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一、选择题
1. 解方程$\frac {2}{x+1}+\frac {3}{x - 1}=\frac {6}{x^{2}-1}$时，方程两边同乘最简公分母为(
A.$x + 1$
B.$x - 1$
C.$x^{2}-1$
D.$(x + 1)(x - 1)(x^{2}-1)$
1. 解方程$\frac {2}{x+1}+\frac {3}{x - 1}=\frac {6}{x^{2}-1}$时，方程两边同乘最简公分母为(
C
)。A.$x + 1$
B.$x - 1$
C.$x^{2}-1$
D.$(x + 1)(x - 1)(x^{2}-1)$
答案
1. C
2. 解分式方程$\frac {x - 8}{x - 7}-\frac {1}{7 - x}=8$，可知方程(
A.解为$x = 7$
B.解为$x = 8$
C.解为$x = 15$
D.无解
D
)。A.解为$x = 7$
B.解为$x = 8$
C.解为$x = 15$
D.无解
答案
2. D
解析
解：方程两边同乘$x - 7$，得$x - 8 + 1 = 8(x - 7)$，
去括号，得$x - 7 = 8x - 56$，
移项、合并同类项，得$-7x = -49$，
解得$x = 7$，
检验：当$x = 7$时，$x - 7 = 0$，
所以$x = 7$是原分式方程的增根，原分式方程无解。
D
去括号，得$x - 7 = 8x - 56$，
移项、合并同类项，得$-7x = -49$，
解得$x = 7$，
检验：当$x = 7$时，$x - 7 = 0$，
所以$x = 7$是原分式方程的增根，原分式方程无解。
D
3. 分式方程$\frac {4}{x^{2}-4}=\frac {x + 2}{x - 2}-1$的解是(
A.$x = 1$
B.$x = 0$
C.$x = - 1$
D.$x = - 2$
C
)。A.$x = 1$
B.$x = 0$
C.$x = - 1$
D.$x = - 2$
答案
3. C
解析
解：方程两边同乘$(x + 2)(x - 2)$，得$4=(x + 2)^2-(x^2 - 4)$。
展开得$4=x^2 + 4x + 4 - x^2 + 4$。
化简得$4=4x + 8$。
移项得$4x=4 - 8$，即$4x=-4$。
解得$x=-1$。
检验：当$x=-1$时，$(x + 2)(x - 2)=(-1 + 2)(-1 - 2)=1×(-3)=-3≠0$。
所以$x=-1$是原分式方程的解。
C
展开得$4=x^2 + 4x + 4 - x^2 + 4$。
化简得$4=4x + 8$。
移项得$4x=4 - 8$，即$4x=-4$。
解得$x=-1$。
检验：当$x=-1$时，$(x + 2)(x - 2)=(-1 + 2)(-1 - 2)=1×(-3)=-3≠0$。
所以$x=-1$是原分式方程的解。
C
二、填空题
4. 分式$\frac {x - 1}{x + 1}$，$\frac {x}{x^{2}-x}$，$\frac {2}{(x + 1)^{2}}$的最简公分母是
4. 分式$\frac {x - 1}{x + 1}$，$\frac {x}{x^{2}-x}$，$\frac {2}{(x + 1)^{2}}$的最简公分母是
$x(x - 1)(x + 1)^2$
。答案
4. $x(x - 1)(x + 1)^2$
5. 当$m=$
2
时，方程$\frac {2mx + 1}{m - x}=2$的根为$\frac {1}{2}$。答案
5. 2
解析
将$x = \frac{1}{2}$代入方程$\frac{2mx + 1}{m - x} = 2$，得：
$\frac{2m · \frac{1}{2} + 1}{m - \frac{1}{2}} = 2$
化简分子分母：
$\frac{m + 1}{m - \frac{1}{2}} = 2$
方程两边同乘$m - \frac{1}{2}$：
$m + 1 = 2(m - \frac{1}{2})$
展开右边：
$m + 1 = 2m - 1$
移项：
$1 + 1 = 2m - m$
解得：
$m = 2$
经检验，$m = 2$时，分母$m - x = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} ≠ 0$，是原方程的解。
2
$\frac{2m · \frac{1}{2} + 1}{m - \frac{1}{2}} = 2$
化简分子分母：
$\frac{m + 1}{m - \frac{1}{2}} = 2$
方程两边同乘$m - \frac{1}{2}$：
$m + 1 = 2(m - \frac{1}{2})$
展开右边：
$m + 1 = 2m - 1$
移项：
