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1. 下列函数是$y$关于$x$的反比例函数的是（
A.$y=\dfrac{x}{3}$
B.$y=\dfrac{3}{x+1}$
C.$y=\dfrac{x^2}{2}$
D.$y=\dfrac{3}{x}$
D
）A.$y=\dfrac{x}{3}$
B.$y=\dfrac{3}{x+1}$
C.$y=\dfrac{x^2}{2}$
D.$y=\dfrac{3}{x}$
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查反比例函数的识别，解题时首先要明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做$y$关于$x$的反比例函数，核心要求是分母仅含自变量$x$、分子为非零常数、$x$的次数为$-1$。接下来将每个选项与定义逐一比对，排除不符合的选项，即可得到正确答案。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：一般地，形如$y=\frac{k}{x}$（$k$是常数，且$k≠0$）的函数，叫做$y$关于$x$的反比例函数。
对各选项逐一判断：
选项A：$y=\frac{x}{3}=\frac{1}{3}x$，属于正比例函数$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的形式，不是反比例函数，排除；
选项B：$y=\frac{3}{x+1}$的分母是$x+1$，不是单独的自变量$x$，因此不是$y$关于$x$的反比例函数，排除；
选项C：$y=\frac{x^2}{2}$中$x$的次数为2，属于二次函数，不是反比例函数，排除；
选项D：$y=\frac{3}{x}$符合反比例函数的定义形式，其中$k=3≠0$，是$y$关于$x$的反比例函数，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的定义；函数类型判别
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点要求学生准确掌握反比例函数的形式特征，解题时要注意区分反比例函数与正比例函数、二次函数等其他函数类型的差异，尤其要注意反比例函数的分母只能是单独的自变量$x$。
【难度系数】
0.9
本题考查反比例函数的识别，解题时首先要明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做$y$关于$x$的反比例函数，核心要求是分母仅含自变量$x$、分子为非零常数、$x$的次数为$-1$。接下来将每个选项与定义逐一比对，排除不符合的选项，即可得到正确答案。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：一般地，形如$y=\frac{k}{x}$（$k$是常数，且$k≠0$）的函数，叫做$y$关于$x$的反比例函数。
对各选项逐一判断：
选项A：$y=\frac{x}{3}=\frac{1}{3}x$，属于正比例函数$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的形式，不是反比例函数，排除；
选项B：$y=\frac{3}{x+1}$的分母是$x+1$，不是单独的自变量$x$，因此不是$y$关于$x$的反比例函数，排除；
选项C：$y=\frac{x^2}{2}$中$x$的次数为2，属于二次函数，不是反比例函数，排除；
选项D：$y=\frac{3}{x}$符合反比例函数的定义形式，其中$k=3≠0$，是$y$关于$x$的反比例函数，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的定义；函数类型判别
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点要求学生准确掌握反比例函数的形式特征，解题时要注意区分反比例函数与正比例函数、二次函数等其他函数类型的差异，尤其要注意反比例函数的分母只能是单独的自变量$x$。
【难度系数】
0.9
2. 已知反比例函数$y=-\dfrac{8}{x}$，这个函数的自变量的取值范围是（
A.$x≠0$
B.$x＞0$
C.$x≤0$
D.$x≥0$
A
）A.$x≠0$
B.$x＞0$
C.$x≤0$
D.$x≥0$
答案
2.A
解析
【分析】
要确定反比例函数自变量的取值范围，首先回忆反比例函数的解析式特征：反比例函数的解析式为分式形式，自变量在分母位置。而分式有意义的条件是分母不为0，因此只需让函数的分母不等于0，即可求出自变量的取值范围，和分子的常数取值无关。
【解析】
反比例函数的一般形式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），其中自变量$x$位于分母位置。
根据分式有意义的条件：分母不能为0，因此在函数$y=-\dfrac{8}{x}$中，需满足分母$x≠0$，即自变量的取值范围是$x≠0$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的概念；分式有意义的条件
【点评】
本题是基础题型，主要考查反比例函数自变量的取值范围，解题关键是牢记分式有意义的条件，避免被反比例函数的比例系数符号干扰。
【难度系数】
0.9
要确定反比例函数自变量的取值范围，首先回忆反比例函数的解析式特征：反比例函数的解析式为分式形式，自变量在分母位置。而分式有意义的条件是分母不为0，因此只需让函数的分母不等于0，即可求出自变量的取值范围，和分子的常数取值无关。
【解析】
