1.已知点$A(-2,0),B(4,0),C(-4,4)$，则三角形ABC的面积为。

1. 12

【分析】
解题时先观察三个点的坐标特征，发现点A、B的纵坐标均为0，说明两点都在x轴上，因此可以将AB作为三角形的底边，AB的长度可通过两点横坐标的差的绝对值求出；由于AB在x轴上，AB边上的高就是点C到x轴的垂直距离，即点C纵坐标的绝对值，最后代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
解：
∵点$A(-2,0)$、$B(4,0)$的纵坐标都为0，
∴边AB在x轴上，AB的长度为：$AB = |4 - (-2)| = 6$，
点$C(-4,4)$到x轴（即AB边所在直线）的距离为C点纵坐标的绝对值，即高$h = |4| = 4$，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×h=\frac{1}{2}×6×4=12$。
【答案】
12
【知识点】
坐标与图形性质，三角形面积计算，点到坐标轴的距离
【点评】
本题是坐标求图形面积的基础题型，解题的关键是抓住坐标特征选择合适的底边和对应高，能够大幅简化计算，避免使用繁琐的割补法求解。
【难度系数】
0.8

2. 在如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,三角形ABC的三个顶点恰好是正方形网格的格点.
(1)写出三角形ABC各顶点的坐标；
(2)求出此三角形的面积.

2.【解】(1)$A(3,3),B(-2,-2),C(4,-3)$.
(2)如图所示.
$S_{三角形ABC}=S_{正方形DECF}-S_{三角形BEC}-S_{三角形ADB}-S_{三角形AFC}=6×6-\frac{1}{2}×6×1-\frac{1}{2}×5×5-\frac{1}{2}×6×1=\frac{35}{2}.$

【分析】
(1) 求平面直角坐标系内点的坐标时，横坐标是点向x轴作垂线，垂足对应的x轴数值，向右为正、向左为负；纵坐标是点向y轴作垂线，垂足对应的y轴数值，向上为正、向下为负，据此读取三个顶点的坐标即可。
(2) 网格中不规则三角形的面积无法直接用底乘高计算时，常用割补法求解：将三角形补成一个边长为6的正方形DECF，先计算正方形的面积，再减去正方形内三角形ABC周围三个直角三角形的面积，剩余部分就是三角形ABC的面积。
【解析】
(1) 观察各点在坐标系中的位置：
点A的横坐标为3，纵坐标为3，即$A(3,3)$；
点B的横坐标为-2，纵坐标为-2，即$B(-2,-2)$；
点C的横坐标为4，纵坐标为-3，即$C(4,-3)$。
(2) 采用补形法计算面积，如图构造正方形DECF：
正方形DECF的边长为$4 - (-2) = 6$（或$3 - (-3) = 6$），面积为$6×6=36$；
三角形BEC的底为6，高为$\left|-2 - (-3)\right|=1$，面积为$\frac{1}{2}×6×1=3$；
三角形ADB的两条直角边均为$3 - (-2)=5$，面积为$\frac{1}{2}×5×5=\frac{25}{2}$；
三角形AFC的高为$4-3=1$，底为$3 - (-3)=6$，面积为$\frac{1}{2}×6×1=3$；
因此$S_{△ ABC}=S_{正方形DECF}-S_{△ BEC}-S_{△ ADB}-S_{△ AFC}=36 - 3 - \frac{25}{2} - 3=\frac{35}{2}$。
【答案】
(1)$A(3,3),B(-2,-2),C(4,-3)$
(2)如图所示.
$S_{三角形ABC}=S_{正方形DECF}-S_{三角形BEC}-S_{三角形ADB}-S_{三角形AFC}=6×6-\frac{1}{2}×6×1-\frac{1}{2}×5×5-\frac{1}{2}×6×1=\frac{35}{2}.$
【知识点】
1. 点的坐标识别
2. 割补法求面积
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是坐标与图形面积的基础题型，重点考察点坐标的读取方法和割补法的应用，割补法是网格类面积计算的常用技巧，通过构造规则图形作面积差，能大幅降低不规则图形面积的计算难度，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7

3. 在如图所示的平面直角坐标系中,四边形OABC各顶点的坐标分别是$O(0,0),A(-4,10),B(-12,8),C(-14,0)$,求四边形OABC的面积.

