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1. 阅读材料：整体思想是数学解题中一种重要的思想方法.
例如，“已知$2a - b = 3$，求代数式$4a - 2b - 1$的值”可以这样解：$4a - 2b - 1 = 2(2a - b) - 1 = 2×3 - 1 = 5$.
已知$3m + n = 4$，则关于$x$的一元一次方程$2x - 9m - 3n + 1 = 0$的解是
例如，“已知$2a - b = 3$，求代数式$4a - 2b - 1$的值”可以这样解：$4a - 2b - 1 = 2(2a - b) - 1 = 2×3 - 1 = 5$.
已知$3m + n = 4$，则关于$x$的一元一次方程$2x - 9m - 3n + 1 = 0$的解是
$x=\frac{11}{2}$
.答案
1. $x=\frac{11}{2}$
解析
【分析】
解题时先观察一元一次方程中含m、n的项的结构，发现-9m-3n可以变形为-3(3m+n)，正好对应已知条件中的3m+n=4，因此可以用整体代入的方法，把3m+n的值整体代入方程，将原方程转化为只含有x的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤求解即可。
【解析】
首先对原方程变形，将含m、n的项提取公因式：
$2x - 9m - 3n + 1 = 0$
可化为$2x - 3(3m + n) + 1 = 0$
已知$3m + n = 4$，将其整体代入上式：
$2x - 3×4 + 1 = 0$
计算得：$2x - 12 + 1 = 0$，即$2x - 11 = 0$
移项得：$2x = 11$
系数化为1得：$x = \frac{11}{2}$
【答案】
$x=\frac{11}{2}$
【知识点】
整体代入思想；一元一次方程的解法
【点评】
本题是整体思想在一元一次方程中的典型应用，解题关键是观察出待求式中参数部分与已知代数式的倍数关系，通过整体代入消去参数，简化计算过程，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
解题时先观察一元一次方程中含m、n的项的结构，发现-9m-3n可以变形为-3(3m+n)，正好对应已知条件中的3m+n=4，因此可以用整体代入的方法，把3m+n的值整体代入方程，将原方程转化为只含有x的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤求解即可。
【解析】
首先对原方程变形，将含m、n的项提取公因式：
$2x - 9m - 3n + 1 = 0$
可化为$2x - 3(3m + n) + 1 = 0$
已知$3m + n = 4$，将其整体代入上式：
$2x - 3×4 + 1 = 0$
计算得：$2x - 12 + 1 = 0$，即$2x - 11 = 0$
移项得：$2x = 11$
系数化为1得：$x = \frac{11}{2}$
【答案】
$x=\frac{11}{2}$
【知识点】
整体代入思想；一元一次方程的解法
【点评】
本题是整体思想在一元一次方程中的典型应用，解题关键是观察出待求式中参数部分与已知代数式的倍数关系，通过整体代入消去参数，简化计算过程，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
2. 数学小组学完一元一次方程后，对一种新的求解方法进行了交流，请你仔细阅读，并解答下列问题.
小明：对于 $3(x+1)+\frac{1}{3}(x-1)=\frac{1}{2}(x-1)+2(x+1)$，我采取的是去括号和移项的方法，计算比较烦琐.
小亮：我有一种方法——整体求解法. 可先将$(x+1)$和$(x-1)$分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程$(x+1)=\frac{1}{6}(x-1)$，然后再继续求解.
(1)请将小亮的求解过程补充完整；
(2)请利用小亮的方法解下面的方程：$7(x+3)+4=24-3(x+3)$.
小明：对于 $3(x+1)+\frac{1}{3}(x-1)=\frac{1}{2}(x-1)+2(x+1)$，我采取的是去括号和移项的方法，计算比较烦琐.
小亮：我有一种方法——整体求解法. 可先将$(x+1)$和$(x-1)$分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程$(x+1)=\frac{1}{6}(x-1)$，然后再继续求解.
(1)请将小亮的求解过程补充完整；
(2)请利用小亮的方法解下面的方程：$7(x+3)+4=24-3(x+3)$.