反比例函数的一般形式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），其中自变量$x$位于分母位置。
根据分式有意义的条件：分母不能为0，因此在函数$y=-\dfrac{8}{x}$中，需满足分母$x≠0$，即自变量的取值范围是$x≠0$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的概念；分式有意义的条件
【点评】
本题是基础题型，主要考查反比例函数自变量的取值范围，解题关键是牢记分式有意义的条件，避免被反比例函数的比例系数符号干扰。
【难度系数】
0.9
3. 已知$y=2x^{m-1}$是关于$x$的反比例函数，则$m=$
0
。答案
3.0
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆反比例函数的定义特征：反比例函数的一般形式可以写为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，且$k≠0$），即自变量$x$的次数为$-1$，且系数不为0。我们结合题目给出的函数式，令$x$的指数等于$-1$，列方程求解即可得到$m$的值，本题中系数为2，已经满足不为0的条件，无需额外验证。
【解析】
根据反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数，也可变形为$y=kx^{-1}(k≠0)$的形式，此时自变量$x$的次数为$-1$。
已知$y=2x^{m-1}$是关于$x$的反比例函数，因此自变量$x$的指数需等于$-1$，可得方程：
$m - 1 = -1$
解得：$m = 0$
且系数$2≠0$，符合反比例函数的要求。
【答案】
0
【知识点】
反比例函数的定义、解一元一次方程
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是掌握反比例函数解析式的不同表达形式，尤其要注意指数形式下自变量的次数为$-1$的隐含条件，熟记定义即可快速得分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要回忆反比例函数的定义特征：反比例函数的一般形式可以写为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，且$k≠0$），即自变量$x$的次数为$-1$，且系数不为0。我们结合题目给出的函数式，令$x$的指数等于$-1$，列方程求解即可得到$m$的值，本题中系数为2，已经满足不为0的条件，无需额外验证。
【解析】
根据反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数，也可变形为$y=kx^{-1}(k≠0)$的形式，此时自变量$x$的次数为$-1$。
已知$y=2x^{m-1}$是关于$x$的反比例函数，因此自变量$x$的指数需等于$-1$，可得方程：
$m - 1 = -1$
解得：$m = 0$
且系数$2≠0$，符合反比例函数的要求。
【答案】
0
【知识点】
反比例函数的定义、解一元一次方程
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是掌握反比例函数解析式的不同表达形式，尤其要注意指数形式下自变量的次数为$-1$的隐含条件，熟记定义即可快速得分。
【难度系数】
0.8
4.已知反比例函数的解析式为 $y=\dfrac{|a|-2}{x}$，则a的取值范围是
$a≠\pm2$
。答案
4.$a≠\pm2$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确反比例函数的核心定义特征：反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数），其中要求比例系数$k≠0$。因此本题只需让解析式中的比例系数$|a|-2$不等于0，解对应的不等式即可得到$a$的取值范围。
【解析】
根据反比例函数的定义，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的比例系数$k$不能为0。
结合本题解析式$y=\frac{|a|-2}{x}$，可列不等式：
$|a|-2≠0$
移项得：$|a|≠2$
根据绝对值的性质，绝对值为2的数是$\pm2$，因此$a≠\pm2$。
【答案】
$a≠\pm2$
【知识点】
反比例函数的定义；绝对值的性质
【点评】
本题属于基础概念考察题，解题关键是牢记反比例函数中比例系数不为0的要求，易错点是解绝对值不等式时容易遗漏$a≠-2$的情况。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确反比例函数的核心定义特征：反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数），其中要求比例系数$k≠0$。因此本题只需让解析式中的比例系数$|a|-2$不等于0，解对应的不等式即可得到$a$的取值范围。
【解析】
根据反比例函数的定义，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的比例系数$k$不能为0。
结合本题解析式$y=\frac{|a|-2}{x}$，可列不等式：
$|a|-2≠0$
移项得：$|a|≠2$
根据绝对值的性质，绝对值为2的数是$\pm2$，因此$a≠\pm2$。
【答案】
$a≠\pm2$
【知识点】
反比例函数的定义；绝对值的性质
【点评】
本题属于基础概念考察题，解题关键是牢记反比例函数中比例系数不为0的要求，易错点是解绝对值不等式时容易遗漏$a≠-2$的情况。
【难度系数】
0.8
5.(教材P65例变式)已知y是x的反比例函数，并且当$x=3$时，$y=8$.
