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1. 为了从小华和小亮两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测试，两人在相同条件下各射击6次，命中的环数如下(单位:环):
小华:7,8,7,8,9,9;小亮:5,8,7,8,10,10.
(1)填写下表:
| | 平均数 | 中位数 | 方差 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 小华 |
8 |
| 小亮 | 8 |
(2)根据以上信息,你认为教练会选择谁参加比赛,理由是什么?
(3)若小亮再射击2次,分别命中7环和9环,则小亮这8次射击成绩的方差
小华:7,8,7,8,9,9;小亮:5,8,7,8,10,10.
(1)填写下表:
| | 平均数 | 中位数 | 方差 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 小华 |
8
| 8 | $\frac{2}{3}$
|| 小亮 | 8 |
8
| 3 |(2)根据以上信息,你认为教练会选择谁参加比赛,理由是什么?
(3)若小亮再射击2次,分别命中7环和9环,则小亮这8次射击成绩的方差
变小
(填"变大""变小"或"不变").答案
1. (1)$8\ \ \frac{2}{3}\ \ 8$ 解析:$\overline{x}_{小华}=\frac{1}{6}×(7+8+7+8+9+9)=8$，
$s_{小华}^{2}=\frac{1}{6}×[2×(7-8)^2+2×(8-8)^2+2×(9-8)^2]=\frac{2}{3}$，
小亮命中环数的中位数是8。
(2)教练会选小华参赛.理由:因为两人的平均成绩相同,但小华的方差较小,说明小华的成绩更稳定,所以教练会选择小华参赛。
(3)变小
$s_{小华}^{2}=\frac{1}{6}×[2×(7-8)^2+2×(8-8)^2+2×(9-8)^2]=\frac{2}{3}$，
小亮命中环数的中位数是8。
(2)教练会选小华参赛.理由:因为两人的平均成绩相同,但小华的方差较小,说明小华的成绩更稳定,所以教练会选择小华参赛。
(3)变小
解析
【分析】
解题时按三个小问逐步思考：
1. 第(1)问需分别计算对应统计量：平均数是所有数据之和除以数据个数；中位数需先将数据排序，偶数个数据取中间两数的平均数；方差是各数据与平均数差的平方的平均数，按对应公式计算即可。
2. 第(2)问比较两人成绩时，首先看平均数判断平均水平，平均水平相同时，方差越小代表成绩波动越小、稳定性越高，以此为依据选择参赛人员。
3. 第(3)问先计算小亮新增两次射击后的平均数，再计算新方差和原方差对比，即可得出结论。
【解析】
(1) 计算小华的平均数：
$\overline{x}_{小华}=\frac{1}{6}×(7+8+7+8+9+9)=\frac{48}{6}=8$
计算小华的方差：
$s_{小华}^{2}=\frac{1}{6}×[2×(7-8)^2+2×(8-8)^2+2×(9-8)^2]=\frac{1}{6}×4=\frac{2}{3}$
将小亮的命中环数从小到大排序为5,7,8,8,10,10，共6个数据，中位数为$\frac{8+8}{2}=8$。
