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7.现有一个质量为54 g、体积为$50\ \mathrm{cm}^3$的空心铝球。若在空心铝球内注满某种液体后总质量为78 g，已知$\rho_{铝}=2.7×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。求：
(1)所注入液体的质量。
(2)所注入液体的体积。
(3)所注入液体的密度。
(1)所注入液体的质量。
(2)所注入液体的体积。
(3)所注入液体的密度。
答案
7. 解:(1)空心铝球中注入液体的质量：
$m_{液} = m_{总} - m_{铝} = 78\ \mathrm{g} - 54\ \mathrm{g} = 24\ \mathrm{g}$；
(2)根据$\rho = \frac{m}{V}$可得,54 g铝的体积：
$V_{铝} = \frac{m_{铝}}{\rho_{铝}} = \frac{54\ \mathrm{g}}{2.7\ \mathrm{g/cm}^3} = 20\ \mathrm{cm}^3$,
则铝球空心部分的体积：
$V_{空} = V_{球} - V_{铝} = 50\ \mathrm{cm}^3 - 20\ \mathrm{cm}^3 = 30\ \mathrm{cm}^3$,
所注入液体的体积:$V_{液} = V_{空} = 30\ \mathrm{cm}^3$；
(3)所注入液体的密度：
$\rho_{液} = \frac{m_{液}}{V_{液}} = \frac{24\ \mathrm{g}}{30\ \mathrm{cm}^3} = 0.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
答:(1)所注入液体的质量为24 g;(2)所注入液体的体积为$30\ \mathrm{cm}^3$;(3)所注入液体的密度为$0.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
$m_{液} = m_{总} - m_{铝} = 78\ \mathrm{g} - 54\ \mathrm{g} = 24\ \mathrm{g}$；
(2)根据$\rho = \frac{m}{V}$可得,54 g铝的体积：
$V_{铝} = \frac{m_{铝}}{\rho_{铝}} = \frac{54\ \mathrm{g}}{2.7\ \mathrm{g/cm}^3} = 20\ \mathrm{cm}^3$,
则铝球空心部分的体积：
$V_{空} = V_{球} - V_{铝} = 50\ \mathrm{cm}^3 - 20\ \mathrm{cm}^3 = 30\ \mathrm{cm}^3$,
所注入液体的体积:$V_{液} = V_{空} = 30\ \mathrm{cm}^3$；
(3)所注入液体的密度：
$\rho_{液} = \frac{m_{液}}{V_{液}} = \frac{24\ \mathrm{g}}{30\ \mathrm{cm}^3} = 0.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
答:(1)所注入液体的质量为24 g;(2)所注入液体的体积为$30\ \mathrm{cm}^3$;(3)所注入液体的密度为$0.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
8.小明同学在工艺品商店购买了一个铜球，用实验器材测得其质量为534 g，体积为100 cm³（已知$\rho_{铜}=8.9\ \mathrm{g/cm}^3$）。
（1）求该铜球空心部分的体积。
（2）往铜球空心部分注入液体，测得注入液体后铜球总质量$m$与注入的液体体积$V$的关系如图所示。求注入的液体的密度。
6题图
（1）求该铜球空心部分的体积。
（2）往铜球空心部分注入液体，测得注入液体后铜球总质量$m$与注入的液体体积$V$的关系如图所示。求注入的液体的密度。
6题图
答案
8. 解:(1)由$\rho = \frac{m}{V}$可得,铜球中实心部分的体积：
$V_{实心} = \frac{m_{球}}{\rho_{铜}} = \frac{534\ \mathrm{g}}{8.9\ \mathrm{g/cm}^3} = 60\ \mathrm{cm}^3$,
该铜球空心部分的体积：
$V_{空} = V_{球} - V_{实心} = 100\ \mathrm{cm}^3 - 60\ \mathrm{cm}^3 = 40\ \mathrm{cm}^3$；
(2)由图可知,当液体的体积$V=25\ \mathrm{cm}^3$时,铜球总质量$m=874\ \mathrm{g}$,
此时液体的质量:$m_{液} = m - m_{球} = 874\ \mathrm{g} - 534\ \mathrm{g} = 340\ \mathrm{g}$,
则注入液体的密度：
$\rho_{液} = \frac{m_{液}}{V} = \frac{340\ \mathrm{g}}{25\ \mathrm{cm}^3} = 13.6\ \mathrm{g/cm}^3 = 13.6 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
答:(1)该铜球空心部分体积为$40\ \mathrm{cm}^3$;(2)注入的液体的密度为$13.6 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
$V_{实心} = \frac{m_{球}}{\rho_{铜}} = \frac{534\ \mathrm{g}}{8.9\ \mathrm{g/cm}^3} = 60\ \mathrm{cm}^3$,
该铜球空心部分的体积：
$V_{空} = V_{球} - V_{实心} = 100\ \mathrm{cm}^3 - 60\ \mathrm{cm}^3 = 40\ \mathrm{cm}^3$；
(2)由图可知,当液体的体积$V=25\ \mathrm{cm}^3$时,铜球总质量$m=874\ \mathrm{g}$,
