一定经过正方形中心，故④错误。
4. 验证⑤：
在$\mathrm{Rt}△ EFM$中，$EH ⊥ FM$，因此$△ EFH ∽ △ MEH$，可得$\frac{EH}{FH}=\frac{MH}{EH}$，即$EH^2=FH· MH$。
∵$EH=AE=\frac{1}{2}AB$，代入得$(\frac{1}{2}AB)^2=FH· MH$，整理得$4FH· MH=AB^2$，故⑤正确。
【答案】
①②③⑤
【知识点】
正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合类常见题型，将折叠变换与正方形性质结合，考查了全等三角形、勾股定理、相似三角形的应用，解题关键是抓住折叠前后的不变量，逐个推导验证结论。
【难度系数】
0.6
本题是正方形背景下的折叠综合题，解题核心是利用折叠的性质得到对应边、对应角相等，再结合正方形的性质、全等三角形判定、勾股定理逐个验证结论：
1. 先利用折叠得$AE=EH$、$∠ EHF=∠ A=90°$，结合E是AB中点得$EB=EH$，用HL证明$△ EBM ≌ △ EHM$，得到角相等，进而推出$∠ FEM=90°$判断①②；
2. 设正方形边长为参数，当M与C重合时，用勾股定理列方程求AF和DF的数量关系判断③；
3. 结合平分正方形面积的直线必过正方形中心的特点，根据F是动点判断④；
4. 利用直角三角形斜边上的高对应的相似关系推导边的关系判断⑤。
【解析】
逐个分析结论：
1. 验证①②：
由折叠性质得$△ AEF ≌ △ HEF$，因此$AE=EH$，$∠ A=∠ EHF=90°$，$∠ AEF=∠ HEF$。
∵E是AB中点，
∴$AE=EB$，即$EB=EH$。
又$∠ B=∠ EHM=90°$，$EM=EM$，
∴$\mathrm{Rt}△ BEM ≌ \mathrm{Rt}△ HEM (\mathrm{HL})$，故②正确。
由全等得$∠ BEM=∠ HEM$，
∵$∠ AEF+∠ HEF+∠ HEM+∠ BEM=180°$，
∴$2(∠ HEF+∠ HEM)=180°$，即$∠ FEM=90°$，$△ EFM$是直角三角形，故①正确。
2. 验证③：
设正方形边长为$2a$，$AF=x$，则$DF=2a-x$。当M与C重合时，$BM=BC=2a$。
由$△ BEM ≌ △ HEM$得$HM=BM=2a$，由折叠得$FH=AF=x$，因此$FM=x+2a$。
在$\mathrm{Rt}△ FDC$中，$FD^2+DC^2=FC^2$（$FC=FM$），代入得：
$(2a-x)^2+(2a)^2=(x+2a)^2$
展开化简得$4a^2=8ax$，解得$x=\frac{a}{2}$，即$AF=\frac{a}{2}$，$DF=2a-\frac{a}{2}=\frac{3a}{2}$，因此$AF=\frac{1}{3}DF$，故③正确。
3. 验证④：
平分正方形面积的直线必过正方形的中心，F是AD上的动点，直线FM不一定经过正方形中心，故④错误。
4. 验证⑤：
在$\mathrm{Rt}△ EFM$中，$EH ⊥ FM$，因此$△ EFH ∽ △ MEH$，可得$\frac{EH}{FH}=\frac{MH}{EH}$，即$EH^2=FH· MH$。
∵$EH=AE=\frac{1}{2}AB$，代入得$(\frac{1}{2}AB)^2=FH· MH$，整理得$4FH· MH=AB^2$，故⑤正确。
【答案】
①②③⑤
【知识点】
正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合类常见题型，将折叠变换与正方形性质结合，考查了全等三角形、勾股定理、相似三角形的应用，解题关键是抓住折叠前后的不变量，逐个推导验证结论。
【难度系数】
0.6
18 如图,在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ A=90°$,内有边长分别为 $a,b,c$ 的三个正方形.
(1) 求证: $△ DSF ∽ △ MTP$;
(2) 若 $a=1,c=2$,求 $b$ 的值.
(1) 求证: $△ DSF ∽ △ MTP$;
(2) 若 $a=1,c=2$,求 $b$ 的值.
