10. 随着数学学习的深入,数系不断扩充,引入新数i,规定$i^2=-1$,并且新数i满足交换律、结合律和分配律,则$(1+i)(2-i)$的运算结果是().

A.$3-i$
B.$2+i$
C.$1-i$
D.$3+i$

D

【分析】
解题时先回忆多项式乘多项式的运算法则，本题虽然引入了新数i，但运算规则和我们学过的整式乘法一致，只需按照多项式乘多项式的方法展开，再结合题目给出的$i^2=-1$的规则替换，最后合并同类项就能得到运算结果。
【解析】
根据多项式乘多项式的运算法则展开计算：
第一步：用第一个多项式的每一项乘第二个多项式的每一项
$(1+i)(2-i) = 1×2 - 1× i + i×2 - i× i$
第二步：计算各项并整理
$= 2 - i + 2i - i^2$
第三步：根据题目规定$i^2=-1$代入，合并同类项
$= 2 + i - (-1)$
$= 2 + i + 1$
$= 3 + i$
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式、新定义运算
【点评】
本题结合新定义考查整式乘法的应用，解题关键是熟练掌握多项式乘法的运算规则，注意代入$i^2=-1$时的符号处理，避免因符号计算错误丢分。
【难度系数】
0.8

11.定义:$a※b=a(b+1)$,例如$2※3=2×(3+1)=2×4=8$.若$(x+2)※(x+4)=ax^2+bx+c$,则$a+c$的值为.

解：根据定义$a※b=a(b+1)$，可得
$\begin{aligned}(x+2)※(x+4)&=(x+2)·[(x+4)+1]\\&=(x+2)(x+5)\\&=x^2+5x+2x+10\\&=x^2+7x+10\end{aligned}$
对比$ax^2+bx+c$，得$a=1$，$c=10$，
所以$a+c=1+10=11$。

【分析】
首先明确题目给出的新定义运算规则：$a※b$等于第一个数$a$乘第二个数$b$加1的和。解题时先确定$(x+2)※(x+4)$中对应$a$、$b$的代数式，代入新运算公式转化为常规多项式乘法运算，展开后将结果与$ax^2+bx+c$对比，提取$a$和$c$的系数，最后计算$a+c$的数值即可。
【解析】
根据定义$a※b=a(b+1)$，可得：
$\begin{aligned}(x+2)※(x+4)&=(x+2)·[(x+4)+1]\\&=(x+2)(x+5)\\&=x^2+5x+2x+10\\&=x^2+7x+10\end{aligned}$
将展开结果与$ax^2+bx+c$对比，得二次项系数$a=1$，常数项$c=10$，
因此$a+c=1+10=11$。
【答案】
11
【知识点】
新定义运算、多项式乘多项式、代数式求值
【点评】
本题将新定义运算与多项式乘法相结合，解题核心是准确理解新运算规则，避免错用运算公式，同时熟练掌握多项式乘法的展开方法，保证运算准确性即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

12.已知$5x^2 -x -1=0$,则代数式$(3x+2)·(3x-2)+x(x-2)$的值为.

解：
先化简代数式：
$\begin{aligned}&(3x+2)(3x-2)+x(x-2)\\=&9x^2 -6x +6x -4 +x^2 -2x\\=&10x^2 -2x -4\end{aligned}$
由 $5x^2 -x -1=0$，移项得 $5x^2 -x =1$。
将化简后的代数式变形：
$10x^2 -2x -4 = 2(5x^2 -x) -4$
把 $5x^2 -x=1$ 代入上式：
$2×1 -4 = -2$
最终答案为 $\boldsymbol{-2}$。