$1 + 1 = 2m - m$
解得：
$m = 2$
经检验，$m = 2$时，分母$m - x = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} ≠ 0$，是原方程的解。
2
6. 如果关于$x$的分式方程$\frac {2x - m}{x + 1}=1$的解是负数，那么实数$m$的取值范围是
$m ＜ -1$且$m ≠ -2$
。答案
6. $m ＜ -1$且$m ≠ -2$
解析
解：方程两边同乘$x + 1$，得$2x - m = x + 1$，解得$x = m + 1$。
因为方程的解是负数，所以$m + 1 ＜ 0$，解得$m ＜ -1$。
又因为分母不能为$0$，即$x + 1 ≠ 0$，所以$m + 1 + 1 ≠ 0$，解得$m ≠ -2$。
综上，$m$的取值范围是$m ＜ -1$且$m ≠ -2$。
因为方程的解是负数，所以$m + 1 ＜ 0$，解得$m ＜ -1$。
又因为分母不能为$0$，即$x + 1 ≠ 0$，所以$m + 1 + 1 ≠ 0$，解得$m ≠ -2$。
综上，$m$的取值范围是$m ＜ -1$且$m ≠ -2$。
三、解答题
7. 解方程：$\frac {2x}{2x - 1}+\frac {x}{x - 2}=2$。
7. 解方程：$\frac {2x}{2x - 1}+\frac {x}{x - 2}=2$。
答案
7. $x = \frac{4}{5}$
解析
解：方程两边同乘$(2x - 1)(x - 2)$，得$2x(x - 2) + x(2x - 1) = 2(2x - 1)(x - 2)$。
展开得$2x^2 - 4x + 2x^2 - x = 2(2x^2 - 5x + 2)$。
合并同类项得$4x^2 - 5x = 4x^2 - 10x + 4$。
移项、合并同类项得$5x = 4$，解得$x = \frac{4}{5}$。
检验：当$x = \frac{4}{5}$时，$(2x - 1)(x - 2) = (2×\frac{4}{5} - 1)(\frac{4}{5} - 2) = (\frac{8}{5} - \frac{5}{5})(-\frac{6}{5}) = \frac{3}{5}×(-\frac{6}{5}) = -\frac{18}{25} ≠ 0$。
所以，原分式方程的解为$x = \frac{4}{5}$。
展开得$2x^2 - 4x + 2x^2 - x = 2(2x^2 - 5x + 2)$。
合并同类项得$4x^2 - 5x = 4x^2 - 10x + 4$。
移项、合并同类项得$5x = 4$，解得$x = \frac{4}{5}$。
检验：当$x = \frac{4}{5}$时，$(2x - 1)(x - 2) = (2×\frac{4}{5} - 1)(\frac{4}{5} - 2) = (\frac{8}{5} - \frac{5}{5})(-\frac{6}{5}) = \frac{3}{5}×(-\frac{6}{5}) = -\frac{18}{25} ≠ 0$。
所以，原分式方程的解为$x = \frac{4}{5}$。
8. $a$为何值时，关于$x$的方程$\frac {x + 1}{x - 2}=\frac {2a - 3}{a + 5}$的解为零？
答案
8. $a = \frac{1}{5}$
解析
解：将$x=0$代入方程$\frac{x + 1}{x - 2}=\frac{2a - 3}{a + 5}$，得$\frac{0 + 1}{0 - 2}=\frac{2a - 3}{a + 5}$，即$-\frac{1}{2}=\frac{2a - 3}{a + 5}$。
交叉相乘得：$-(a + 5)=2(2a - 3)$
去括号：$-a - 5 = 4a - 6$
移项：$-a - 4a = -6 + 5$
合并同类项：$-5a = -1$
解得：$a = \frac{1}{5}$
经检验，$a = \frac{1}{5}$时，分母$a + 5 = \frac{1}{5} + 5 = \frac{26}{5} ≠ 0$，原方程分母$x - 2 = 0 - 2 = -2 ≠ 0$，所以$a = \frac{1}{5}$是原方程的解。
$a = \frac{1}{5}$
交叉相乘得：$-(a + 5)=2(2a - 3)$
去括号：$-a - 5 = 4a - 6$
移项：$-a - 4a = -6 + 5$
合并同类项：$-5a = -1$
解得：$a = \frac{1}{5}$
经检验，$a = \frac{1}{5}$时，分母$a + 5 = \frac{1}{5} + 5 = \frac{26}{5} ≠ 0$，原方程分母$x - 2 = 0 - 2 = -2 ≠ 0$，所以$a = \frac{1}{5}$是原方程的解。
$a = \frac{1}{5}$