答案
(1) $\because$ 四边形DSGE和四边形TPQN是正方形,$\therefore$ 易得$DS// BC// PT. \therefore ∠ FDS=∠ B, ∠ MPT=∠ C$. 又$\because ∠ C+∠ B=90°, ∠ FDS+∠ DFS=90°, ∠ MPT+∠ PMT=90°$,
$\therefore ∠ FDS=∠ PMT, ∠ DFS=∠ MPT. \therefore △ DSF ∽ △ MTP$
(2) 由(1),知$△ DSF ∽ △ MTP, \therefore \frac{DS}{MT}=\frac{FS}{PT}. \therefore \frac{a}{b-c}=\frac{b-a}{c}. \therefore ac=(b-c)(b-a). \therefore b^2=ab+bc=b(a+c). \therefore b=a+c=1+2=3$
$\therefore ∠ FDS=∠ PMT, ∠ DFS=∠ MPT. \therefore △ DSF ∽ △ MTP$
(2) 由(1),知$△ DSF ∽ △ MTP, \therefore \frac{DS}{MT}=\frac{FS}{PT}. \therefore \frac{a}{b-c}=\frac{b-a}{c}. \therefore ac=(b-c)(b-a). \therefore b^2=ab+bc=b(a+c). \therefore b=a+c=1+2=3$
解析
【分析】
(1) 要证明△DSF∽△MTP，可采用两角对应相等判定相似的思路：先利用正方形对边平行的性质，结合Rt△ABC两锐角互余的特点，推导两个三角形的两组对应角相等即可完成证明。
(2) 利用相似三角形对应边成比例的性质，先确定两个三角形的对应边，将各边用含a、b、c的式子表示后代入比例式，化简推导得到b与a、c的关系，再代入a=1、c=2即可求出b的值。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形DSGE和四边形TPQN是正方形，
∴DS//BC，PT//BC，
∴∠FDS=∠B，∠MPT=∠C。
又
∵在Rt△ABC中，∠A=90°，
∴∠C+∠B=90°。
∵∠FDS+∠DFS=90°，∠MPT+∠PMT=90°，
∴∠FDS=∠PMT，∠DFS=∠MPT，
∴△DSF∽△MTP。
(2) 解：由(1)知△DSF∽△MTP，
∴对应边成比例，即$\frac{DS}{MT}=\frac{FS}{PT}$。
由正方形边长可知：DS=a，MT=b-c，FS=b-a，PT=c，代入得$\frac{a}{b-c}=\frac{b-a}{c}$，
交叉相乘得：$ac=(b-c)(b-a)$，
展开整理得：$ac=b^2 -ab -bc +ac$，
消去等号两边的ac，移项得：$b^2 =ab +bc =b(a+c)$，
∵b为正方形边长，b≠0，两边同时除以b得：$b=a+c$，
代入a=1，c=2，得$b=1+2=3$。
【答案】
(1) 已证△DSF∽△MTP；(2) $\boldsymbol{b=3}$
【知识点】
正方形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题将正方形的性质和相似三角形的知识相结合，解题的核心是准确找到相似三角形的对应角与对应边，通过比例式推导边长关系，能有效考查几何基础知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△DSF∽△MTP，可采用两角对应相等判定相似的思路：先利用正方形对边平行的性质，结合Rt△ABC两锐角互余的特点，推导两个三角形的两组对应角相等即可完成证明。
(2) 利用相似三角形对应边成比例的性质，先确定两个三角形的对应边，将各边用含a、b、c的式子表示后代入比例式，化简推导得到b与a、c的关系，再代入a=1、c=2即可求出b的值。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形DSGE和四边形TPQN是正方形，
∴DS//BC，PT//BC，
∴∠FDS=∠B，∠MPT=∠C。
又
∵在Rt△ABC中，∠A=90°，
∴∠C+∠B=90°。
∵∠FDS+∠DFS=90°，∠MPT+∠PMT=90°，
∴∠FDS=∠PMT，∠DFS=∠MPT，
∴△DSF∽△MTP。
(2) 解：由(1)知△DSF∽△MTP，
∴对应边成比例，即$\frac{DS}{MT}=\frac{FS}{PT}$。
由正方形边长可知：DS=a，MT=b-c，FS=b-a，PT=c，代入得$\frac{a}{b-c}=\frac{b-a}{c}$，
交叉相乘得：$ac=(b-c)(b-a)$，