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)当$x=4$时，求y的值；
(3)当$y=3$时，求x的值.
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)当$x=4$时，求y的值；
(3)当$y=3$时，求x的值.
答案
解:(1)设 $y=\dfrac{k}{x}$. 因为当 $x=3$ 时, $y=8$, 所以有 $8=\dfrac{k}{3}$, 解得 $k=24$. 因此 $y=\dfrac{24}{x}$.
(2)将 $x=4$ 代入 $y=\dfrac{24}{x}$, 得 $y=\dfrac{24}{4}=6$.
(3)将 $y=3$ 代入 $y=\dfrac{24}{x}$, 得 $3=\dfrac{24}{x}$, 解得 $x=8$.
(2)将 $x=4$ 代入 $y=\dfrac{24}{x}$, 得 $y=\dfrac{24}{4}=6$.
(3)将 $y=3$ 代入 $y=\dfrac{24}{x}$, 得 $3=\dfrac{24}{x}$, 解得 $x=8$.
解析
【分析】
这是反比例函数的基础应用类题目，解题思路清晰：1. 第(1)问先根据反比例函数的定义，设出反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，再将已知的$x=3$、$y=8$代入式子，求出常数$k$的值，就能得到函数解析式；2. 第(2)问直接将给定的$x=4$代入已经求出的函数解析式，计算即可得到对应的$y$值；3. 第(3)问将给定的$y=3$代入函数解析式，解关于$x$的一元一次方程即可得到$x$的值。
【解析】
(1) 设$y$关于$x$的反比例函数解析式为$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，
将$x=3$，$y=8$代入解析式，得$8=\dfrac{k}{3}$，
解得$k=24$，
因此$y$关于$x$的函数解析式为$y=\dfrac{24}{x}$。
(2) 将$x=4$代入$y=\dfrac{24}{x}$，
得$y=\dfrac{24}{4}=6$。
(3) 将$y=3$代入$y=\dfrac{24}{x}$，
得$3=\dfrac{24}{x}$，
解得$x=8$。
【答案】
(1)$y=\dfrac{24}{x}$
(2)$y=6$
(3)$x=8$
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 待定系数法求解析式
3. 反比例函数求值
【点评】
本题是反比例函数的入门典型题，核心考查对反比例函数概念的理解和待定系数法的运用，解题逻辑直观，掌握基础知识点即可顺利解答，适合用来巩固反比例函数的基础内容。
【难度系数】
0.9
这是反比例函数的基础应用类题目，解题思路清晰：1. 第(1)问先根据反比例函数的定义，设出反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，再将已知的$x=3$、$y=8$代入式子，求出常数$k$的值，就能得到函数解析式；2. 第(2)问直接将给定的$x=4$代入已经求出的函数解析式，计算即可得到对应的$y$值；3. 第(3)问将给定的$y=3$代入函数解析式，解关于$x$的一元一次方程即可得到$x$的值。
【解析】
(1) 设$y$关于$x$的反比例函数解析式为$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，
将$x=3$，$y=8$代入解析式，得$8=\dfrac{k}{3}$，
解得$k=24$，
因此$y$关于$x$的函数解析式为$y=\dfrac{24}{x}$。
(2) 将$x=4$代入$y=\dfrac{24}{x}$，
得$y=\dfrac{24}{4}=6$。
(3) 将$y=3$代入$y=\dfrac{24}{x}$，
得$3=\dfrac{24}{x}$，
解得$x=8$。
【答案】
(1)$y=\dfrac{24}{x}$
(2)$y=6$
(3)$x=8$
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 待定系数法求解析式
3. 反比例函数求值
【点评】
本题是反比例函数的入门典型题，核心考查对反比例函数概念的理解和待定系数法的运用，解题逻辑直观，掌握基础知识点即可顺利解答，适合用来巩固反比例函数的基础内容。
【难度系数】
0.9
6. 某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为$ y $元，若该厂每月生产$ x $只（$ x $取正整数），这个月的总成本为5000元，则$ y $与$ x $之间满足的关系为（
A.$ y=\frac{x}{5000} $
B.$ y=\frac{5000}{3x} $
C.$ y=\frac{5000}{x} $
D.$ y=\frac{3}{500x} $
C
）A.$ y=\frac{x}{5000} $
B.$ y=\frac{5000}{3x} $