答案
(1) 补充过程略，$x=-\frac{7}{5}$
(2) $x=-1$
(2) $x=-1$
解析
【分析】
(1) 第一问中小亮已通过整体移项、合并同类项得到$(x+1)=\frac{1}{6}(x-1)$，后续按照常规一元一次方程求解步骤操作即可：先去分母消去分数，再依次完成去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，就能求出x的值。
(2) 第二问的方程左右两边均含有$(x+3)$项，可将$(x+3)$看作一个整体，先把含$(x+3)$的项移到方程左侧，常数项移到右侧，合并同类项后先求出$(x+3)$的值，再计算x的取值，能简化去括号的繁琐运算。
【解析】
(1) 补充小亮的求解过程：
已知整理后方程为$x+1=\frac{1}{6}(x-1)$，
去分母，两边同时乘6得：$6(x+1)=x-1$，
去括号得：$6x+6=x-1$，
移项得：$6x-x=-1-6$，
合并同类项得：$5x=-7$，
系数化为1得：$x=-\frac{7}{5}$。
(2) 解方程$7(x+3)+4=24-3(x+3)$：
将$(x+3)$看作整体，移项得：$7(x+3)+3(x+3)=24-4$，
合并同类项得：$10(x+3)=20$，
两边同时除以10得：$x+3=2$，
移项计算得：$x=2-3=-1$。
【答案】
(1) $x=-\frac{7}{5}$；(2) $x=-1$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法 2. 整体思想 3. 合并同类项
【点评】
本题考查一元一次方程的简便求解技巧，通过整体思想处理结构特殊的方程，可有效减少运算步骤，降低计算出错的概率，是一元一次方程求解的常用方法。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问中小亮已通过整体移项、合并同类项得到$(x+1)=\frac{1}{6}(x-1)$，后续按照常规一元一次方程求解步骤操作即可：先去分母消去分数，再依次完成去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，就能求出x的值。
(2) 第二问的方程左右两边均含有$(x+3)$项，可将$(x+3)$看作一个整体，先把含$(x+3)$的项移到方程左侧，常数项移到右侧，合并同类项后先求出$(x+3)$的值，再计算x的取值，能简化去括号的繁琐运算。
【解析】
(1) 补充小亮的求解过程：
已知整理后方程为$x+1=\frac{1}{6}(x-1)$，
去分母，两边同时乘6得：$6(x+1)=x-1$，
去括号得：$6x+6=x-1$，
移项得：$6x-x=-1-6$，
合并同类项得：$5x=-7$，
系数化为1得：$x=-\frac{7}{5}$。
(2) 解方程$7(x+3)+4=24-3(x+3)$：
将$(x+3)$看作整体，移项得：$7(x+3)+3(x+3)=24-4$，
合并同类项得：$10(x+3)=20$，
两边同时除以10得：$x+3=2$，
移项计算得：$x=2-3=-1$。
【答案】
(1) $x=-\frac{7}{5}$；(2) $x=-1$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法 2. 整体思想 3. 合并同类项
【点评】
本题考查一元一次方程的简便求解技巧，通过整体思想处理结构特殊的方程，可有效减少运算步骤，降低计算出错的概率，是一元一次方程求解的常用方法。
【难度系数】
0.8
3. 三阶幻方，起源于中国，是古代劳动人民智慧的结晶. 它是由9个数组成的一个3×3的方格，且每一横行、每一竖列以及两条对角线上的三个数的和都相等. 如图，
这是一个残缺的幻方，根据图中已知的3个数，可得x=
这是一个残缺的幻方，根据图中已知的3个数，可得x=
9
.答案
3. 9
解析
【分析】
解决这道题的核心是利用三阶幻方“每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等”的基本性质。我们可以先通过第一行和第一列的和相等，消去公共的左上角未知数，求出第二行第一列的数；再利用第二行的和与右上-左下对角线的和相等，消去公共的中间未知数，就能直接求出x的值，不需要算出所有未知量，简化计算。
