21. 已知：如图,在$\square A B C D$中,$AE是BC$边上的高,将$\triangle A B E沿BC$方向平移,使点$E与点C$重合,得$\triangle G F C$。
(1)求证：$B E = D G$。
(2)若$\angle B = 60 ^ { \circ }$,当$AB与BC$满足什么数量关系时,四边形$ABFG$是菱形？证明你的结论。

$(1)$ 证明如上。
$(2)$ 当$BC=\frac{3}{2}AB$时，四边形$ABFG$是菱形，证明如上。

22. 如图所示,在$\square A B C D$中,点$E在BC$上,$AE平分\angle B A D$,过点$E作E F // A B$。求证：四边形$ABEF$为菱形。

因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AF// BE$，又$EF// AB$，所以四边形$ABEF$是平行四边形。
因为$AE$平分$\angle BAD$，所以$\angle BAE = \angle FAE$，又$AB// EF$，所以$\angle BAE=\angle AEF$，则$\angle FAE=\angle AEF$，所以$AF = EF$。
因为平行四边形$ABEF$中$AF = EF$，所以四边形$ABEF$是菱形。