8.若关于$x$的方程$\frac{x - k}{2} = \frac{x + 1}{3}$与$x - 3(x - 1) = 2 - (x + k)$的解互为相反数，求$k$的值。

8. $k=-\frac{3}{4}$

【分析】
要解决这个问题，我们可以按照以下思路推导：①先分别求解两个关于x的一元一次方程，把两个方程的解都用含k的代数式表示出来；②根据“两个方程的解互为相反数”的条件，利用互为相反数的两个数和为0的性质，列出关于k的一元一次方程；③解新得到的关于k的方程，即可求出k的值。
【解析】
1. 求解第一个方程$\frac{x - k}{2} = \frac{x + 1}{3}$：
去分母，两边同时乘6得：$3(x - k) = 2(x + 1)$
去括号得：$3x - 3k = 2x + 2$
移项、合并同类项得：$x = 3k + 2$
2. 求解第二个方程$x - 3(x - 1) = 2 - (x + k)$：
去括号得：$x - 3x + 3 = 2 - x - k$
移项得：$x - 3x + x = 2 - k - 3$
合并同类项得：$-x = -k - 1$
系数化为1得：$x = k + 1$
3. 根据两个解互为相反数列方程：
互为相反数的两数和为0，因此$(3k + 2) + (k + 1) = 0$
合并同类项得：$4k + 3 = 0$
移项得：$4k = -3$
系数化为1得：$k = -\frac{3}{4}$
【答案】
$k=-\frac{3}{4}$
【知识点】
解一元一次方程；相反数的性质；一元一次方程的解
【点评】
本题属于一元一次方程和相反数性质的综合应用题，解题关键是正确用含参数k的代数式表示两个方程的解，再结合相反数的数量关系建立关于k的方程求解，是一元一次方程章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7

9.阅读下列材料,完成后面的任务:
解方程:$1-\frac{2}{3}x=-\frac{x}{2}$.
解:去分母,得 $1-4x=-3x$,(第一步)
移项,得 $1=4x-3x$,(第二步)
合并同类项,得 $x=1$.(第三步)
(1)上面的求解过程从第步开始出现错误;错误的原因是.
(2)请写出该方程正确的解题过程.

9. (1)一,去分母时1漏乘了6 (2)$x=6$

【分析】
本题考查解一元一次方程的规范步骤，解题思路如下：对于第(1)问，先回忆去分母的运算规则：去分母时需给方程两边的每一项都乘各分母的最小公倍数，不能漏乘任何项。本题中分母为3和2，最小公倍数是6，观察原解题第一步，发现常数项1没有乘6，即可判断错误步骤和原因。对于第(2)问，严格按照去分母、移项、合并同类项、系数化为1的标准步骤解方程即可。
【解析】
(1) 原方程去分母时需要给每一项都乘6，原第一步中左边的常数项1未乘6，因此求解过程从第一步开始出现错误，错误原因是去分母时1漏乘了6。
(2) 正确解题过程：
$1-\frac{2}{3}x=-\frac{x}{2}$
去分母，得：$6 - 4x = -3x$
移项，得：$-4x + 3x = -6$
合并同类项，得：$-x = -6$
系数化为1，得：$x = 6$
【答案】
(1) 一，去分母时1漏乘了6
(2) $x=6$
【知识点】
1. 解一元一次方程
2. 去分母运算
【点评】
本题是解一元一次方程的基础易错题，重点考查去分母的注意事项，解题时要注意去分母时不要漏乘不含分母的常数项，熟练掌握解方程的各步骤规范就能有效避免这类错误。
【难度系数】
0.8

10. 观察下列关于 $ x $ 的方程及其解的特征：
$ 2x - \frac{x+1}{2}=1 $ 的解为 $ x=1 $；
$ 3x - \frac{x+2}{3}=2 $ 的解为 $ x=1 $；
$ 4x - \frac{x+3}{4}=3 $ 的解为 $ x=1 $；
……
根据观察得到的规律，解答下列问题：
(1) 方程 $ 11x - \frac{x+10}{11}=10 $ 的解为 ；
(2) 猜想方程 $ 100x - \frac{x+99}{100}=99 $ 的解，并验证；
(3) 直接写出按此规律排列的第678个方程 。

10. (1)$x=1$ (2)$x=1$,验证略 (3)$679x-\frac{x+678}{679}=678$

【分析】
解题时先观察已知方程的共同特征：①所有给出的方程解均为x=1；②方程结构符合规律：若x的系数为k（k为≥2的整数），则分数的分母也为k，分数分子中常数项为k-1，方程等号右边的数也为k-1。按照该规律可直接得出符合结构的方程的解，写第n个方程时，先确定第n个方程对应的k值为n+1，代入规律结构即可；验证方程解的方法为将解代入方程左右两边，计算后若两边相等则为方程的解。
【解析】
先总结已知方程的规律：形如$kx-\frac{x+(k-1)}{k}=k-1$（k为≥2的整数）的方程，解为$x=1$。
(1) 方程$11x - \frac{x+10}{11}=10$符合上述规律（k=11），因此解为$x=1$；
(2) 猜想方程$100x - \frac{x+99}{100}=99$的解为$x=1$。
验证：把$x=1$代入方程左边，得：
左边$=100×1 - \frac{1+99}{100}=100-\frac{100}{100}=100-1=99$，
右边$=99$，左边=右边，故$x=1$是方程的解；
(3) 第1个方程对应k=2=1+1，第2个方程对应k=3=2+1，以此类推，第678个方程对应k=678+1=679，代入规律结构得方程：$679x-\frac{x+678}{679}=678$。
【答案】
(1)$x=1$ (2)$x=1$，验证见解析 (3)$679x-\frac{x+678}{679}=678$
【知识点】
一元一次方程的解，数字规律探究，一元一次方程的检验
【点评】
本题侧重考查观察归纳能力，结合一元一次方程的相关知识设计，只要准确找到方程结构的共同规律，就能快速求解，验证解的过程要注意计算准确。
【难度系数】
0.8