10. 如图所示为一个正方体的平面展开图，如果将这个展开图折成正方体后，相对面上的两个数互为相反数，求$x^2 + y$的值。（第10题）

10. 由题图,得“$a$”与“2”相对,“$y$”与“4”相对,“$x$”与“$1+a$”相对.因为相对面上的两个数互为相反数,所以 $a=-2$,$y=-4$,$x=-(1+a)$,解得 $x=1$.所以 $x^2 + y=1^2 -4=-3$.

11. ★某产品的形状是长方体，它的长为8 cm，平面展开图如图所示，求这个长方体的体积.

11. 设这个长方体的高为 $x$ cm,则宽为 $(14-2x)\mathrm{cm}$. 根据题意,得 $14-2x+8+x+8=26$,解得 $x=4$,则 $14-2x=6$. 所以这个长方体的高为 4 cm,宽为 6 cm. 所以这个长方体的体积为 $8×6×4=192(\mathrm{cm}^3)$.
方法归纳
解决长方体平面展开图问题的一般方法
解决这类问题的一般方法是抓住隐含的相等关系,建立方程求得长方体的长、宽、高,从而解决问题.本题中隐含着“两个高+一个宽=14 cm”和“两个长+一个宽+一个高=26 cm”.因此,可建立以长方体的高为未知数的一元一次方程,从而解决问题.

12. [2025 扬州邗江期末][动手操作]
在手工制作课上，老师提供了如图①所示的长方形卡纸ABCD，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒.小明按照图②的方式裁剪(其中$AE=BF$)，恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图③所示.

(1) 按照图②的方式裁剪，若原长方形卡纸中AD的长为30 cm，求出原卡纸中AB的长.
(2) 如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图④所示，那么应选择的纸盒展开图图样是.

[拓展延伸]
(3) 若有盖长方体的长、宽、高分别为8,5,4，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为.

12. (1) 如图①,由题意,可得 $AE=BF$,$GH=2AE$,所以 $AB=EF+2AE$. 因为四边形 $EFKJ$ 是正方形,且 $AG=EJ$,所以 $EF=EJ=AG$. 因为 $AD=2AG+2GH=2EF+4AE=30\ \mathrm{cm}$,所以 $EF+2AE=15\ \mathrm{cm}$,即 $AB=15\ \mathrm{cm}$.
(2) C. 根据几何体的展开图可知,“祥”和“意”在相对面的相同位置上,“吉”和“如”在相对面的相同位置上,且字体相反,可知只有选项 C 符合题意.
(3) 92. 如图②(展开方法不唯一),周长为 $8×8+5×4+4×2=64+20+8=92$. 所以长方体表面展开图的最大外围周长为 92.