6. 风筝起源于我国春秋战国时期，至今已有两千多年的历史. 小明用6根竹条扎制成如图14.2-32所示的风筝骨架，其中$AB=AD$，$BD=BC=CD=16\ \mathrm{cm}$.
(1) 求证：$△ ABC ≌ △ ADC$.
(2) 求竹条$BE$的长度.

图14.2-32

（1）证明：在$△ABC$与$△ADC$中，
$\begin{cases} AB=AD, \\ BC=DC, \\ AC=AC, \end{cases}$
$\therefore △ABC≌△ADC$（SSS）
（2）$\because △ABC≌△ADC$，$\therefore ∠BAE=∠DAE$。在$△AEB$与$△AED$中，
$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠BAE=∠DAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
$\therefore △AEB≌△AED$（SAS）。$\therefore BE=ED=\frac{1}{2}BD=8\ \mathrm{cm}$

【分析】
(1) 要证明$△ ABC≌△ ADC$，先梳理已知条件：题目直接给出$AB=AD$，$BC=DC$，同时$AC$是两个三角形的公共边，满足三边对应相等的全等判定要求，因此可通过SSS定理判定两个三角形全等。
(2) 要求$BE$的长度，首先利用第(1)问的全等结论可得对应角$∠ BAE=∠ DAE$，再观察$△ AEB$和$△ AED$，已知$AB=AD$，$AE$为公共边，结合得到的等角条件，可通过SAS定理判定两个三角形全等，进而推出$BE=DE$，即$E$是$BD$中点，结合$BD$的已知长度即可求出$BE$的长度。
【解析】
（1）证明：在$△ ABC$与$△ ADC$中，
$\begin{cases} AB=AD, \\ BC=DC, \\ AC=AC, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADC$（SSS）。
（2）解：$\because △ ABC≌△ ADC$，$\therefore ∠ BAE=∠ DAE$。
在$△ AEB$与$△ AED$中，
$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠ BAE=∠ DAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
$\therefore △ AEB≌△ AED$（SAS）。
$\therefore BE=ED=\frac{1}{2}BD$，
$\because BD=16\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BE=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
（1）$△ ABC ≌ △ ADC$得证；（2）$\boldsymbol{8\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质；线段中点计算
【点评】
本题结合生活场景命题，侧重考查三角形全等的判定与性质的应用，解题时要注意公共边这类隐含条件的使用，第二问需要依托前一问的结论推导，逻辑链条清晰，属于全等判定的基础应用题型。
【难度系数】
0.8

7. 如图14.2-33，AB=AC，AD=AE，BD=CE，BD与CE相交于点O，与∠CAB（不包括∠CAB）一定相等的角有（）。

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

图14.2-33

7. C

【分析】
解题时首先观察已知条件，题目给出三组对应边相等，优先考虑用SSS判定定理证明三角形全等；得到全等三角形后，利用对应角相等推导角的和差关系，得到第一个和∠CAB相等的角；再结合三角形内角和定理、对顶角相等的性质，依次找出其余和∠CAB相等的角，最后统计个数即可。
【解析】
1. 证明△ABD≌△ACE：
在△ABD和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\AD=AE\\BD=CE\end{array} $
∴△ABD≌△ACE（SSS）
2. 推导角的关系：
由全等三角形对应角相等，得∠BAD=∠CAE，∠B=∠C。
等式两边同时减去公共角∠CAD，得：
∠BAD - ∠CAD = ∠CAE - ∠CAD，即∠CAB=∠DAE。
3. 利用三角形内角和与对顶角推导其余相等角：
在△AFC和△OFB中，∠C=∠B，∠AFC=∠OFB（对顶角相等），根据三角形内角和为180°，可得∠FAC=∠FOB，即∠CAB=∠FOB（也就是∠BOC）。
又因为∠FOB与∠DOE是对顶角，所以∠FOB=∠DOE，因此∠DOE=∠CAB。
综上，不包括∠CAB本身，和∠CAB相等的角有∠DAE、∠BOC、∠DOE，共3个。
【答案】
C
【知识点】
SSS证全等；全等三角形的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形与角的性质结合的基础综合题，解题关键是先通过SSS判定三角形全等，再逐步推导角的等量关系，解题时需要注意不要遗漏对顶角对应的相等角，避免漏算。
【难度系数】
0.6

8.（1）数学兴趣小组成员用四根木条钉成一个“筝形”（有两组邻边分别相等的四边形）仪器（如图 14.2 - 34），AB = AD，BC = DC，相邻两根木条的连接处是可以转动的，连接 AC. 求证：AC 平分∠BAD.
（2）如图 14.2 - 35，在△ABC 中，∠BAC=80°，∠ABC=40°. 若点 E，F 分别是边 AB，BC 上的动点（点 E 不与点 A，B 重合，点 F 不与点 B，C 重合），当四边形 AEFC 为“筝形”时，求出∠EFB 的度数.