【分析】
首先观察题目特征，已知关于x的方程，若直接求解x再代入代数式计算会比较繁琐，因此优先采用先化简再整体代入的思路求解：第一步利用整式运算法则化简所求代数式，第二步将已知方程变形得到和化简结果相关的整体值，第三步整体代入计算即可得到结果，无需单独解出x的值。
【解析】
先化简代数式：
$\begin{aligned}&(3x+2)(3x-2)+x(x-2)\\=&9x^2 -4 +x^2 -2x\\=&10x^2 -2x -4\end{aligned}$
由 $5x^2 -x -1=0$，移项可得 $5x^2 -x =1$。
将化简后的代数式变形为含$5x^2 -x$的形式：
$10x^2 -2x -4 = 2(5x^2 -x) -4$
把 $5x^2 -x=1$ 代入上式计算：
$2×1 -4 = -2$
【答案】
$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
平方差公式，整式化简求值，整体代入思想
【点评】
本题属于整式运算的常规题型，核心考查整式运算法则的掌握和整体代入思想的运用，通过先化简再整体代入的方法可以大幅简化运算，避免求解未知数带来的额外计算量，是代数求值类题目的常用解题思路。
【难度系数】
0.7

13. 计算:
(1)$(x+3)(x-7)-x(x-1)$；
(2)$5y^2-(y-2)(3y+1)-2(y+1)(y-5)$.

解：
(1) 原式$=x^2 -7x +3x -21 - (x^2 -x)$
$=x^2 -4x -21 -x^2 +x$
$=-3x -21$
(2) 原式$=5y^2 - (3y^2 +y -6y -2) - 2(y^2 -5y +y -5)$
$=5y^2 - (3y^2 -5y -2) - 2(y^2 -4y -5)$
$=5y^2 -3y^2 +5y +2 -2y^2 +8y +10$
$=13y +12$

【分析】
这两道题属于整式混合运算题，遵循“先乘除、后加减”的运算顺序解题即可：①首先运用多项式乘多项式、单项式乘多项式的法则计算所有乘法项；②其次去括号，注意括号前为负号时，括号内每一项都要变号，括号前带系数时，系数要乘遍括号内的所有项；③最后合并同类项，化简得到最终结果。
【解析】
(1) 先计算乘法项：
原式$=x^2 -7x +3x -21 - (x^2 -x)$
去括号：
$=x^2 -4x -21 -x^2 +x$
合并同类项：
$=-3x -21$
(2) 先计算乘法项：
原式$=5y^2 - (3y^2 +y -6y -2) - 2(y^2 -5y +y -5)$
化简括号内的同类项：
$=5y^2 - (3y^2 -5y -2) - 2(y^2 -4y -5)$
去括号：
$=5y^2 -3y^2 +5y +2 -2y^2 +8y +10$
合并同类项：
$=13y +12$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3x -21}$；(2) $\boldsymbol{13y +12}$
【知识点】
多项式乘多项式，去括号法则，合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查相关运算法则的熟练运用，易错点为去括号时符号出错、漏乘括号内的项，分步计算、及时检查可有效降低错误率。
【难度系数】
0.8

14. 如图,在长为$4a-1$,宽为$3b+2$的长方形铁片上,挖去一块长为$3a-2$,宽为$2b$的小长方形铁片.
(1)计算剩余部分(即阴影部分)的面积;
(2)求出当$a=4,b=3$时的阴影部分的面积.

解：
(1) 剩余部分的面积为：
$\begin{aligned}&(4a-1)(3b+2) - 2b(3a-2)\\=&12ab + 8a - 3b - 2 - 6ab + 4b\\=&6ab + 8a + b - 2\end{aligned}$
(2) 当$a=4$，$b=3$时：
$\begin{aligned}&6ab + 8a + b - 2\\=&6×4×3 + 8×4 + 3 - 2\\=&72 + 32 + 3 - 2\\=&105\end{aligned}$
答：(1) 剩余部分的面积为$6ab + 8a + b - 2$；(2) 当$a=4,b=3$时，阴影部分的面积为105。