(2) 教练会选择小华参赛。理由：小华和小亮的平均成绩均为8，说明两人平均水平相当，但小华的方差$\frac{2}{3}$小于小亮的方差3，方差越小成绩波动越小，因此小华的成绩更稳定，所以选小华参赛。
(3) 小亮新增两次射击成绩后，8次成绩的平均数为$\frac{6×8+7+9}{8}=8$，平均数不变。原6次成绩的平方差总和为$3×6=18$，新增两次的平方差和为$(7-8)^2+(9-8)^2=2$，新方差为$\frac{18+2}{8}=2.5＜3$，因此方差变小。
【答案】
(1) $8$；$\frac{2}{3}$；$8$
(2) 教练会选小华参赛，理由：两人平均成绩相同，小华的方差较小，成绩更稳定。
(3) 变小
【知识点】
平均数计算；中位数计算；方差的意义与计算
【点评】
本题是统计部分的典型题型，既考察了平均数、中位数、方差的基础计算，也考察了方差反映数据稳定性的实际应用，解题时需注意计算的准确性，理解各统计量的实际意义。
【难度系数】
0.7
解题时按三个小问逐步思考：
1. 第(1)问需分别计算对应统计量：平均数是所有数据之和除以数据个数；中位数需先将数据排序，偶数个数据取中间两数的平均数；方差是各数据与平均数差的平方的平均数，按对应公式计算即可。
2. 第(2)问比较两人成绩时，首先看平均数判断平均水平，平均水平相同时，方差越小代表成绩波动越小、稳定性越高，以此为依据选择参赛人员。
3. 第(3)问先计算小亮新增两次射击后的平均数，再计算新方差和原方差对比，即可得出结论。
【解析】
(1) 计算小华的平均数：
$\overline{x}_{小华}=\frac{1}{6}×(7+8+7+8+9+9)=\frac{48}{6}=8$
计算小华的方差：
$s_{小华}^{2}=\frac{1}{6}×[2×(7-8)^2+2×(8-8)^2+2×(9-8)^2]=\frac{1}{6}×4=\frac{2}{3}$
将小亮的命中环数从小到大排序为5,7,8,8,10,10，共6个数据，中位数为$\frac{8+8}{2}=8$。
(2) 教练会选择小华参赛。理由：小华和小亮的平均成绩均为8，说明两人平均水平相当，但小华的方差$\frac{2}{3}$小于小亮的方差3，方差越小成绩波动越小，因此小华的成绩更稳定，所以选小华参赛。
(3) 小亮新增两次射击成绩后，8次成绩的平均数为$\frac{6×8+7+9}{8}=8$，平均数不变。原6次成绩的平方差总和为$3×6=18$，新增两次的平方差和为$(7-8)^2+(9-8)^2=2$，新方差为$\frac{18+2}{8}=2.5＜3$，因此方差变小。
【答案】
(1) $8$；$\frac{2}{3}$；$8$
(2) 教练会选小华参赛，理由：两人平均成绩相同，小华的方差较小，成绩更稳定。
(3) 变小
【知识点】
平均数计算；中位数计算；方差的意义与计算
【点评】
本题是统计部分的典型题型，既考察了平均数、中位数、方差的基础计算，也考察了方差反映数据稳定性的实际应用，解题时需注意计算的准确性，理解各统计量的实际意义。
【难度系数】
0.7
2. 甲、乙两人5场10次投篮命中次数如图所示：
(1)填写表格：
(2)①教练根据这5个成绩,选择甲参加投篮比赛,理由是什么?
②如果乙再投篮1场,命中8次,那么乙的投篮成绩的方差将会怎样变化?
(1)填写表格：
(2)①教练根据这5个成绩,选择甲参加投篮比赛,理由是什么?
②如果乙再投篮1场,命中8次,那么乙的投篮成绩的方差将会怎样变化?