3.【解】如图,过点 A 作 $AD⊥ x$ 轴,垂足为点 D,过点 B 作$BE⊥ AD$,垂足为点 E.
易知 $OD=4,AD=10,DE=8,BE=-4-(-12)=8$,
$AE=10-8=2,CD=-4-(-14)=10$,
所以 $S_{四边形OABC}=S_{三角形AOD}+S_{三角形ABE}+S_{梯形DEBC}=\frac{1}{2}OD· AD+\frac{1}{2}AE· BE+\frac{1}{2}(BE+CD)· DE=\frac{1}{2}×4×10+\frac{1}{2}×2×8+\frac{1}{2}×(8+10)×8=100.$

【分析】
四边形OABC是不规则图形，无法直接套用面积公式计算，因此采用割补法求解：通过作辅助线将四边形分割为三角形AOD、三角形ABE、梯形DEBC三个规则图形，再根据各顶点坐标求出各规则图形对应边长，分别计算面积后求和即可得到四边形的总面积。
【解析】
过点A作$AD⊥x$轴，垂足为点D，过点B作$BE⊥AD$，垂足为点E。
根据各顶点坐标计算对应线段长度：
由$O(0,0),A(-4,10),B(-12,8),C(-14,0)$可得：
$OD=4$，$AD=10$，$DE=8$，$BE=-4-(-12)=8$，$AE=10-8=2$，$CD=-4-(-14)=10$。
四边形OABC的面积为三个规则图形的面积和：
$\begin{aligned}S_{四边形OABC}&=S_{△ AOD}+S_{△ ABE}+S_{梯形DEBC}\\&=\frac{1}{2}OD·AD+\frac{1}{2}AE·BE+\frac{1}{2}(BE+CD)·DE\\&=\frac{1}{2}×4×10+\frac{1}{2}×2×8+\frac{1}{2}×(8+10)×8\\&=20+8+72\\&=100\end{aligned}$
【答案】
100

【知识点】
割补法求面积，坐标与图形性质，规则图形面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系中求不规则图形面积的常规题型，解题关键是合理选择割补方式，将不规则图形转化为可直接计算面积的规则图形的和或差，计算线段长度时要注意横坐标差、纵坐标差的符号处理，避免计算错误。
【难度系数】
0.7

4. ★★ 如图，已知点$A(-2,0),B(4,0),C(2,4)$.
(1)三角形ABC的面积为________；
(2)若P为x轴上一点，且$S_{△ APC}=\frac{1}{2}S_{△ PBC}$，求点P的坐标.

4.【解】(1)12
(2)设点 P 的坐标为$(t,0)$. 因为 $S_{三角形APC}=\frac{1}{2}S_{三角形PBC}$，
所以易得$\frac{1}{2}×4×|t+2|=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×4×|t-4|.$
所以 $t-4=\pm2(t+2)$,解得 $t=-8$ 或 $t=0$.
故点 P 的坐标为$(-8,0)$或$(0,0).$

【分析】
(1)求△ABC的面积时，先观察到A、B均在x轴上，先计算AB的长度作为底，点C到x轴的距离（即C点纵坐标的绝对值）作为高，代入三角形面积公式即可求解。
(2)点P在x轴上，因此△APC和△PBC的高都等于点C的纵坐标4，两个三角形的底分别为AP、PB的长度。根据给出的面积关系列等式，由于P的位置不确定，计算线段长度时要加绝对值，解绝对值方程即可得到P的坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 已知$A(-2,0)$，$B(4,0)$，则AB的长度为$4 - (-2) = 6$。
点$C(2,4)$到x轴的距离为4，即AB边上的高为4。
根据三角形面积公式：$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × 底 × 高 = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12$。
(2) 设点P的坐标为$(t,0)$。
△APC的底为$AP = |t - (-2)| = |t+2|$，高为4，因此面积为$S_{△ APC} = \frac{1}{2} × |t+2| × 4$。
△PBC的底为$PB = |t - 4|$，高为4，因此面积为$S_{△ PBC} = \frac{1}{2} × |t-4| × 4$。
由题意$S_{△ APC}=\frac{1}{2}S_{△ PBC}$，代入得：
$\frac{1}{2} × 4 × |t+2| = \frac{1}{2} × (\frac{1}{2} × 4 × |t-4|)$
化简得：$2|t+2| = |t-4|$
去绝对值得：$t - 4 = 2(t + 2)$ 或 $t - 4 = -2(t + 2)$
分别解方程：
① $t - 4 = 2t + 4$，解得$t = -8$
② $t - 4 = -2t - 4$，解得$t = 0$
因此点P的坐标为$(-8,0)$或$(0,0)$。
【答案】
(1) $\boxed{12}$；(2) $\boxed{(-8,0)}$或$\boxed{(0,0)}$
【知识点】
三角形面积计算，坐标与线段长度，绝对值方程求解
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查三角形面积的计算，解题关键是抓住x轴上两点的距离等于横坐标差的绝对值，同高三角形的面积比等于对应底的比，列方程时注意加绝对值避免漏解。
【难度系数】
0.65