此时液体的质量:$m_{液} = m - m_{球} = 874\ \mathrm{g} - 534\ \mathrm{g} = 340\ \mathrm{g}$,
则注入液体的密度：
$\rho_{液} = \frac{m_{液}}{V} = \frac{340\ \mathrm{g}}{25\ \mathrm{cm}^3} = 13.6\ \mathrm{g/cm}^3 = 13.6 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
答:(1)该铜球空心部分体积为$40\ \mathrm{cm}^3$;(2)注入的液体的密度为$13.6 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
9.用2 kg密度为$\rho_1$的金属甲和4 kg密度为$\rho_2$的金属乙制作合金球,两种金属混合前后总体积不变,则合金球的密度为多少？(用$\rho_1$、$\rho_2$表示)
答案
解:由$\rho = \frac{m}{V}$可得,金属甲的体积:$V_1 = \frac{m_1}{\rho_1} = \frac{2\ \mathrm{kg}}{\rho_1}$,
金属乙的体积:$V_2 = \frac{m_2}{\rho_2} = \frac{4\ \mathrm{kg}}{\rho_2}$,
合金球的体积:$V = V_1 + V_2 = \frac{2\ \mathrm{kg}}{\rho_1} + \frac{4\ \mathrm{kg}}{\rho_2}$,
合金球的质量:$m = m_1 + m_2 = 2\ \mathrm{kg} + 4\ \mathrm{kg} = 6\ \mathrm{kg}$,
合金球的密度:$\rho = \frac{m}{V} = \frac{6\ \mathrm{kg}}{\frac{2\ \mathrm{kg}}{\rho_1} + \frac{4\ \mathrm{kg}}{\rho_2}} = \frac{3\rho_1 \rho_2}{2\rho_1 + \rho_2}$。
答:合金球的密度为$\frac{3\rho_1 \rho_2}{2\rho_1 + \rho_2}$。
金属乙的体积:$V_2 = \frac{m_2}{\rho_2} = \frac{4\ \mathrm{kg}}{\rho_2}$,
合金球的体积:$V = V_1 + V_2 = \frac{2\ \mathrm{kg}}{\rho_1} + \frac{4\ \mathrm{kg}}{\rho_2}$,
合金球的质量:$m = m_1 + m_2 = 2\ \mathrm{kg} + 4\ \mathrm{kg} = 6\ \mathrm{kg}$,
合金球的密度:$\rho = \frac{m}{V} = \frac{6\ \mathrm{kg}}{\frac{2\ \mathrm{kg}}{\rho_1} + \frac{4\ \mathrm{kg}}{\rho_2}} = \frac{3\rho_1 \rho_2}{2\rho_1 + \rho_2}$。
答:合金球的密度为$\frac{3\rho_1 \rho_2}{2\rho_1 + \rho_2}$。
10.有一个质量为232 g的铜铝合金球，其中含铝54 g，求合金球的密度为多少？（已知铜的密度为$\rho_{铜}=8.9\ \mathrm{g/cm}^3$，铝的密度为$\rho_{铝}=2.7\ \mathrm{g/cm}^3$）
答案
10. 解:铜的质量：
$m_{铜} = m_{总} - m_{铝} = 232\ \mathrm{g} - 54\ \mathrm{g} = 178\ \mathrm{g}$,
由$\rho = \frac{m}{V}$得，
铜的体积:$V_{铜} = \frac{m_{铜}}{\rho_{铜}} = \frac{178\ \mathrm{g}}{8.9\ \mathrm{g/cm}^3} = 20\ \mathrm{cm}^3$,
铝的体积:$V_{铝} = \frac{m_{铝}}{\rho_{铝}} = \frac{54\ \mathrm{g}}{2.7\ \mathrm{g/cm}^3} = 20\ \mathrm{cm}^3$,
所以铜铝合金球的体积：
$V_{总} = V_{铝} + V_{铜} = 20\ \mathrm{cm}^3 + 20\ \mathrm{cm}^3 = 40\ \mathrm{cm}^3$,
合金球的密度:$\rho = \frac{m_{总}}{V_{总}} = \frac{232\ \mathrm{g}}{40\ \mathrm{cm}^3} = 5.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
答:合金球的密度为$5.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
$m_{铜} = m_{总} - m_{铝} = 232\ \mathrm{g} - 54\ \mathrm{g} = 178\ \mathrm{g}$,
由$\rho = \frac{m}{V}$得，
铜的体积:$V_{铜} = \frac{m_{铜}}{\rho_{铜}} = \frac{178\ \mathrm{g}}{8.9\ \mathrm{g/cm}^3} = 20\ \mathrm{cm}^3$,
铝的体积:$V_{铝} = \frac{m_{铝}}{\rho_{铝}} = \frac{54\ \mathrm{g}}{2.7\ \mathrm{g/cm}^3} = 20\ \mathrm{cm}^3$,
所以铜铝合金球的体积：
$V_{总} = V_{铝} + V_{铜} = 20\ \mathrm{cm}^3 + 20\ \mathrm{cm}^3 = 40\ \mathrm{cm}^3$,
合金球的密度:$\rho = \frac{m_{总}}{V_{总}} = \frac{232\ \mathrm{g}}{40\ \mathrm{cm}^3} = 5.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
答:合金球的密度为$5.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