展开整理得：$ac=b^2 -ab -bc +ac$，
消去等号两边的ac，移项得：$b^2 =ab +bc =b(a+c)$，
∵b为正方形边长，b≠0，两边同时除以b得：$b=a+c$，
代入a=1，c=2，得$b=1+2=3$。
【答案】
(1) 已证△DSF∽△MTP；(2) $\boldsymbol{b=3}$
【知识点】
正方形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题将正方形的性质和相似三角形的知识相结合，解题的核心是准确找到相似三角形的对应角与对应边，通过比例式推导边长关系，能有效考查几何基础知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
19 小明想用镜子测量一棵树的高度.如图,他第一次把镜子放在点C处,人在点F处时正好在镜子中看到树顶A;第二次把镜子放在点D处,人在点H处正好在镜子中看到树顶A.已知小明的眼睛距离地面1.7 m,量得$CD=12\ \mathrm{m}$,$FC=1.8\ \mathrm{m}$,$DH=3.8\ \mathrm{m}$,求这棵树的高度.
答案
由题意,得$∠ ECF=∠ ACB, ∠ GDH=∠ ADB. \because AB⊥ BC, EF⊥ BC, GH⊥ BC, \therefore ∠ ABC=∠ EFC=∠ GHD=90°$.
$\therefore △ FEC ∽ △ BAC, △ GDH ∽ △ ADB. \therefore \frac{EF}{AB}=\frac{FC}{BC}, \frac{GH}{AB}=\frac{DH}{DB}$. 设$AB=x\ \mathrm{m}, BC=y\ \mathrm{m}$,则$\begin{cases}\frac{1.7}{x}=\frac{1.8}{y},\\\frac{1.7}{x}=\frac{3.8}{y+12}.\end{cases} \therefore \begin{cases}x=10.2,\\y=10.8.\end{cases}$
$\therefore$ 这棵树的高度为10.2 m
$\therefore △ FEC ∽ △ BAC, △ GDH ∽ △ ADB. \therefore \frac{EF}{AB}=\frac{FC}{BC}, \frac{GH}{AB}=\frac{DH}{DB}$. 设$AB=x\ \mathrm{m}, BC=y\ \mathrm{m}$,则$\begin{cases}\frac{1.7}{x}=\frac{1.8}{y},\\\frac{1.7}{x}=\frac{3.8}{y+12}.\end{cases} \therefore \begin{cases}x=10.2,\\y=10.8.\end{cases}$
$\therefore$ 这棵树的高度为10.2 m
解析
【分析】
本题是利用相似三角形测量物体高度的实际问题，解题时首先根据镜面反射“入射角等于反射角”得到两组相等的角，再结合垂直条件得到直角相等，即可证明两组三角形相似；接着根据相似三角形对应边成比例得到两个比例式，由于两个比例式中都含有树高AB和BC的长度，因此设AB和BC为未知数，联立方程组求解即可得到树高。
【解析】
由镜面反射原理可得：$∠ ECF=∠ ACB$，$∠ GDH=∠ ADB$。
$\because AB⊥ BC$，$EF⊥ BC$，$GH⊥ BC$，
$\therefore ∠ ABC=∠ EFC=∠ GHD=90°$，
$\therefore △ FEC ∽ △ BAC$，$△ GDH ∽ △ ADB$，
根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{EF}{AB}=\frac{FC}{BC}$，$\frac{GH}{AB}=\frac{DH}{DB}$。
设树高$AB=x\ \mathrm{m}$，$BC=y\ \mathrm{m}$，已知$EF=GH=1.7\ \mathrm{m}$，$FC=1.8\ \mathrm{m}$，$DH=3.8\ \mathrm{m}$，$CD=12\ \mathrm{m}$，$DB=y+12$，代入得：
$\begin{cases}\frac{1.7}{x}=\frac{1.8}{y}\\\frac{1.7}{x}=\frac{3.8}{y+12}\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=10.2\\y=10.8\end{cases}$
【答案】
$\boxed{10.2\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用题，解题时需要结合镜面反射的原理找到相等的角，准确识别相似三角形的对应边，列出比例式后通过联立方程组即可求解，能有效考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.6
