11. 如图所示,函数$f(x)$的图象由两条线段组成,则下列关于函数$f(x)$的说法正确的是()

A. $f(4)＞f(0)$
B. $f(f(2))= 6$
C. $f(x)= 2|x - 2|-x + 2,x∈[0,8]$
D. $\exists a＞0$,不等式$f(x)\leq a的解集为[\frac{1}{3},4]$

BC 对于A，由题图可知，当且仅当$x = 0$或$x = 8$时，$f(x)$取到最大值6，所以$f(4) ＜ f(0)$，故该选项错误。对于B，$f(f(2)) = f(0) = 6$，故该选项正确。对于C，函数$f(x)$的图象由两条线段组成，所以函数$f(x)$为分段函数，且过点$(0, 6)$，$(2, 0)$，$(8, 6)$。当$0 \leq x \leq 2$时，设$f(x) = kx + b$，代入$(0, 6)$，$(2, 0)$，得$\begin{cases} b = 6, \\ 2k + b = 0, \end{cases}$解得$\begin{cases} b = 6, \\ k = -3, \end{cases}$所以$f(x) = -3x + 6$；当$2 ＜ x \leq 8$时，设$f(x) = mx + n$，代入$(2, 0)$，$(8, 6)$，得$\begin{cases} 2m + n = 0, \\ 8m + n = 6, \end{cases}$解得$\begin{cases} m = 1, \\ n = -2, \end{cases}$所以$f(x) = x - 2$。
综上所述，$f(x) = \begin{cases} -3x + 6, 0 \leq x \leq 2, \\ x - 2, 2 ＜ x \leq 8. \end{cases}$又因为$f(x) = 2|x - 2| - x + 2$，$x \in [0, 8] = \begin{cases} -3x + 6, 0 \leq x \leq 2, \\ x - 2, 2 ＜ x \leq 8, \end{cases}$故该选项正确。对于D，若当$a ＞ 0$时，$f(x) \leq a$的解集为$[\frac{1}{3}, 4]$，则由函数图象，知$f(\frac{1}{3}) = f(4) = a$，但$f(\frac{1}{3}) = 5$，$f(4) = 2$，故该选项错误。

12. 已知函数$f(x)= x + 1$,$g(x)= \frac{2}{x}$. 记$max\{a,b\}= \begin{cases}a,a\geq b,\\b,a\lt b,\end{cases}则下列关于函数F(x)= max\{f(x),g(x)\}(x\neq0)$的说法正确的是()
A. 当$x∈(0,1)$时,$F(x)= \frac{2}{x}$
B. 函数$F(x)$的最小值为-1
C. 函数$F(x)在(-2,0)$上单调递减
D. 若关于x的方程$F(x)= m$恰有两个不相等的实数根,则$-1\lt m＜0或m＞2$

ABD 在同一直角坐标系中作出函数$f(x) = x + 1$和$g(x) = \frac{2}{x}$的图象，由函数$F(x)$的定义，得$F(x)$的图象如图所示。
　　　　　　
结合图象，可知当$x \in (0, 1)$时，$\frac{2}{x} ＞ x + 1$，$F(x) = \frac{2}{x}$，故A正确；函数$F(x)$的最小值为$-1$，故B正确；函数$F(x)$在$(-2, 0)$上单调递增，故C错误；若关于$x$的方程$F(x) = m$恰有两个不相等的实数根，则$-1 ＜ m ＜ 0$或$m ＞ 2$，故D正确。

13. 已知函数$f(x)= \begin{cases}2x,x＞0,\\f(x + 1),x\leq0,\end{cases}则f(-1)+f(1)= $____.

4 因为$f(x) = \begin{cases} 2x, x ＞ 0, \\ f(x + 1), x \leq 0, \end{cases}$所以$f(-1) = f(0) = f(1) = 2$，故$f(-1) + f(1) = 4$。

14. 设a为实数,已知函数$y = f(x)$在定义域R上是减函数,且$f(a + 1)＞f(2a)$,则a的取值范围为____.

$(1, +\infty)$ 因为函数$y = f(x)$在定义域$\mathbf{R}$上是减函数，且$f(a + 1) ＞ f(2a)$，所以$a + 1 ＜ 2a$，解得$a ＞ 1$，所以$a$的取值范围为$(1, +\infty)$。

15. 写出一个同时满足下列条件的函数：$f(x)= $____.
①$f(x)$是二次函数；②$xf(x + 1)$是奇函数；③$\frac{f(x)}{x}在(0,+∞)$上单调递减.

$-x^2 + 2x(x \neq 0)$（答案不唯一） 可取$f(x) = -x^2 + 2x(x \neq 0)$，满足条件①；令$g(x) = xf(x + 1) = x[-(x + 1)^2 + 2(x + 1)] = -x^3 + x$，则$g(-x) = -(-x)^3 - x = -g(x)$，满足条件②；令$h(x) = \frac{f(x)}{x} = \frac{-x^2 + 2x}{x} = -x + 2$，则$h(x) = \frac{f(x)}{x}$在$(0, +\infty)$上单调递减，满足条件③。（答案不唯一）

16. 符号$[x]$表示不超过x的最大整数,如$[3.14]= 3$,$[-1.6]= -2$. 定义函数$f(x)= x - [x]$,则下列命题正确的有____.(填序号)
①$f(-0.8)= 0$；
②当$1\leq x＜2$时,$f(x)= x - 1$；
③函数$f(x)$的定义域为R,值域为$[0,1)$；
④函数$f(x)$是增函数且是奇函数.

②③ 已知$f(x) = x - [x]$，则$f(-0.8) = -0.8 - (-1) = 0.2$，故①错误。
当$1 \leq x ＜ 2$时，$f(x) = x - [x] = x - 1$，故②正确。
因为$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，且$f(x) = x - [x]$，所以$f(x)$的值域为$[0, 1)$，故③正确。
当$0 \leq x ＜ 1$时，$f(x) = x - [x] = x$，当$1 \leq x ＜ 2$时，$f(x) = x - [x] = x - 1$，所以当$x = 0.5$时，$f(0.5) = 0.5$，当$x = 1.5$时，$f(1.5) = 0.5$，所以$f(0.5) = f(1.5)$，所以$f(x)$不是增函数。
由$f(-1.5) = 0.5$，$f(1.5) = 0.5$可得$f(-1.5) = f(1.5)$，所以$f(x)$不是奇函数，故④错误。

17. 已知函数$f(x)= \frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}$.
(1)判断函数$f(x)$的奇偶性并证明；
(2)求证：当$x\neq0$时,$f(x)= -f(\frac{1}{x})$.

解：(1) 函数$f(x)$为偶函数。证明如下：
由题意，得$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$。因为$f(-x) = \frac{1 - (-x)^2}{1 + (-x)^2} = \frac{1 - x^2}{1 + x^2} = f(x)$，所以$f(x)$为偶函数。
(2) 证明：因为$x \neq 0$，所以$f(\frac{1}{x}) = \frac{1 - (\frac{1}{x})^2}{1 + (\frac{1}{x})^2} = \frac{x^2 - 1}{1 + x^2} = -f(x)$，所以$f(x) = -f(\frac{1}{x})$。