C.$ y=\frac{5000}{x} $
D.$ y=\frac{3}{500x} $
答案
6.C
解析
【分析】
解题时首先回忆成本相关的基本数量关系：总成本=单位产品成本×生产数量。本题已知总成本为5000元，单位成本为y元，生产数量为x只，先根据数量关系列出等式，再将等式变形为用x表示y的形式，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
根据成本问题的基本等量关系可得：
$\mathrm{单位成本} × \mathrm{生产数量} = \mathrm{总成本}$
代入已知量得：$xy=5000$
因为x是正整数，即$x ≠ 0$，等式两边同时除以x，可得：
$y=\frac{5000}{x}$
因此符合条件的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
列函数关系式，反比例函数概念，成本数量关系
【点评】
本题属于基础题型，重点考察对实际问题中常见数量关系的运用，以及反比例函数表达式的推导，熟练掌握基本等量关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆成本相关的基本数量关系：总成本=单位产品成本×生产数量。本题已知总成本为5000元，单位成本为y元，生产数量为x只，先根据数量关系列出等式，再将等式变形为用x表示y的形式，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
根据成本问题的基本等量关系可得：
$\mathrm{单位成本} × \mathrm{生产数量} = \mathrm{总成本}$
代入已知量得：$xy=5000$
因为x是正整数，即$x ≠ 0$，等式两边同时除以x，可得：
$y=\frac{5000}{x}$
因此符合条件的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
列函数关系式，反比例函数概念，成本数量关系
【点评】
本题属于基础题型，重点考察对实际问题中常见数量关系的运用，以及反比例函数表达式的推导，熟练掌握基本等量关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
7. 某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80 km/h 的平均速度用了 6 h 到达目的地. 当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v(km/h)与时间 t(h)的函数关系式是
$v=\dfrac{480}{t}$
.答案
7.$v=\dfrac{480}{t}$
解析
【分析】
要推导返回时速度v与时间t的函数关系式，首先明确往返过程中甲乙两地的总路程是定值。解题时先根据去程的速度和时间算出总路程，再结合行程问题"路程=速度×时间"的基本等量关系，代入路程定值后变形，即可得到v关于t的函数关系式，注意时间t的取值为正数。
【解析】
首先计算甲乙两地的总路程：
根据行程公式$s=vt$，去程速度为80km/h，用时6h，因此总路程$s=80×6=480\mathrm{km}$。
返回时沿原路行驶，路程不变，因此满足$vt=480$，将式子变形可得：
$v=\dfrac{480}{t}$（$t＞0$）
【答案】
$v=\dfrac{480}{t}$
【知识点】
1. 反比例函数的概念
2. 行程问题等量关系
【点评】
本题是反比例函数在实际问题中的基础应用，解题核心是抓住"原路返回路程不变"的隐含条件，结合行程三量的关系推导函数表达式，属于反比例函数概念的基础巩固题型。
【难度系数】
0.8
要推导返回时速度v与时间t的函数关系式，首先明确往返过程中甲乙两地的总路程是定值。解题时先根据去程的速度和时间算出总路程，再结合行程问题"路程=速度×时间"的基本等量关系，代入路程定值后变形，即可得到v关于t的函数关系式，注意时间t的取值为正数。
【解析】
首先计算甲乙两地的总路程：
根据行程公式$s=vt$，去程速度为80km/h，用时6h，因此总路程$s=80×6=480\mathrm{km}$。
返回时沿原路行驶，路程不变，因此满足$vt=480$，将式子变形可得：
$v=\dfrac{480}{t}$（$t＞0$）
【答案】
$v=\dfrac{480}{t}$
【知识点】
1. 反比例函数的概念
2. 行程问题等量关系
【点评】
本题是反比例函数在实际问题中的基础应用，解题核心是抓住"原路返回路程不变"的隐含条件，结合行程三量的关系推导函数表达式，属于反比例函数概念的基础巩固题型。
【难度系数】
0.8
8.用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系,并指出它们各是什么函数:
(1)底边长为3 cm 的三角形的面积 y cm²随底边上的高 x cm 的变化而变化;
(2)一艘轮船从相距 s 海里的甲地驶往乙地,轮船的速度 v(海里/时)随航行时间t 的变化而变化;
(3)在检修100 m 长的管道时,每天能完成10 m,剩下的未检修的管道长 y m 随检修天数 x 的变化而变化.