本题是利用相似三角形测量物体高度的实际问题，解题时首先根据镜面反射“入射角等于反射角”得到两组相等的角，再结合垂直条件得到直角相等，即可证明两组三角形相似；接着根据相似三角形对应边成比例得到两个比例式，由于两个比例式中都含有树高AB和BC的长度，因此设AB和BC为未知数，联立方程组求解即可得到树高。
【解析】
由镜面反射原理可得：$∠ ECF=∠ ACB$，$∠ GDH=∠ ADB$。
$\because AB⊥ BC$，$EF⊥ BC$，$GH⊥ BC$，
$\therefore ∠ ABC=∠ EFC=∠ GHD=90°$，
$\therefore △ FEC ∽ △ BAC$，$△ GDH ∽ △ ADB$，
根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{EF}{AB}=\frac{FC}{BC}$，$\frac{GH}{AB}=\frac{DH}{DB}$。
设树高$AB=x\ \mathrm{m}$，$BC=y\ \mathrm{m}$，已知$EF=GH=1.7\ \mathrm{m}$，$FC=1.8\ \mathrm{m}$，$DH=3.8\ \mathrm{m}$，$CD=12\ \mathrm{m}$，$DB=y+12$，代入得：
$\begin{cases}\frac{1.7}{x}=\frac{1.8}{y}\\\frac{1.7}{x}=\frac{3.8}{y+12}\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=10.2\\y=10.8\end{cases}$
【答案】
$\boxed{10.2\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用题，解题时需要结合镜面反射的原理找到相等的角，准确识别相似三角形的对应边，列出比例式后通过联立方程组即可求解，能有效考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.6
20 如图,在矩形ABCD中,E为CD的中点,H为BE上一点,$\frac{EH}{BH}=3$,连接CH并延长,交AB于点G,连接GE并延长,交AD的延长线于点F.
(1) 求证:$\frac{EC}{BG}=\frac{EH}{BH}$;
(2) 若$∠ CGF=90°$,求$\frac{AB}{BC}$的值.
(1) 求证:$\frac{EC}{BG}=\frac{EH}{BH}$;
(2) 若$∠ CGF=90°$,求$\frac{AB}{BC}$的值.
答案
(1) $\because$ 四边形ABCD是矩形,$\therefore CD// AB. \therefore ∠ CEH=∠ GBH$. 又$\because ∠ EHC=∠ BHG, \therefore △ CEH ∽ △ GBH$.
$\therefore \frac{EC}{BG}=\frac{EH}{BH}$
(2) 过点E作$EM⊥ AB$于点M,则易知$EM=BC=AD, AM=DE. \because E$为CD的中点,$\therefore DE=EC$. 设$DE=EC=3a(a＞0)$,则由四边形ABCD是矩形,可知$AB=CD=6a$. 由(1),得$\frac{EC}{BG}=\frac{EH}{BH}=3, \therefore BG=\frac{1}{3}EC=a. \therefore AG=5a$.
$\because$ 易得$∠ EDF=∠ EGC=90°, ∠ DEF=∠ GEC, \therefore △ DEF ∽ △ GEC. \therefore \frac{DE}{GE}=\frac{EF}{EC}. \therefore GE · EF=DE · EC. \because CD// AB, \therefore$ 易得$△ FDE ∽ △ FAG. \therefore \frac{EF}{GF}=\frac{DE}{AG}=\frac{3a}{5a}=\frac{3}{5}. \therefore \frac{EF}{GE}=\frac{3}{2}$.
$\therefore EF=\frac{3}{2}GE. \therefore GE · \frac{3}{2}GE=3a · 3a. \therefore GE=\sqrt{6}a. \because$ 在$\mathrm{Rt}△ EMG$中,易得$GM=2a, \therefore EM=\sqrt{GE^2-GM^2}=\sqrt{2}a$.
