1[2025陕西西安质检]如图，已知长方形的长为a、宽为b(其中a＞b)，将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到圆柱甲和圆柱乙，则这两个圆柱的侧面积和体积的关系为（）


A.甲、乙的侧面积不相同，体积也不相同
B.甲、乙的侧面积相同，体积也相同
C.甲、乙的侧面积不相同，体积相同
D.甲、乙的侧面积相同，体积不相同

圆柱甲的侧面积为$2abπ$,体积为$ab^2π$;圆柱乙的侧面积为$2abπ$,体积为$ba^2π$.因为$a＞b$,所以$a^2bπ≠ab^2π$,故甲、乙的侧面积相同,体积不相同. 故选D.

2 [2026 湖南常德期末，中]《冷庐杂识》有云：“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.”七巧板作为中国古老的益智玩具之一，素有“来自中国的拼图”“东方魔板”之称，是世界公认的中国优秀智力玩具代表作. 如图，小明拼凑出爱心形状，若爱心的面积为48，那么七巧板中正方形GKHC的面积为.

设三角形KLH的面积为x,结合七巧板的性质得各个图形的面积情况如图所示.
依题意得,$4x+4x+2x+2x+2x+x+x=16x=48$,解得$x=3$,所以正方形GKHC的面积为$3×2=6$. 故答案为6.

3[2026江苏无锡调研,中]如图,把一长方形在直线m上翻滚,请在图中画出A点所经过的路径.

如图所示.

4[2026江苏南京期中,较难]操作:如图(1),从一张长方形纸片中剪去一个最大的正方形,剩下一个小的长方形,将这个过程称为1次操作.若经过n次操作后,剩下的小长方形恰好是正方形,称原长方形为n阶长方形.图(2)是一个2阶长方形,它的宽与长的比(简称“宽长比”)为$\frac{1}{3}$.

思考:3阶长方形的宽长比可能是多少?不妨倒过来想,如图(3)(宽长比写在每个图形旁),1阶长方形就是在正方形外再补一个正方形(宽长比为$\frac{1}{2}$),同理,2阶长方形的宽长比为$\frac{1}{3}$和$\frac{2}{3}$,图中所示的3阶长方形的宽长比为$\frac{1}{4}$和$\frac{3}{4}$.

(1)画出另外两种3阶长方形的裁剪示意图和对应的宽长比.
(2)直接写出4阶长方形的宽长比所有可能的值.
(3)从以下问题中任选一个作答:
①10阶长方形的宽长比共有多少种可能的值?
②图(3)中“$\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1$”“$\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$”…是必然的,解释其中道理.

(1)另外两种3阶长方形的裁剪示意图如图所示(宽长比写在每个图形旁),对应的宽长比分别是$\frac{3}{5},\frac{2}{5}$.
(2)$\frac{1}{5},\frac{4}{5},\frac{3}{7},\frac{4}{7},\frac{3}{8},\frac{5}{8},\frac{2}{7},\frac{5}{7}$.
(3)选①:因为2阶长方形的宽长比有2种可能,即$2^1$;3阶长方形的宽长比有4种可能,即$2^2$;4阶长方形的宽长比有8种可能,即$2^3$;…,所以10阶长方形的宽长比共有$2^9$种可能的值.
选②:由题意知1阶长方形就是在正方形外再补一个正方形(宽长比为$\frac{1}{2}$),同理2阶长方形的宽长比为$\frac{1}{3}$和$\frac{2}{3}$,两种不同补法的图形正好可以拼成一个大的正方形,宽长比为1,故“$\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1$”“$\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$”…是必然的.
(任选①和②其中一个作答即可)