(1)底边长为3 cm 的三角形的面积 y cm²随底边上的高 x cm 的变化而变化;
(2)一艘轮船从相距 s 海里的甲地驶往乙地,轮船的速度 v(海里/时)随航行时间t 的变化而变化;
(3)在检修100 m 长的管道时,每天能完成10 m,剩下的未检修的管道长 y m 随检修天数 x 的变化而变化.
答案
解:(1)两个变量之间的函数解析式为 $y=1.5x$,是正比例函数.
(2)两个变量之间的函数解析式为 $v=\dfrac{s}{t}$,是反比例函数.
(3)两个变量之间的函数解析式为 $y=100-10x$,是一次函数.
(2)两个变量之间的函数解析式为 $v=\dfrac{s}{t}$,是反比例函数.
(3)两个变量之间的函数解析式为 $y=100-10x$,是一次函数.
解析
【分析】
解决本题的核心思路是：首先明确每个问题中的常量、自变量和因变量，再结合对应的公式或实际等量关系列出变量间的等式，整理为函数解析式后，对照正比例函数、反比例函数、一次函数的定义判断函数类型即可。具体到每个小问：(1)调用三角形面积公式，底为固定常量，代入后化简解析式即可判断；(2)根据路程=速度×时间的等量关系，路程为固定常量，变形得到速度关于时间的解析式，再判断类型；(3)根据“剩余长度=总长度-已检修长度”的等量关系列解析式，再判断类型。
【解析】
(1) 根据三角形面积公式$y=\frac{1}{2}×底×高$，已知底边长为3cm，底边上的高为x cm，代入得：
$y=\frac{1}{2}×3×x=1.5x$，
符合正比例函数$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的形式，因此是正比例函数。
(2) 根据路程公式$s=vt$（$s$为甲乙两地距离，是固定常量），变形得：
$v=\frac{s}{t}$，
符合反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的形式，因此是反比例函数。
(3) 已知总管道长100m，每天检修10m，x天共检修$10x$m，剩余未检修长度$y=总长度-已检修长度$，代入得：
$y=100-10x$，
符合一次函数$y=kx+b$（$k、b$为常数，$k≠0$）的形式，因此是一次函数。
【答案】
(1)函数解析式为$y=1.5x$，是正比例函数；
(2)函数解析式为$v=\dfrac{s}{t}$，是反比例函数；
(3)函数解析式为$y=100-10x$，是一次函数。
【知识点】
列函数解析式、正比例函数定义、反比例与一次函数定义
【点评】
本题结合几何公式和实际生活场景考查常见函数的识别，解题的关键是找准等量关系，牢记各类函数的定义特征，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.85
解决本题的核心思路是：首先明确每个问题中的常量、自变量和因变量，再结合对应的公式或实际等量关系列出变量间的等式，整理为函数解析式后，对照正比例函数、反比例函数、一次函数的定义判断函数类型即可。具体到每个小问：(1)调用三角形面积公式，底为固定常量，代入后化简解析式即可判断；(2)根据路程=速度×时间的等量关系，路程为固定常量，变形得到速度关于时间的解析式，再判断类型；(3)根据“剩余长度=总长度-已检修长度”的等量关系列解析式，再判断类型。
【解析】
(1) 根据三角形面积公式$y=\frac{1}{2}×底×高$，已知底边长为3cm，底边上的高为x cm，代入得：
$y=\frac{1}{2}×3×x=1.5x$，
符合正比例函数$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的形式，因此是正比例函数。
(2) 根据路程公式$s=vt$（$s$为甲乙两地距离，是固定常量），变形得：
$v=\frac{s}{t}$，
符合反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的形式，因此是反比例函数。
(3) 已知总管道长100m，每天检修10m，x天共检修$10x$m，剩余未检修长度$y=总长度-已检修长度$，代入得：
$y=100-10x$，
符合一次函数$y=kx+b$（$k、b$为常数，$k≠0$）的形式，因此是一次函数。
【答案】
(1)函数解析式为$y=1.5x$，是正比例函数；
(2)函数解析式为$v=\dfrac{s}{t}$，是反比例函数；
(3)函数解析式为$y=100-10x$，是一次函数。
【知识点】
列函数解析式、正比例函数定义、反比例与一次函数定义
【点评】
本题结合几何公式和实际生活场景考查常见函数的识别，解题的关键是找准等量关系，牢记各类函数的定义特征，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.85