【分析】
(1) 求阴影部分面积可采用“作差法”，阴影面积=大长方形面积-挖去的小长方形面积。首先根据长方形面积=长×宽，分别表示出大、小长方形的面积，再按照多项式乘多项式的运算法则展开，最后合并同类项即可得到剩余面积的表达式。
(2) 第二问为代数式求值问题，直接将a=4、b=3代入第一问化简后的代数式，按运算顺序计算即可得到具体的面积数值。
【解析】
(1) 大长方形面积为$(4a-1)(3b+2)$，挖去的小长方形面积为$2b(3a-2)$，剩余部分面积为：
$\begin{aligned}&(4a-1)(3b+2) - 2b(3a-2)\\=&12ab + 8a - 3b - 2 - 6ab + 4b\\=&6ab + 8a + b - 2\end{aligned}$
(2) 当$a=4$，$b=3$时，代入化简后的式子得：
$\begin{aligned}&6ab + 8a + b - 2\\=&6×4×3 + 8×4 + 3 - 2\\=&72 + 32 + 3 - 2\\=&105\end{aligned}$
【答案】
(1) $6ab + 8a + b - 2$；(2) $105$
【知识点】
长方形面积计算、多项式乘多项式、代数式求值
【点评】
本题是整式运算的实际应用题，解题核心是明确阴影面积的计算逻辑，展开多项式时注意不要漏乘、符号不要出错，代入数值计算时遵循运算顺序即可顺利求解。
【难度系数】
0.8

15. (运算能力)你能化简$(x-1)(x^{99}+x^{98}+··· +x+1)$吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手. 然后归纳出一些方法.
(1)分别化简下列各式:
$(x-1)(x+1)=$;
$(x-1)(x^{2}+x+1)=$;
$(x-1)(x^{3}+x^{2}+x+1)=$;
$···$
$(x-1)(x^{99}+x^{98}+··· +x+1)=$.
(2)请你利用上面的结论计算:
$2^{99}+2^{98}+··· +2+1$.

解：
(1)
$(x-1)(x+1)=x^2-1$；
$(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1$；
$(x-1)(x^3+x^2+x+1)=x^4-1$；
…
$(x-1)(x^{99}+x^{98}+\dots+x+1)=x^{100}-1$。
(2)
根据上述结论可得：
$2^{99}+2^{98}+\dots+2+1$
$=(2-1)×(2^{99}+2^{98}+\dots+2+1)$
$=2^{100}-1$

【分析】
本题采用从特殊到一般的探究思路求解：
1. 第一问先利用多项式乘多项式的运算法则，分别计算前三个简单的多项式乘积，合并同类项后观察结果规律：可以发现$(x-1)$乘最高次为$n$的按$x$降幂排列、各项系数为1的多项式，结果为$x^{n+1}-1$，利用该规律即可直接写出最高次为99次的式子的化简结果。
2. 第二问观察所求式子，正好是第一问中$x=2$时后面多项式的形式，只需在原式前乘$(2-1)$（数值为1，不改变原式大小），即可直接套用第一问的规律快速计算结果，无需逐项计算。
【解析】
(1) 根据多项式乘多项式法则计算：
① $(x-1)(x+1)=x· x + x·1 -1· x -1×1 = x^2 +x -x -1 = x^2 -1$；
② $(x-1)(x^2+x+1)=x· x^2 +x· x +x·1 -1· x^2 -1· x -1×1 = x^3 +x^2 +x -x^2 -x -1 = x^3 -1$；
③ $(x-1)(x^3+x^2+x+1)=x· x^3 +x· x^2 +x· x +x·1 -1· x^3 -1· x^2 -1· x -1×1 = x^4 +x^3 +x^2 +x -x^3 -x^2 -x -1 = x^4 -1$；
观察上述结果规律：$(x-1)$乘含$x^n$到$1$的多项式，结果为$x^{n+1}-1$，因此可得：
$(x-1)(x^{99}+x^{98}+\dots +x+1)=x^{100}-1$。
(2) 计算$2^{99}+2^{98}+\dots +2+1$：
对照第一问的结论，对应$x=2$的情况，给原式乘$(2-1)$（值为1，原式大小不变），得：
$2^{99}+2^{98}+\dots +2+1=(2-1)×(2^{99}+2^{98}+\dots +2+1)=2^{100}-1$。
【答案】
(1) $x^2-1$；$x^3-1$；$x^4-1$；$x^{100}-1$
(2) $2^{100}-1$
【知识点】
多项式与多项式相乘；整式规律探究；代数式化简求值
【点评】
本题引导学生通过简单运算归纳通用规律，再用规律解决复杂的高次运算问题，体现了从特殊到一般的数学思想，解题时要注意规律的适用条件，以及第二问中乘1变形的技巧，避免逐项计算的繁琐。
【难度系数】
0.7