答案
2. (1)8 9 解析:甲5次的成绩分别是8,8,7,8,9,则众数为8次;乙5次的成绩分别是5,9,7,10,9,则中位数为9次。
(2)①$\because s_{甲}^{2}=0.4,s_{乙}^{2}=3.2,0.4＜3.2$，
$\therefore$甲的成绩稳定,故选甲参加投篮比赛。
②如果乙再投篮1场,命中8次,那么乙的投篮成绩的方差将会变小。
(2)①$\because s_{甲}^{2}=0.4,s_{乙}^{2}=3.2,0.4＜3.2$，
$\therefore$甲的成绩稳定,故选甲参加投篮比赛。
②如果乙再投篮1场,命中8次,那么乙的投篮成绩的方差将会变小。
解析
【分析】
(1) 解决填表问题需先明确相关统计量定义：众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将数据从小到大（或从大到小）排序后，数据个数为奇数时最中间的数。先分别整理甲、乙的5次命中成绩，再对应计算即可。
(2) ①判断选甲参赛的理由需对比成绩稳定性，方差越小成绩越稳定，先计算甲乙的方差再对比大小即可得出结论。②判断乙方差变化时，先算出乙原来的平均成绩为8，新增的命中次数恰好等于平均成绩，会降低数据的离散程度，因此方差会变小，也可通过计算新增前后的方差验证结论。
【解析】
(1) 甲5场投篮命中次数为：7、8、8、8、9，其中8出现次数最多，故甲的众数为8；
乙5场投篮命中次数从小到大排序为：5、7、9、9、10，最中间的数为9，故乙的中位数为9。
(2) ①计算两人平均成绩：$\overline{x}_甲=\frac{7+8+8+8+9}{5}=8$，$\overline{x}_乙=\frac{5+7+9+9+10}{5}=8$
计算方差得：$s_{甲}^{2}=\frac{1}{5}×[(7-8)^2+3×(8-8)^2+(9-8)^2]=0.4$，$s_{乙}^{2}=\frac{1}{5}×[(5-8)^2+(7-8)^2+2×(9-8)^2+(10-8)^2]=3.2$
∵$0.4＜3.2$，即甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩更稳定。
②乙新增1场命中8次后，新的平均成绩仍为8，新增数据与均值相等，计算新方差得$s'^2_乙=\frac{1}{6}×(16+0)\approx2.67＜3.2$，因此方差变小。
【答案】
(1)8；9
(2)①$\because s_{甲}^{2}=0.4,s_{乙}^{2}=3.2,0.4＜3.2$，$\therefore$甲的成绩稳定,故选甲参加投篮比赛。
②如果乙再投篮1场,命中8次,那么乙的投篮成绩的方差将会变小。
【知识点】
众数与中位数，方差的计算，方差的意义
【点评】
本题考查统计中数据的集中趋势和离散程度相关知识，核心是各统计量的定义、计算方法和实际含义，结合题干数据分步计算即可解决，是统计模块的典型基础题。
【难度系数】
0.7
(1) 解决填表问题需先明确相关统计量定义：众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将数据从小到大（或从大到小）排序后，数据个数为奇数时最中间的数。先分别整理甲、乙的5次命中成绩，再对应计算即可。
(2) ①判断选甲参赛的理由需对比成绩稳定性，方差越小成绩越稳定，先计算甲乙的方差再对比大小即可得出结论。②判断乙方差变化时，先算出乙原来的平均成绩为8，新增的命中次数恰好等于平均成绩，会降低数据的离散程度，因此方差会变小，也可通过计算新增前后的方差验证结论。
【解析】
(1) 甲5场投篮命中次数为：7、8、8、8、9，其中8出现次数最多，故甲的众数为8；
乙5场投篮命中次数从小到大排序为：5、7、9、9、10，最中间的数为9，故乙的中位数为9。
(2) ①计算两人平均成绩：$\overline{x}_甲=\frac{7+8+8+8+9}{5}=8$，$\overline{x}_乙=\frac{5+7+9+9+10}{5}=8$
计算方差得：$s_{甲}^{2}=\frac{1}{5}×[(7-8)^2+3×(8-8)^2+(9-8)^2]=0.4$，$s_{乙}^{2}=\frac{1}{5}×[(5-8)^2+(7-8)^2+2×(9-8)^2+(10-8)^2]=3.2$
∵$0.4＜3.2$，即甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩更稳定。
②乙新增1场命中8次后，新的平均成绩仍为8，新增数据与均值相等，计算新方差得$s'^2_乙=\frac{1}{6}×(16+0)\approx2.67＜3.2$，因此方差变小。
【答案】
(1)8；9
(2)①$\because s_{甲}^{2}=0.4,s_{乙}^{2}=3.2,0.4＜3.2$，$\therefore$甲的成绩稳定,故选甲参加投篮比赛。
②如果乙再投篮1场,命中8次,那么乙的投篮成绩的方差将会变小。
【知识点】
众数与中位数，方差的计算，方差的意义
【点评】
本题考查统计中数据的集中趋势和离散程度相关知识，核心是各统计量的定义、计算方法和实际含义，结合题干数据分步计算即可解决，是统计模块的典型基础题。
【难度系数】
0.7