$\therefore BC=\sqrt{2}a. \therefore \frac{AB}{BC}=\frac{6a}{\sqrt{2}a}=3\sqrt{2}$
$\therefore \frac{EC}{BG}=\frac{EH}{BH}$
(2) 过点E作$EM⊥ AB$于点M,则易知$EM=BC=AD, AM=DE. \because E$为CD的中点,$\therefore DE=EC$. 设$DE=EC=3a(a＞0)$,则由四边形ABCD是矩形,可知$AB=CD=6a$. 由(1),得$\frac{EC}{BG}=\frac{EH}{BH}=3, \therefore BG=\frac{1}{3}EC=a. \therefore AG=5a$.
$\because$ 易得$∠ EDF=∠ EGC=90°, ∠ DEF=∠ GEC, \therefore △ DEF ∽ △ GEC. \therefore \frac{DE}{GE}=\frac{EF}{EC}. \therefore GE · EF=DE · EC. \because CD// AB, \therefore$ 易得$△ FDE ∽ △ FAG. \therefore \frac{EF}{GF}=\frac{DE}{AG}=\frac{3a}{5a}=\frac{3}{5}. \therefore \frac{EF}{GE}=\frac{3}{2}$.
$\therefore EF=\frac{3}{2}GE. \therefore GE · \frac{3}{2}GE=3a · 3a. \therefore GE=\sqrt{6}a. \because$ 在$\mathrm{Rt}△ EMG$中,易得$GM=2a, \therefore EM=\sqrt{GE^2-GM^2}=\sqrt{2}a$.
$\therefore BC=\sqrt{2}a. \therefore \frac{AB}{BC}=\frac{6a}{\sqrt{2}a}=3\sqrt{2}$
解析
【分析】
(1) 要证明比例式$\frac{EC}{BG}=\frac{EH}{BH}$，可通过证明包含这四条边的两个三角形相似实现。结合矩形对边平行的性质，可得$CD// AB$，进而得到两组对应角相等，即可证$△ CEH ∽ △ GBH$，利用相似三角形对应边成比例即可得证。
(2) 求$\frac{AB}{BC}$的值，可采用参数法设未知量：先设$DE=EC=3a$，结合(1)的结论求出$BG$、$AG$的长度；再根据$∠CGF=90°$找到相似三角形$△ DEF ∽ △ GEC$、$△ FDE ∽ △ FAG$，推导得到$GE$的长度；最后过E作$EM⊥AB$，在$Rt△ EMG$中用勾股定理求出$EM$（即$BC$）的长度，代入比值计算即可。
【解析】
(1) 证明：$\because$ 四边形ABCD是矩形，$\therefore CD// AB$，
$\therefore ∠CEH=∠GBH$，
又$\because ∠EHC=∠BHG$（对顶角相等），
$\therefore △CEH ∽ △GBH$，
$\therefore \frac{EC}{BG}=\frac{EH}{BH}$。
(2) 解：过点E作$EM⊥AB$于点M，
$\because$ 四边形ABCD是矩形，$\therefore EM=BC=AD$，$AM=DE$，
$\because E$为CD的中点，$\therefore DE=EC$，
设$DE=EC=3a(a＞0)$，则$AB=CD=DE+EC=6a$，
由(1)得$\frac{EC}{BG}=\frac{EH}{BH}=3$，$\therefore BG=\frac{1}{3}EC=a$，
$\therefore AG=AB-BG=6a-a=5a$。
$\because ∠CGF=90°$，$\therefore ∠EGC=90°$，又$\because$ 矩形ABCD中$∠EDF=90°$，
$\therefore ∠EDF=∠EGC$，
又$\because ∠DEF=∠GEC$（对顶角相等），
$\therefore △DEF ∽ △GEC$，
$\therefore \frac{DE}{GE}=\frac{EF}{EC}$，即$GE·EF=DE·EC=3a·3a=9a^2$。
$\because CD// AB$，$\therefore △FDE ∽ △FAG$，
$\therefore \frac{EF}{GF}=\frac{DE}{AG}=\frac{3a}{5a}=\frac{3}{5}$，
设$EF=3k$，则$GF=5k$，$\therefore GE=GF-EF=2k$，
$\therefore \frac{EF}{GE}=\frac{3k}{2k}=\frac{3}{2}$，即$EF=\frac{3}{2}GE$，
代入$GE·EF=9a^2$得：$GE·\frac{3}{2}GE=9a^2$，解得$GE^2=6a^2$，即$GE=\sqrt{6}a$。