（1）证明：由题意可知，在$△ABC$与$△ADC$中，
$\begin{cases} AB=AD, \\ AC=AC, \\ BC=DC, \end{cases}$
$\therefore △ABC≌△ADC$（SSS）。$\therefore ∠BAC=∠DAC$，$\therefore AC$平分$∠BAD$
（2）由题意可知$∠BAC=80°$，$∠ABC=40°$。$\therefore ∠C=180°-∠BAC-∠ABC=60°$。①如答图2，当$AE=AC$，$EF=CF$时，在$△AEF$与$△ACF$中，
$\begin{cases} AE=AC, \\ AF=AF, \\ EF=CF, \end{cases}$
$\therefore △AEF≌△ACF$（SSS）。$\therefore ∠AEF=∠C=60°$，$\therefore ∠EFC=360°-80°-60°-60°=160°$，$\therefore ∠EFB=180°-∠EFC=20°$
②如答图3，当$AE=FE$，$AC=FC$时，同理可得$△AEC≌△FEC$（SSS），$\therefore ∠EFC=∠A=80°$，$\therefore ∠EFB=180°-80°=100°$。综上所述，$∠EFB$的度数为$20°$或$100°$

【分析】
（1）要证明AC平分∠BAD，核心是证明∠BAC=∠DAC。已知AB=AD、BC=DC，且AC是△ABC和△ADC的公共边，可通过SSS判定两个三角形全等，利用全等三角形对应角相等即可得证。
（2）首先根据三角形内角和求出△ABC中∠C的度数，再结合“筝形两组邻边分别相等”的定义，分两种情况讨论：①AE=AC，EF=CF；②AE=FE，AC=FC。每种情况均通过SSS证明对应三角形全等，得到对应角的度数，再结合邻补角的性质计算∠EFB的度数即可。
【解析】
（1）证明：在$△ABC$与$△ADC$中，
$\begin{cases} AB=AD, \\ AC=AC, \\ BC=DC, \end{cases}$
$\therefore △ABC≌△ADC$（SSS）。
$\therefore ∠BAC=∠DAC$，$\therefore AC$平分$∠BAD$。
（2）解：已知$∠BAC=80°$，$∠ABC=40°$，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ C=180°-∠BAC-∠ABC=60°$。
①当$AE=AC$，$EF=CF$时，在$△AEF$与$△ACF$中，
$\begin{cases} AE=AC, \\ AF=AF, \\ EF=CF, \end{cases}$
$\therefore △AEF≌△ACF$（SSS）。
$\therefore ∠AEF=∠C=60°$，
$\therefore ∠EFC=360°-80°-60°-60°=160°$，
$\therefore ∠EFB=180°-∠EFC=20°$
②当$AE=FE$，$AC=FC$时，同理可得$△AEC≌△FEC$（SSS），
$\therefore ∠EFC=∠A=80°$，
$\therefore ∠EFB=180°-80°=100°$。
综上所述，$∠EFB$的度数为$20°$或$100°$
【答案】
（1）AC平分∠BAD得证；
（2）∠EFB的度数为$\boldsymbol{20°}$或$\boldsymbol{100°}$
【知识点】
SSS证全等，三角形内角和，分类讨论
【点评】
本题结合新定义“筝形”考查全等三角形的判定与性质的应用，第二小问需要根据筝形的特征分类讨论两种邻边相等的情况，避免漏解，能有效锻炼学生的逻辑推理能力和思维严谨性。
【难度系数】
0.6

9. 如图14.2-36，点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，BC＝EF.
（1）求证：$△ ABC≌△ DEF$.
（2）若$∠ A＝55°$，$∠ E＝45°$，求$∠ F$的度数.

（1）证明：$\because AD=BE$，$\therefore AD+DB=BE+DB$，$\therefore AB=DE$。在$△ABC$与$△DEF$中，
$\begin{cases} AB=DE, \\ BC=EF, \\ AC=DF, \end{cases}$
$\therefore △ABC≌△DEF$（SSS）
（2）$80°$

【分析】
（1）要证明$△ ABC≌△ DEF$，题目已给出两组对应边相等：$AC=DF$、$BC=EF$，还缺少第三组对应边$AB=DE$的条件。已知$AD=BE$，在等式两边同时加上公共线段$DB$，即可得到$AB=DE$，满足三边对应相等的全等判定条件，用SSS即可证明全等。
（2）要求$∠ F$的度数，根据全等三角形的性质，全等三角形对应角相等，可得$∠ A=∠ FDE=55°$，$∠ ABC=∠ E=45°$，再结合三角形内角和为$180°$，即可求出$∠ F$的度数。
【解析】
（1）证明：
$\because AD=BE$，
$\therefore AD+DB=BE+DB$，即$AB=DE$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中：
$\begin{cases}AB=DE \\AC=DF \\BC=EF\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEF$（SSS）。
（2）解：
由（1）可知$△ ABC≌△ DEF$，
$\therefore ∠ FDE=∠ A=55°$，
又$\because ∠ E=45°$，三角形内角和为$180°$，
$\therefore ∠ F=180°-∠ FDE-∠ E=180°-55°-45°=80°$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\boldsymbol{80°}$
【知识点】
SSS判定三角形全等；全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形的基础常考题，重点考查全等判定定理和性质的综合应用，解题关键是先通过线段和差得到全等所需的边相等条件，再利用全等的性质转化角度，结合内角和公式求解，解题时要注意找准全等三角形的对应角。
【难度系数】
0.8