5. [武汉竞赛]如图，将长方形$ABCD$放置在平面直角坐标系的第一象限中，$AB // x$轴，$AB=4$，$AD=2$，$A(2,1)$.
(1)直接写出点$B,C,D$的坐标，并说明将长方形$ABCD$进行怎样的平移使$C$点移到$A$点处；
(2)$y$轴上是否存在点$P$，使三角形$ABP$的面积等于长方形$ABCD$面积的$\frac{3}{4}$？若存在，求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由.

5.【解】(1)$B(6,1),C(6,3),D(2,3)$,将长方形 $ABCD$ 先向左平移 4 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度,可使C点移到A点.
(2)存在. 设 $P(0,a)$,则 $S_{三角形ABP}=\frac{1}{2}AB·|a-1|,\therefore \frac{1}{2}×4×|a-1|=4×2×\frac{3}{4}$,即$|a-1|=3,\therefore a=4$ 或 $-2$,故点 P 的坐标为$(0,-2)$或$(0,4).$

【分析】
(1) 结合长方形对边平行且相等的性质推导各点坐标：AB平行x轴说明A、B纵坐标相同，结合AB长度可求B点坐标；长方形邻边垂直，故AD平行y轴，A、D横坐标相同，结合AD长度可求D点坐标；C点坐标可结合B、D点坐标直接得到。再对比C点和A点的横、纵坐标变化，即可得到平移方式。
(2) 先设y轴上点P坐标为(0,a)，AB在直线y=1上，因此三角形ABP中AB边上的高为P到直线y=1的距离|a-1|，再根据“三角形ABP的面积等于长方形面积的$\frac{3}{4}$”列方程求解，注意绝对值方程有两个解，对应两个P点坐标。
【解析】
(1) 已知$A(2,1)$，$AB// x$轴且$AB=4$，因此B点纵坐标与A点相同为1，横坐标为$2+4=6$，即$B(6,1)$；
长方形中$AD⊥ AB$，$AD=2$，因此D点横坐标与A点相同为2，纵坐标为$1+2=3$，即$D(2,3)$；
C点横坐标与B点相同为6，纵坐标与D点相同为3，即$C(6,3)$。
对比$C(6,3)$和$A(2,1)$，横坐标减少了4，纵坐标减少了2，因此将长方形$ABCD$先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，可使C点移到A点处。
(2) 存在，理由如下：
设y轴上点P的坐标为$(0,a)$，
长方形$ABCD$的面积为$AB× AD=4×2=8$，
由题意得$S_{△ ABP}=\frac{3}{4}S_{长方形ABCD}=\frac{3}{4}×8=6$，
$AB$长为4，AB边上的高为点P到直线$y=1$的距离$|a-1|$，
因此$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}×4×|a-1|=6$，
化简得$|a-1|=3$，
解得$a=4$或$a=-2$，因此点P的坐标为$(0,4)$或$(0,-2)$。
【答案】
(1) $B(6,1)$，$C(6,3)$，$D(2,3)$；将长方形$ABCD$先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度可使C点移到A点处。
(2) 存在，点P的坐标为$(0,-2)$或$(0,4)$。
【知识点】
点的坐标特征；图形的平移；坐标与面积计算
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系的应用，解题时要注意平移的坐标变化规律，计算面积时结合平行线距离确定高，涉及绝对值的问题要考虑两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7