登录
20.(本题8分)甲、乙两名同学在一次机器人练习中的得分如下：
甲:76,84,80,87,73。 乙:78,82,79,80,81。
(1)分别求出甲、乙两名同学五次练习分数的平均数；
(2)分别求出甲、乙两名同学的方差，并根据上述计算结果对两位同学的分数进行评价。
甲:76,84,80,87,73。 乙:78,82,79,80,81。
(1)分别求出甲、乙两名同学五次练习分数的平均数；
(2)分别求出甲、乙两名同学的方差，并根据上述计算结果对两位同学的分数进行评价。
答案
20.解:(1)$\overline{x}_甲=\dfrac{1}{5}[(76-80)^2+(84-80)^2+(80-80)^2+(87-80)^2+(73-80)^2]=80$(分),$\overline{x}_乙=\dfrac{1}{5}(78+82+79+80+81)=80$(分)；(2)$S_甲^2=\dfrac{1}{5}[(76-80)^2+(84-80)^2+(80-80)^2+(87-80)^2+(73-80)^2]=26$(分$^2$),$S_乙^2=\dfrac{1}{5}[(78-80)^2+(82-80)^2+(79-80)^2+(80-80)^2+(81-80)^2]=2$(分$^2$),因为甲、乙平均数相同,所以他们的平均水平相同,甲的方差比乙大,所以乙比甲稳定。
解析
【分析】
本题需完成两个任务：一是计算甲、乙两名同学分数的平均数，二是计算方差并评价数据稳定性。解题思路为：①根据平均数定义，即所有数据之和除以数据个数，分别计算甲、乙的平均数；②根据方差公式，即每个数据与平均数差的平方的平均数，计算两人的方差；③结合平均数和方差的意义，平均数相同则平均水平相当，方差越小数据波动越小、稳定性越强，完成评价。
【解析】
(1) 计算平均数：
甲的平均数：$\overline{x}_甲=\frac{1}{5}(76+84+80+87+73)=\frac{400}{5}=80$（分）；
乙的平均数：$\overline{x}_乙=\frac{1}{5}(78+82+79+80+81)=\frac{400}{5}=80$（分）。
(2) 计算方差并评价：
甲的方差：$S_甲^2=\frac{1}{5}[(76-80)^2+(84-80)^2+(80-80)^2+(87-80)^2+(73-80)^2]=\frac{1}{5}(16+16+0+49+49)=26$（分²）；
乙的方差：$S_乙^2=\frac{1}{5}[(78-80)^2+(82-80)^2+(79-80)^2+(80-80)^2+(81-80)^2]=\frac{1}{5}(4+4+1+0+1)=2$（分²）。
评价：甲、乙平均数相同，平均水平一致；甲的方差大于乙，说明甲分数波动更大，乙分数更稳定。
【答案】
(1) 甲的平均数为80分，乙的平均数为80分；(2) 甲的方差为26分²，乙的方差为2分²，甲、乙平均水平相同，乙的分数比甲更稳定。
【知识点】
平均数、方差、数据稳定性分析
【点评】
本题是统计板块的基础题，核心考查平均数与方差的计算及实际应用，要求学生熟练掌握公式并能结合结果合理评价数据特征，属于常规题型。
【难度系数】
0.8
本题需完成两个任务：一是计算甲、乙两名同学分数的平均数，二是计算方差并评价数据稳定性。解题思路为：①根据平均数定义，即所有数据之和除以数据个数，分别计算甲、乙的平均数；②根据方差公式，即每个数据与平均数差的平方的平均数，计算两人的方差；③结合平均数和方差的意义，平均数相同则平均水平相当，方差越小数据波动越小、稳定性越强，完成评价。
【解析】
(1) 计算平均数：
甲的平均数：$\overline{x}_甲=\frac{1}{5}(76+84+80+87+73)=\frac{400}{5}=80$（分）；
乙的平均数：$\overline{x}_乙=\frac{1}{5}(78+82+79+80+81)=\frac{400}{5}=80$（分）。
(2) 计算方差并评价：
甲的方差：$S_甲^2=\frac{1}{5}[(76-80)^2+(84-80)^2+(80-80)^2+(87-80)^2+(73-80)^2]=\frac{1}{5}(16+16+0+49+49)=26$（分²）；
乙的方差：$S_乙^2=\frac{1}{5}[(78-80)^2+(82-80)^2+(79-80)^2+(80-80)^2+(81-80)^2]=\frac{1}{5}(4+4+1+0+1)=2$（分²）。
评价：甲、乙平均数相同，平均水平一致；甲的方差大于乙，说明甲分数波动更大，乙分数更稳定。
