登录
22. (新编)如图所示,北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”的底座是一个边长分别为20cm、10cm、10cm的实心长方体,底座材料分布均匀,质量为6kg。
(1)求制作该底座材料的密度。
(2)为了节约资源,若把实心底座变为空心底座,在边长规格相同的情况下,其质量变为3.6kg,求底座空心部分的体积。
(1)求制作该底座材料的密度。
(2)为了节约资源,若把实心底座变为空心底座,在边长规格相同的情况下,其质量变为3.6kg,求底座空心部分的体积。
答案
【解析】：
本题主要考查密度的计算以及空心部分体积的计算。
（1）首先，我们需要计算长方体的体积，然后利用密度公式$\rho = \frac{m}{V}$来计算底座材料的密度。
（2）对于空心底座，我们首先需要计算出实心部分的体积，这可以通过已知的质量和之前计算出的密度来得到。接着，我们计算整个长方体的体积，最后通过总体积减去实心部分的体积来得到空心部分的体积。
【答案】：
解：（1）长方体的体积$V$可以通过长、宽、高的乘积得到，即
$V = 20\text{cm} × 10\text{cm} × 10\text{cm} = 2000\text{cm}^3$，
底座材料的密度$\rho$可以通过质量$m$除以体积$V$得到，即
$\rho = \frac{m}{V} = \frac{6000\text{g}}{2000\text{cm}^3} = 3\text{g/cm}^3 = 3 × 10^3\text{kg/m}^3$；
综上：制作该底座材料的密度为$3 × 10^3\text{kg/m}^3$。
（2）实心部分的体积$V_{\text{实}}$可以通过质量$m_{\text{空}}$除以密度$\rho$得到，即
$V_{\text{实}} = \frac{m_{\text{空}}}{\rho} = \frac{3600\text{g}}{3\text{g/cm}^3} = 1200\text{cm}^3$，
空心部分的体积$V_{\text{空}}$可以通过总体积$V$减去实心部分的体积$V_{\text{实}}$得到，即
$V_{\text{空}} = V - V_{\text{实}} = 2000\text{cm}^3 - 1200\text{cm}^3 = 800\text{cm}^3$；
综上：底座空心部分的体积为$800\text{cm}^3$。
本题主要考查密度的计算以及空心部分体积的计算。
（1）首先，我们需要计算长方体的体积，然后利用密度公式$\rho = \frac{m}{V}$来计算底座材料的密度。
（2）对于空心底座，我们首先需要计算出实心部分的体积，这可以通过已知的质量和之前计算出的密度来得到。接着，我们计算整个长方体的体积，最后通过总体积减去实心部分的体积来得到空心部分的体积。
【答案】：
解：（1）长方体的体积$V$可以通过长、宽、高的乘积得到，即
$V = 20\text{cm} × 10\text{cm} × 10\text{cm} = 2000\text{cm}^3$，
底座材料的密度$\rho$可以通过质量$m$除以体积$V$得到，即
$\rho = \frac{m}{V} = \frac{6000\text{g}}{2000\text{cm}^3} = 3\text{g/cm}^3 = 3 × 10^3\text{kg/m}^3$；
综上：制作该底座材料的密度为$3 × 10^3\text{kg/m}^3$。
（2）实心部分的体积$V_{\text{实}}$可以通过质量$m_{\text{空}}$除以密度$\rho$得到，即
$V_{\text{实}} = \frac{m_{\text{空}}}{\rho} = \frac{3600\text{g}}{3\text{g/cm}^3} = 1200\text{cm}^3$，
空心部分的体积$V_{\text{空}}$可以通过总体积$V$减去实心部分的体积$V_{\text{实}}$得到，即
$V_{\text{空}} = V - V_{\text{实}} = 2000\text{cm}^3 - 1200\text{cm}^3 = 800\text{cm}^3$；
综上：底座空心部分的体积为$800\text{cm}^3$。
23. (新编)一个空烧杯的质量为50g,装满水后的总质量为2.55kg。把正方体甲浸没在烧杯中,并把溢出的水擦干后,测得正方体甲、剩余水和烧杯的总质量为7.85kg。把甲取出后,烧杯和剩余水的质量为1.55kg。实心正方体乙的边长为0.2m,质量为6kg,$\rho _{水}= 1.0× 10^{3}kg/m^{3}$。
(1)求正方体甲的密度$\rho _{甲}$。
