1. 直线 $ y = kx $ 沿 $ y $ 轴向下平移2个单位长度后与 $ x $ 轴的交点坐标是$ (-2,0) $，以下各点在直线 $ y = kx $ 上的是（）

A.$ (-3,0) $
B.$ (0,-3) $
C.$ (-2,2) $
D.$ (2,2) $

1. C

2. (2025·无锡月考)如图,在平面直角坐标系中,把直线$y=3x$沿$y$轴向下平移后得到直线$AB$,如果点$N(m,n)$是直线$AB$上的一点,且$3m-n=2$,那么直线$AB$的函数表达式为 ()

A.$y=3x+2$
B.$y=3x-2$
C.$y=2x+3$
D.$y=2x-3$

2. B

3. 如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的面积为4,点C的坐标为(-1,0),将直线$y=-x+5$向下平移$m$个单位长度后,与正方形ABCD有且只有一个交点,则$m$的值为.

3. $5-\sqrt{3}$或$5+\sqrt{3}$

4. 在平面直角坐标系中,点$A(-5,a),B(b,5),C(c,n)$,且$\sqrt{a-1}+(b+2)^2+|2c+4|=0$.
(1)直接写出点$A,B$的坐标及$c$的值;
(2)如图①,若三角形$ABC$的面积为$9$,求点$C$的坐标;
(3)如图②,将线段$AB$向右平移$m$个单位长度得到线段$DE$(点$A$与$D$对应,点$B$与$E$对应),若直线$DE$恰好经过点$C$,求$m,n$之间的数量关系.

$\gg$ 进一步挑战进阶专题:P143 专题4

4. (1)点$A(-5,1),B(-2,5),c=-2.$ 解析:$\because \sqrt{a-1}+(b+2)^2+|2c+4|=0,\therefore a-1=0,b+2=0,2c+4=0$,解得$a=1$,
$b=-2,c=-2,\therefore$ 点$A(-5,1),B(-2,5),c=-2.$
(2)$\because B(-2,5),C(-2,n),\therefore BC⊥ x$轴,$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×|5-n|×3=9$,
解得$n=11$或$n=-1,\therefore C(-2,11)$或$C(-2,-1).$
(3)设直线$AB$的表达式为$y=kx+d$,将$A(-5,1),B(-2,5)$代入得
$\begin{cases}-5k+d=1,\\-2k+d=5,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{4}{3},\\d=\frac{23}{3},\end{cases}$$\therefore$ 直线$AB$的表达式为$y=\frac{4}{3}x+\frac{23}{3}$,$\therefore$ 平移后的表达式为$y=\frac{4}{3}(x-m)+\frac{23}{3}$,将$C(-2,n)$代入得,$n=\frac{4}{3}(-2-m)+\frac{23}{3}$,整理得$4m+3n=15.$