1[2026江苏盐城期末,中]如图,已知线段AB=6 cm,点C是线段BA延长线上的一个动点,D是线段BC的中点.

(1)若AC=4 cm,求线段AD的长.
(2)若AC的长逐渐增大,则AD的长的变化趋势是.(填序号)
①变小;②变大;③先变大,后变小;④先变小,后变大.
(3)若AD=2 cm,画出所有符合条件的图形并求线段AC的长.

(1)因为AB=6 cm,AC=4 cm,所以BC=AB+AC=6+4=10(cm).因为D是BC的中点,所以CD=1/2 BC=1/2×10=5(cm),所以AD=CD-AC=5-4=1(cm),所以线段AD的长为1 cm.
(2)随着AC的长逐渐增大,D越来越靠近点A,当AC=AB时,点D与A重合,之后点D离点A越来越远,故答案为④.
(3)当点D在线段AB上时,如图(1).

因为AB=6 cm,AD=2 cm,所以BD=AB-AD=6-2=4(cm).
因为D是BC的中点,所以BC=2BD=2×4=8(cm),所以AC=BC-AB=8-6=2(cm).
当点D在BA延长线上时,如图(2).

因为AB=6 cm,AD=2 cm,所以BD=AB+AD=6+2=8(cm).
因为D是BC的中点,所以BC=2BD=2×8=16(cm),所以AC=BC-AB=16-6=10(cm).
综上所述,AC的长为2 cm或10 cm.

2[2025重庆沙坪坝区质检,中]如图,已知点C在线段AB上,且$AC=2BC$,线段DE在线段AB上运动(点D,E不与点A,B重合,且点D在点E的左侧),$AB=15$,$DE=6$.
(1)当点E为BC的三等分点时,求线段AD的长;
(2)点F(不与点A,B,C重合)在线段AB上,且$AF=3AD$,$CF=3$,求线段AE的长.

(1)因为AC=2BC,AB=15,所以AC=2/3×15=10,BC=1/3×15=5.
当点E靠近点C时,如图(1)所示.

因为点E为BC的三等分点,
所以CE=1/3 CB=5/3,
所以DC=DE-CE=6-5/3=13/3,
所以AD=AC-DC=10-13/3=17/3.
当点E靠近点B时,如图(2)所示.

因为点E为BC的三等分点,
所以CE=2/3 CB=10/3,
所以DC=DE-CE=6-10/3=8/3,
所以AD=AC-DC=10-8/3=22/3.
综上,线段AD的长为17/3或22/3.
(2)依题意分两种情况:①如图(3)所示,当点F在点C右侧时,

因为AC=10,CF=3,
所以AF=AC+CF=10+3=13.
因为AF=3AD,所以AD=1/3 AF=13/3.
因为DE=6,所以AE=AD+DE=13/3+6=31/3.
②如图(4)所示,当点F在点C左侧时,

因为AC=10,CF=3,
所以AF=AC-CF=10-3=7.
因为AF=3AD,所以AD=1/3 AF=7/3,
所以AE=AD+DE=7/3+6=25/3.
综上所述,AE的长为31/3或25/3.

3[2025福建福州期末,中]如图,线段AB的长为24,动点P从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动,M为AP的中点,设点P的运动时间为x秒.
(1)当x=5时,求BM的长.
(2)当P在线段AB上运动时,2BM-PB是定值吗?如果是,请求出该定值;如果不是,请说明理由.
(3)当P在射线AB上运动时,N为BP的中点,求MN的长度.

(1)当x=5时,AP=2×5=10.
因为M为AP的中点,
所以AM=1/2 AP=5,
所以BM=AB-AM=19,
所以BM的长为19.
(2)当P在线段AB上运动时,2BM-PB是定值.由题意知,AM=1/2 AP,BM=AB-AM,
所以2BM-PB=2(AB-AM)-(AB-AP)=2AB-AP-AB+AP=AB=24,
所以2BM-PB是定值,定值为24.
(3)分点P在线段AB上和在线段AB的延长线上两种情况讨论,不要漏解.
当P在线段AB上运动时,如图(1).

由题意知,PN=1/2 BP,MP=1/2 AP,所以MN=MP+NP=1/2(AP+BP)=1/2 AB=12.
当P在线段AB的延长线上运动时,如图(2).

由题意知,PN=1/2 BP,MP=1/2 AP,
所以MN=MP-NP=1/2(AP-BP)=1/2 AB=12.
综上所述,MN的长度为12.