1 [2025 浙江宁波期中，中]若一个长方形可以分割为几个大小不同的小正方形，则称这个长方形为“完美长方形”。如图所示的“完美长方形”被分割成 9 个大小不同的正方形，已知最小正方形的周长为 8，则最大正方形 A 的面积为()


A.1296
B.1444
C.2304
D.20736

1. A [解析]如图所示，根据题意可得正方形①的边长为$8÷4 = 2$.设正方形②的边长为x，正方形③的边长为y，则$y - x = 2$，正方形④的边长为$x + y$，正方形⑥的边长为$y + 2$，正方形⑦的边长为$y + 4$，正方形⑤的边长为$y - x + 6$，正方形⑧的边长为$2y - x + 10$，所以正方形A的边长为$3y - 2x + 16$或$3x - 6$，则$3y - 2x + 16 = 3x - 6$，联立得$\{\begin{array}{l} y - x = 2,\\ 3y - 2x + 16 = 3x - 6,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} x = 14,\\ y = 16,\end{array} $所以最大正方形A的面积为$(3x - 6)^{2}=(3×14 - 6)^{2}= 36^{2}= 1296$，故选A.

2 [2024 江苏无锡期中，中]某污水处理厂现有待处理的污水 $ m $ 吨，另有从城区流入的待处理污水(新流入污水按每小时 $ n $ 吨的定流量增加)。若该厂同时开动 2 台机组，需 30 小时处理完污水；若同时开动 3 台机组，需 15 小时处理完污水。若 5 小时处理完污水，则需同时开动机组()

A.6 台
B.7 台
C.8 台
D.9 台

2. B [解析]设同时开动x台机组，每台机组每小时处理a吨污水.依题意，得$\{\begin{array}{l} 2×30a = m + 30n,\\ 3×15a = m + 15n,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} m = 30a,\\ n = a.\end{array} $所以$5ax = m + 5n = 30a + 5a$，所以$x = 7$.所以若5小时处理完污水，则需同时开动7台机组.故选B.

3 [2025 云南昆明期中，中]玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装修公司合作，需 6 周完成，共需装修费 5.2 万元；若甲公司单独做 4 周后，剩下的由乙公司来做，还需 9 周才能完成，共需装修费 4.8 万元。玲玲的爸爸和妈妈商量后决定只选一个公司单独完成。设工作总量为 1，甲公司每周的工作效率为 $ m $，乙公司每周的工作效率为 $ n $。
（1）如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？
（2）如果从节约开支的角度考虑应选哪家公司？

3. [解](1)依题意得，$\{\begin{array}{l} m + n=\frac {1}{6},\\ 4m + 9n = 1,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} m=\frac {1}{10},\\ n=\frac {1}{15}.\end{array} $因为$\frac {1}{10}＞\frac {1}{15}$，所以甲公司的效率高，所以从节约时间的角度考虑应选择甲公司.
(2)由(1)易知甲、乙公司单独完成装修分别需要10周、15周.设甲公司每周的装修费用为a万元，乙公司每周的装修费用为b万元.依题意得，$\{\begin{array}{l} 6a + 6b = 5.2,\\ 4a + 9b = 4.8,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} a=\frac {3}{5},\\ b=\frac {4}{15},\end{array} $所以只选一个公司单独完成时，甲公司共需装修费$\frac {3}{5}×10 = 6$(万元)，乙公司共需装修费$\frac {4}{15}×15 = 4$(万元).因为$4 ＜ 6$，所以从节约开支的角度考虑应选择乙公司.

4 [2024 重庆北碚区期末，中]如图所示，$ D $，$ E $ 分别为三角形 $ ABC $ 的边 $ AB $，$ AC $ 上的点，将三角形 $ ABC $ 沿 $ DE $ 折叠，点 $ A $ 落在 $ BC $ 边上的点 $ F $ 处，连接 $ AF $，$ ∠ BDF = ∠ FEC - 20° $，$ 9∠ BDF = 8∠ BAC $，求 $ ∠ BAC $ 的度数。
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4. [解]设$∠FEC = x^{\circ }$，$∠BAC = y^{\circ }$.由折叠知$∠BAC = ∠DFE$，所以$∠BDF + ∠FEC = 180^{\circ } - ∠B - ∠DFB + 180^{\circ } - ∠C - ∠EFC = 360^{\circ } - (∠B + ∠C + ∠DFB + ∠EFC)= 360^{\circ } - (180^{\circ } - ∠BAC + 180^{\circ } - ∠DFE)= 2∠BAC$，则可列方程组为$\{\begin{array}{l} x - 20 + x = 2y,\\ 9(x - 20)= 8y,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} x = 100,\\ y = 90,\end{array} $即$∠BAC = 90^{\circ }$.

5 [2024 浙江杭州期中，中]如图是边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格。
(1)把三角形 $ ABC $ 进行平移，得到三角形 $ A'B'C' $，使点 $ A $ 与 $ A' $ 对应，请在网格中画出三角形 $ A'B'C' $。
(2)将一个格点多边形(顶点均在格点上)的面积记为 $ S $，其内部格点数记为 $ N $，边界上的格点数记为 $ L $。
①图中格点三角形 $ ABC $ 对应的 $ N = $，$ L = $，$ S = $。
②已知格点多边形的面积可表示为 $ S = N + aL + b $，且已知当 $ N = 1 $，$ L = 6 $ 时，$ S = 3 $。若某格点多边形对应的 $ N = 12 $，$ L = 8 $，求 $ S $ 的值。
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5. [解](1)如图所示，三角形$A'B'C'$即为所作.

(2)①由图可知$N = 3$，$L = 3$，$S = 3×3 - \frac {1}{2}×3×1 - \frac {1}{2}×2×1 - \frac {1}{2}×2×3 = 3.5$.故答案为3，3，3.5.
②由题意得$\{\begin{array}{l} 3 + 3a + b = 3.5,\\ 1 + 6a + b = 3,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} a=\frac {1}{2},\\ b = - 1,\end{array} $所以$S = N+\frac {1}{2}L - 1$，所以当$N = 12$，$L = 8$时，$S = 15$.