【答案】
(1) 甲的平均数为80分，乙的平均数为80分；(2) 甲的方差为26分²，乙的方差为2分²，甲、乙平均水平相同，乙的分数比甲更稳定。
【知识点】
平均数、方差、数据稳定性分析
【点评】
本题是统计板块的基础题，核心考查平均数与方差的计算及实际应用，要求学生熟练掌握公式并能结合结果合理评价数据特征，属于常规题型。
【难度系数】
0.8
21.(本题8分)用篱笆围成如图的矩形ABCD菜地,其中间也用一道篱笆隔开,菜地的一边靠墙(墙长为40米)。已知篱笆的总长为60米(篱笆全部用完),设AB长x米。
(1)用含x的代数式表示BC的长；
(2)矩形ABCD这块菜地的面积能否为225平方米?若能,请求出x的值;若不能,请说明理由。
(1)用含x的代数式表示BC的长；
(2)矩形ABCD这块菜地的面积能否为225平方米?若能,请求出x的值;若不能,请说明理由。
答案
21.解:(1)$BC=60-3x$；(2)矩形菜地的总面积能为225平方米。$x(60-3x)=225$,$x^2-20x+75=0$,解得$x_1=5$,$x_2=15$。当$x=5$时,$60-3×5=45＞40$,不符合题意,舍去。当$x=15$时,$60-3×15=15＜40$,符合题意。所以$x=15$,所以矩形菜地的总面积能为225平方米,此时$x=15$。
解析
【分析】
要解决本题，需先结合图形明确篱笆的组成结构：菜地一边靠墙，篱笆包含3段垂直于墙的边（每段长度为AB=x）和1段平行于墙的边BC，总篱笆长60米，据此可推导BC的表达式；第二问利用矩形面积公式列方程，解一元二次方程后，需结合墙长40米的实际条件，舍去不符合题意的解，保留合理的x值。
【解析】
(1) 观察图形可知，垂直于墙的篱笆有3段，每段长度为AB=x米，这3段篱笆总长度为3x米。已知篱笆总长为60米，因此平行于墙的边BC的长度为：$ BC = 60 - 3x $（米）。
(2) 矩形菜地的面积为$ AB × BC $，根据题意面积为225平方米，可列方程：
$ x(60 - 3x) = 225 $
整理得：$ x^2 - 20x + 75 = 0 $
解得：$ x_1 = 5 $，$ x_2 = 15 $。
检验解的合理性：
当$ x = 5 $时，$ BC = 60 - 3×5 = 45 $米，墙长为40米，$ 45 ＞ 40 $，不符合实际，舍去；
当$ x = 15 $时，$ BC = 60 - 3×15 = 15 $米，$ 15 ＜ 40 $，符合题意。
因此矩形菜地的面积能为225平方米，此时$ x = 15 $。
【答案】
(1) $ BC = (60 - 3x) $米；(2) 能，$ x = 15 $
【知识点】
矩形面积计算、一元二次方程应用、实际问题取值范围
【点评】
本题是一元二次方程在实际场景的应用，核心是结合图形分析篱笆的组成，需注意解的实际意义，要根据墙长限制舍去不符合条件的解，避免出错。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需先结合图形明确篱笆的组成结构：菜地一边靠墙，篱笆包含3段垂直于墙的边（每段长度为AB=x）和1段平行于墙的边BC，总篱笆长60米，据此可推导BC的表达式；第二问利用矩形面积公式列方程，解一元二次方程后，需结合墙长40米的实际条件，舍去不符合题意的解，保留合理的x值。
【解析】
(1) 观察图形可知，垂直于墙的篱笆有3段，每段长度为AB=x米，这3段篱笆总长度为3x米。已知篱笆总长为60米，因此平行于墙的边BC的长度为：$ BC = 60 - 3x $（米）。
(2) 矩形菜地的面积为$ AB × BC $，根据题意面积为225平方米，可列方程：
$ x(60 - 3x) = 225 $
整理得：$ x^2 - 20x + 75 = 0 $
解得：$ x_1 = 5 $，$ x_2 = 15 $。
检验解的合理性：
当$ x = 5 $时，$ BC = 60 - 3×5 = 45 $米，墙长为40米，$ 45 ＞ 40 $，不符合实际，舍去；
当$ x = 15 $时，$ BC = 60 - 3×15 = 15 $米，$ 15 ＜ 40 $，符合题意。
因此矩形菜地的面积能为225平方米，此时$ x = 15 $。
【答案】
(1) $ BC = (60 - 3x) $米；(2) 能，$ x = 15 $
【知识点】
矩形面积计算、一元二次方程应用、实际问题取值范围
【点评】
本题是一元二次方程在实际场景的应用，核心是结合图形分析篱笆的组成，需注意解的实际意义，要根据墙长限制舍去不符合条件的解，避免出错。
【难度系数】
0.6
