2. 如图，这是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手 $ AB $ 与底座 $ CD $ 都平行于地面，前支架 $ OE $ 与后支架 $ OF $ 分别与 $ CD $ 交于点 $ G $ 和点 $ D $，$ AB $ 与 $ DM $ 交于点 $ N $，$ ∠ EOF = 90° $，$ ∠ ODC = 32° $.
（1）求扶手 $ AB $ 与支架 $ OE $ 的夹角 $ ∠ AOE $ 的度数；
（2）若扶手 $ AB $ 与靠背 $ DM $ 的夹角 $ ∠ BNM = 58° $，请说明 $ OE // DM $.

（1）∵AB//CD（已知），∴∠AOE=∠OGD（两直线平行，同位角相等）。
∵∠EOF=90°，∴∠EOD=90°。
在△OGD中，∠ODC=32°，∠ODG=∠ODC=32°（对顶角相等），∠GOD=90°，
∴∠OGD=180°-∠GOD-∠ODG=180°-90°-32°=58°。
∴∠AOE=∠OGD=58°。
（2）∵∠BNM=58°（已知），∠AOE=58°（已证），
∴∠AOE=∠BNM（等量代换）。
∵AB为截线，∠AOE与∠BNM是同位角，
∴OE//DM（同位角相等，两直线平行）。

3. 如图，已知 $ AM // BN $，点 $ P $ 是射线 $ AM $ 上一动点（与点 $ A $ 不重合），$ BC $，$ BD $ 分别平分 $ ∠ ABP $ 和 $ ∠ PBN $，分别交射线 $ AM $ 于点 $ C $，$ D $，且 $ ∠ CBD = 60° $.
（1）求 $ ∠ A $ 的度数.
（2）当点 $ P $ 运动时，$ ∠ APB $ 与 $ ∠ ADB $ 之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律.
（3）当点 $ P $ 运动到使 $ ∠ ACB = ∠ ABD $ 时，求 $ ∠ ABC $ 的度数.

（1）60°；（2）∠APB=2∠ADB；（3）30°。

（1）因为BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，设∠ABC=∠CBP=x，∠PBD=∠DBN=y。则∠CBD=∠CBP+∠PBD=x+y=60°。∠ABN=∠ABP+∠PBN=2x+2y=2(x+y)=120°。因为AM//BN，所以∠A+∠ABN=180°，故∠A=180°-120°=60°。
（2）不变化，∠APB=2∠ADB。理由：因为AM//BN，所以∠ADB=∠DBN=y（内错角）。∠APB=∠PBN=2y（内错角），故∠APB=2∠ADB。
（3）因为AM//BN，所以∠ACB=∠CBN=x+2y（内错角）。∠ABD=∠ABP+∠PBD=2x+y。由∠ACB=∠ABD得x+2y=2x+y，即x=y。又x+y=60°，所以x=30°，即∠ABC=30°。