【解析】
设幻方每行（列、对角线）的三个数的和为S，左上角的数为a，第二行第一列的数为b，中间的数为m。
1. 根据第一行的和等于第一列的和，列等式：
$a + 11 + 4 = a + b + 10$
两边同时消去a，可得$15 = b + 10$，解得$b=5$。
2. 根据第二行的和等于右上到左下对角线的和，列等式：
$b + m + x = 4 + m + 10$
两边同时消去m，代入$b=5$，可得$5 + x = 14$，解得$x=9$。
【答案】
9
【知识点】
三阶幻方性质，等式的性质，有理数运算
【点评】
本题考查三阶幻方的基本规律，解题时不需要求出所有未知量，利用等式的性质消去公共未知数可以快速得到结果，属于基础规律应用题。
【难度系数】
0.7
解决这道题的核心是利用三阶幻方“每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等”的基本性质。我们可以先通过第一行和第一列的和相等，消去公共的左上角未知数，求出第二行第一列的数；再利用第二行的和与右上-左下对角线的和相等，消去公共的中间未知数，就能直接求出x的值，不需要算出所有未知量，简化计算。
【解析】
设幻方每行（列、对角线）的三个数的和为S，左上角的数为a，第二行第一列的数为b，中间的数为m。
1. 根据第一行的和等于第一列的和，列等式：
$a + 11 + 4 = a + b + 10$
两边同时消去a，可得$15 = b + 10$，解得$b=5$。
2. 根据第二行的和等于右上到左下对角线的和，列等式：
$b + m + x = 4 + m + 10$
两边同时消去m，代入$b=5$，可得$5 + x = 14$，解得$x=9$。
【答案】
9
【知识点】
三阶幻方性质，等式的性质，有理数运算
【点评】
本题考查三阶幻方的基本规律，解题时不需要求出所有未知量，利用等式的性质消去公共未知数可以快速得到结果，属于基础规律应用题。
【难度系数】
0.7
4. 小亮在实验室做实验，称取实验所需药品的质量时没有找到天平，于是利用杠杆原理制作了简易天平来称取药品的质量（杠杆原理：动力×动力臂＝阻力×阻力臂）。如图(1)，当天平左盘放置质量为30 g的物品时，右盘中放置10 g砝码，此时天平平衡；如图(2)，将待称的药品放在右盘后，左盘放置45 g砝码，才可使天平再次平衡。则该药品的质量是
15
g.答案
4. 15
解析
【分析】
本题利用杠杆平衡原理求解，首先我们可以设出天平左臂、右臂的长度，再根据两次天平平衡的条件分别列出等式，由于左右臂的长度比值是固定的，我们通过消去未知的力臂长度，就能计算出药品的质量。
【解析】
设天平左臂长为$L_1$，右臂长为$L_2$，待称药品的质量为$m$。
1. 根据图(1)的平衡条件（动力×动力臂=阻力×阻力臂）可得：
$30\mathrm{g} × L_1 = 10\mathrm{g} × L_2$，整理得$\frac{L_1}{L_2}=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$。
2. 根据图(2)的平衡条件可得：
$45\mathrm{g} × L_1 = m × L_2$，变形得$m = 45\mathrm{g} × \frac{L_1}{L_2}$。
3. 将$\frac{L_1}{L_2}=\frac{1}{3}$代入上式，计算得：
$m = 45\mathrm{g} × \frac{1}{3}=15\mathrm{g}$。
【答案】
15
【知识点】
杠杆平衡原理，列方程解应用题，等式的性质
【点评】
这是一道跨学科的基础应用题，结合物理杠杆原理考查方程的应用，解题的核心是抓住两次平衡时天平左右臂的比值不变，消去未知的力臂即可求出结果。
【难度系数】
0.7
本题利用杠杆平衡原理求解，首先我们可以设出天平左臂、右臂的长度，再根据两次天平平衡的条件分别列出等式，由于左右臂的长度比值是固定的，我们通过消去未知的力臂长度，就能计算出药品的质量。
【解析】