在$Rt△ EMG$中，$GM=AB-AM-BG=6a-3a-a=2a$，
由勾股定理得：$EM=\sqrt{GE^2-GM^2}=\sqrt{6a^2-(2a)^2}=\sqrt{2}a$，
$\therefore BC=EM=\sqrt{2}a$，
$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{6a}{\sqrt{2}a}=3\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $3\sqrt{2}$
【知识点】
矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，第一问较为基础，直接利用矩形性质和相似三角形判定即可求解；第二问结合参数法、相似三角形性质和勾股定理求解线段比值，对几何逻辑推理能力有一定要求，是典型的中点类几何综合题型。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明比例式$\frac{EC}{BG}=\frac{EH}{BH}$，可通过证明包含这四条边的两个三角形相似实现。结合矩形对边平行的性质，可得$CD// AB$，进而得到两组对应角相等，即可证$△ CEH ∽ △ GBH$，利用相似三角形对应边成比例即可得证。
(2) 求$\frac{AB}{BC}$的值，可采用参数法设未知量：先设$DE=EC=3a$，结合(1)的结论求出$BG$、$AG$的长度；再根据$∠CGF=90°$找到相似三角形$△ DEF ∽ △ GEC$、$△ FDE ∽ △ FAG$，推导得到$GE$的长度；最后过E作$EM⊥AB$，在$Rt△ EMG$中用勾股定理求出$EM$（即$BC$）的长度，代入比值计算即可。
【解析】
(1) 证明：$\because$ 四边形ABCD是矩形，$\therefore CD// AB$，
$\therefore ∠CEH=∠GBH$，
又$\because ∠EHC=∠BHG$（对顶角相等），
$\therefore △CEH ∽ △GBH$，
$\therefore \frac{EC}{BG}=\frac{EH}{BH}$。
(2) 解：过点E作$EM⊥AB$于点M，
$\because$ 四边形ABCD是矩形，$\therefore EM=BC=AD$，$AM=DE$，
$\because E$为CD的中点，$\therefore DE=EC$，
设$DE=EC=3a(a＞0)$，则$AB=CD=DE+EC=6a$，
由(1)得$\frac{EC}{BG}=\frac{EH}{BH}=3$，$\therefore BG=\frac{1}{3}EC=a$，
$\therefore AG=AB-BG=6a-a=5a$。
$\because ∠CGF=90°$，$\therefore ∠EGC=90°$，又$\because$ 矩形ABCD中$∠EDF=90°$，
$\therefore ∠EDF=∠EGC$，
又$\because ∠DEF=∠GEC$（对顶角相等），
$\therefore △DEF ∽ △GEC$，
$\therefore \frac{DE}{GE}=\frac{EF}{EC}$，即$GE·EF=DE·EC=3a·3a=9a^2$。
$\because CD// AB$，$\therefore △FDE ∽ △FAG$，
$\therefore \frac{EF}{GF}=\frac{DE}{AG}=\frac{3a}{5a}=\frac{3}{5}$，
设$EF=3k$，则$GF=5k$，$\therefore GE=GF-EF=2k$，
$\therefore \frac{EF}{GE}=\frac{3k}{2k}=\frac{3}{2}$，即$EF=\frac{3}{2}GE$，
代入$GE·EF=9a^2$得：$GE·\frac{3}{2}GE=9a^2$，解得$GE^2=6a^2$，即$GE=\sqrt{6}a$。
在$Rt△ EMG$中，$GM=AB-AM-BG=6a-3a-a=2a$，
由勾股定理得：$EM=\sqrt{GE^2-GM^2}=\sqrt{6a^2-(2a)^2}=\sqrt{2}a$，
$\therefore BC=EM=\sqrt{2}a$，
$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{6a}{\sqrt{2}a}=3\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $3\sqrt{2}$
【知识点】
矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，第一问较为基础，直接利用矩形性质和相似三角形判定即可求解；第二问结合参数法、相似三角形性质和勾股定理求解线段比值，对几何逻辑推理能力有一定要求，是典型的中点类几何综合题型。
【难度系数】
0.6