(2)若沿实心正方体乙的上表面向内部挖去一底面积为$0.01m^{2}$、高为h的长方体,如图所示,并在挖去部分中倒满水,是否可能使乙变化后的总质量与甲的质量相等？若可能,请计算h；若不可能,请简要说明理由。
(1)求正方体甲的密度$\rho _{甲}$。
(2)若沿实心正方体乙的上表面向内部挖去一底面积为$0.01m^{2}$、高为h的长方体,如图所示,并在挖去部分中倒满水,是否可能使乙变化后的总质量与甲的质量相等？若可能,请计算h；若不可能,请简要说明理由。
答案
解：
(1)
$m_{杯}=50g=0.05kg$，
装满水时$m_{水1}=m_{总1}-m_{杯}=2.55kg-0.05kg=2.5kg$，
$V_{杯}=V_{水1}=\frac{m_{水1}}{\rho_{水}}=\frac{2.5kg}{1.0×10^{3}kg/m^{3}}=2.5×10^{-3}m^{3}$，
取出甲后$m_{水2}=m_{总3}-m_{杯}=1.55kg-0.05kg=1.5kg$，
$V_{水2}=\frac{m_{水2}}{\rho_{水}}=\frac{1.5kg}{1.0×10^{3}kg/m^{3}}=1.5×10^{-3}m^{3}$，
$V_{甲}=V_{溢}=V_{杯}-V_{水2}=2.5×10^{-3}m^{3}-1.5×10^{-3}m^{3}=1×10^{-3}m^{3}$，
$m_{甲}=m_{总2}-m_{总3}=7.85kg-1.55kg=6.3kg$，
$\rho_{甲}=\frac{m_{甲}}{V_{甲}}=\frac{6.3kg}{1×10^{-3}m^{3}}=6.3×10^{3}kg/m^{3}$。
(2)
$m_{乙}=6kg$，
挖去部分体积$V_{挖}=S_{底}h=0.01m^{2}\cdot h$，
$m_{挖}=\rho_{乙}V_{挖}$，$\rho_{乙}=\frac{m_{乙}}{V_{乙}}=\frac{6kg}{(0.2m)^{3}}=750kg/m^{3}$，
$m_{水}= \rho_{水}V_{挖}=1.0×10^{3}kg/m^{3}×0.01m^{2}\cdot h=10h\ kg$，
变化后总质量$m'=m_{乙}-m_{挖}+m_{水}=6kg-750kg/m^{3}×0.01m^{2}\cdot h+10h\ kg=6kg-6.5h\ kg$，
令$m'=m_{甲}=6.3kg$，则$6-6.5h=6.3$，解得$h\approx-0.046m$（不合题意），
故不可能。
(1)$\rho_{甲}=6.3×10^{3}kg/m^{3}$；
(2)不可能。
(1)
$m_{杯}=50g=0.05kg$，
装满水时$m_{水1}=m_{总1}-m_{杯}=2.55kg-0.05kg=2.5kg$，
$V_{杯}=V_{水1}=\frac{m_{水1}}{\rho_{水}}=\frac{2.5kg}{1.0×10^{3}kg/m^{3}}=2.5×10^{-3}m^{3}$，
取出甲后$m_{水2}=m_{总3}-m_{杯}=1.55kg-0.05kg=1.5kg$，
$V_{水2}=\frac{m_{水2}}{\rho_{水}}=\frac{1.5kg}{1.0×10^{3}kg/m^{3}}=1.5×10^{-3}m^{3}$，
$V_{甲}=V_{溢}=V_{杯}-V_{水2}=2.5×10^{-3}m^{3}-1.5×10^{-3}m^{3}=1×10^{-3}m^{3}$，
$m_{甲}=m_{总2}-m_{总3}=7.85kg-1.55kg=6.3kg$，
$\rho_{甲}=\frac{m_{甲}}{V_{甲}}=\frac{6.3kg}{1×10^{-3}m^{3}}=6.3×10^{3}kg/m^{3}$。
(2)
$m_{乙}=6kg$，
挖去部分体积$V_{挖}=S_{底}h=0.01m^{2}\cdot h$，
$m_{挖}=\rho_{乙}V_{挖}$，$\rho_{乙}=\frac{m_{乙}}{V_{乙}}=\frac{6kg}{(0.2m)^{3}}=750kg/m^{3}$，
$m_{水}= \rho_{水}V_{挖}=1.0×10^{3}kg/m^{3}×0.01m^{2}\cdot h=10h\ kg$，
变化后总质量$m'=m_{乙}-m_{挖}+m_{水}=6kg-750kg/m^{3}×0.01m^{2}\cdot h+10h\ kg=6kg-6.5h\ kg$，
令$m'=m_{甲}=6.3kg$，则$6-6.5h=6.3$，解得$h\approx-0.046m$（不合题意），
故不可能。
(1)$\rho_{甲}=6.3×10^{3}kg/m^{3}$；
(2)不可能。