设天平左臂长为$L_1$，右臂长为$L_2$，待称药品的质量为$m$。
1. 根据图(1)的平衡条件（动力×动力臂=阻力×阻力臂）可得：
$30\mathrm{g} × L_1 = 10\mathrm{g} × L_2$，整理得$\frac{L_1}{L_2}=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$。
2. 根据图(2)的平衡条件可得：
$45\mathrm{g} × L_1 = m × L_2$，变形得$m = 45\mathrm{g} × \frac{L_1}{L_2}$。
3. 将$\frac{L_1}{L_2}=\frac{1}{3}$代入上式，计算得：
$m = 45\mathrm{g} × \frac{1}{3}=15\mathrm{g}$。
【答案】
15
【知识点】
杠杆平衡原理，列方程解应用题，等式的性质
【点评】
这是一道跨学科的基础应用题，结合物理杠杆原理考查方程的应用，解题的核心是抓住两次平衡时天平左右臂的比值不变，消去未知的力臂即可求出结果。
【难度系数】
0.7
5. 人工智能已经成为当今社会发展的重要驱动力，合理使用人工智能可以大幅度提升工作效率. 一家公司开发了甲、乙两款AI模型. 为了提高效率，某实验中学同时使用这两款模型处理一批数据，甲模型工作了2 h，乙模型工作了3 h，一共处理了255 GB数据. 已知乙模型每小时处理的数据量比甲模型少15 GB，甲模型和乙模型每小时分别处理多少数据？
答案
5. 甲模型每小时处理 60 GB 的数据，乙模型每小时处理 45 GB 的数据.
解析
【分析】
这是一道利用一元一次方程解决的实际应用题，解题思路如下：首先梳理题目中的等量关系：①甲模型2小时处理的数据量 + 乙模型3小时处理的数据量 = 总处理量255 GB；②乙模型每小时处理量 = 甲模型每小时处理量 - 15 GB。我们可以先设甲模型的每小时处理量为未知数，根据等量关系②用含未知数的式子表示乙模型的每小时处理量，再代入等量关系①列出方程，最后解方程即可得到结果。
【解析】
解：设甲模型每小时处理$ x $ GB数据，则乙模型每小时处理$ (x-15) $ GB数据。
根据总处理量可列方程：
$ 2x + 3(x-15) = 255 $
展开括号得：
$ 2x + 3x - 45 = 255 $
合并同类项得：
$ 5x = 300 $
解得：
$ x = 60 $
则乙模型每小时处理量为：$ 60 - 15 = 45 $（GB）
【答案】
甲模型每小时处理 60 GB 的数据，乙模型每小时处理 45 GB 的数据。
【知识点】
一元一次方程实际应用，工作量计算
【点评】
本题是贴近生活实际的基础应用题，核心是找准题目中的两个等量关系，正确设未知数列方程求解，能够很好地考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.8
这是一道利用一元一次方程解决的实际应用题，解题思路如下：首先梳理题目中的等量关系：①甲模型2小时处理的数据量 + 乙模型3小时处理的数据量 = 总处理量255 GB；②乙模型每小时处理量 = 甲模型每小时处理量 - 15 GB。我们可以先设甲模型的每小时处理量为未知数，根据等量关系②用含未知数的式子表示乙模型的每小时处理量，再代入等量关系①列出方程，最后解方程即可得到结果。
【解析】
解：设甲模型每小时处理$ x $ GB数据，则乙模型每小时处理$ (x-15) $ GB数据。
根据总处理量可列方程：
$ 2x + 3(x-15) = 255 $
展开括号得：
$ 2x + 3x - 45 = 255 $
合并同类项得：
$ 5x = 300 $
解得：
$ x = 60 $
则乙模型每小时处理量为：$ 60 - 15 = 45 $（GB）
【答案】
甲模型每小时处理 60 GB 的数据，乙模型每小时处理 45 GB 的数据。
【知识点】
一元一次方程实际应用，工作量计算
【点评】
本题是贴近生活实际的基础应用题，核心是找准题目中的两个等量关系，正确设未知数列方程求解，能够很好地考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.8
