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【学以致用4】用科学记数法表示下列各数：
(1)5 900 000 000；
(2)−149 000 000；
(3)1 040万；
(4)−20.8亿.
(1)5 900 000 000；
(2)−149 000 000；
(3)1 040万；
(4)−20.8亿.
答案
(1) $5\ 900\ 000\ 000=5.9×10^9$.
(2) $-149\ 000\ 000=-1.49×10^8$.
(3) 1 040万$=10\ 400\ 000=1.04×10^7$.
(4) $-20.8亿=-2\ 080\ 000\ 000=-2.08×10^9$.
(2) $-149\ 000\ 000=-1.49×10^8$.
(3) 1 040万$=10\ 400\ 000=1.04×10^7$.
(4) $-20.8亿=-2\ 080\ 000\ 000=-2.08×10^9$.
解析
【分析】
要解决用科学记数法表示数的问题，首先明确科学记数法的标准形式为$a×10^n$，其中要求$1≤|a|＜10$，n为正整数。解题可按以下步骤思考：1. 若原数带有“万”“亿”这类单位，先去掉单位换算为普通整数；2. 确定a：把原数的小数点向左移动，直到最高位非零数字的后方，得到的数就是a，原数为负数时a也保留负号；3. 确定n：小数点向左移动的位数就是n的值，也可以用原数的整数位数减1计算n；4. 最终组合成$a×10^n$的形式即可。
【解析】
(1) 对于5 900 000 000，将小数点向左移动9位得到$a=5.9$，移动位数为9，因此$5\ 900\ 000\ 000=5.9×10^9$；
(2) 对于$-149\ 000\ 000$，先保留负号，将小数点向左移动8位得到$a=1.49$，移动位数为8，因此$-149\ 000\ 000=-1.49×10^8$；
(3) 先换算单位：1 040万$=1040×10000=10\ 400\ 000$，将小数点向左移动7位得到$a=1.04$，移动位数为7，因此$1\ 040万=1.04×10^7$；
(4) 先换算单位：$-20.8亿=-20.8×100000000=-2\ 080\ 000\ 000$，保留负号，将小数点向左移动9位得到$a=2.08$，移动位数为9，因此$-20.8亿=-2.08×10^9$。
【答案】
(1) $5\ 900\ 000\ 000=5.9×10^9$
(2) $-149\ 000\ 000=-1.49×10^8$
(3) 1 040万$=1.04×10^7$
(4) $-20.8亿=-2.08×10^9$
【知识点】
科学记数法；大数单位换算
【点评】
本题是科学记数法的基础应用题型，解题时要注意a的取值必须满足$1≤|a|＜10$，带单位的数要先还原为原数再转化，不要遗漏原数的负号，熟练掌握n的确定方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要解决用科学记数法表示数的问题，首先明确科学记数法的标准形式为$a×10^n$，其中要求$1≤|a|＜10$，n为正整数。解题可按以下步骤思考：1. 若原数带有“万”“亿”这类单位，先去掉单位换算为普通整数；2. 确定a：把原数的小数点向左移动，直到最高位非零数字的后方，得到的数就是a，原数为负数时a也保留负号；3. 确定n：小数点向左移动的位数就是n的值，也可以用原数的整数位数减1计算n；4. 最终组合成$a×10^n$的形式即可。
【解析】
(1) 对于5 900 000 000，将小数点向左移动9位得到$a=5.9$，移动位数为9，因此$5\ 900\ 000\ 000=5.9×10^9$；
(2) 对于$-149\ 000\ 000$，先保留负号，将小数点向左移动8位得到$a=1.49$，移动位数为8，因此$-149\ 000\ 000=-1.49×10^8$；
(3) 先换算单位：1 040万$=1040×10000=10\ 400\ 000$，将小数点向左移动7位得到$a=1.04$，移动位数为7，因此$1\ 040万=1.04×10^7$；
(4) 先换算单位：$-20.8亿=-20.8×100000000=-2\ 080\ 000\ 000$，保留负号，将小数点向左移动9位得到$a=2.08$，移动位数为9，因此$-20.8亿=-2.08×10^9$。
【答案】
(1) $5\ 900\ 000\ 000=5.9×10^9$
(2) $-149\ 000\ 000=-1.49×10^8$
(3) 1 040万$=1.04×10^7$
(4) $-20.8亿=-2.08×10^9$
【知识点】
科学记数法；大数单位换算
【点评】
本题是科学记数法的基础应用题型，解题时要注意a的取值必须满足$1≤|a|＜10$，带单位的数要先还原为原数再转化，不要遗漏原数的负号，熟练掌握n的确定方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
【学以致用5】写出下列用科学记数法表示的数的原数.
(1)$5.18×10^{3}$；
(2)$-3.12×10^{5}$；
(3)$5.7613×10^{8}$；
(4)$-7.1234×10^{3}$.
(1)$5.18×10^{3}$；
(2)$-3.12×10^{5}$；
(3)$5.7613×10^{8}$；
(4)$-7.1234×10^{3}$.
答案
(1) $5.18×10^3=5\ 180$.
(2) $-3.12×10^5=-312\ 000$.
(3) $5.761\ 3×10^8=576\ 130\ 000$.
(4) $-7.123\ 4×10^3=-7\ 123.4$.
(2) $-3.12×10^5=-312\ 000$.
(3) $5.761\ 3×10^8=576\ 130\ 000$.
(4) $-7.123\ 4×10^3=-7\ 123.4$.
解析
【分析】
要将科学记数法$a×10^n$（n为正整数）还原为原数，核心思路是：$10^n$表示1后面有n个0，即原数是a扩大$10^n$倍得到的，所以只需要把a的小数点向右移动n位，移动时位数不够的用0补足，原式的正负号保持不变。解题时先确定每道题中10的指数n，再对应移动小数点即可。
【解析】
(1) $5.18×10^3$中，10的指数是3，将5.18的小数点向右移动3位，可得：$5.18×10^3=5180$；
(2) $-3.12×10^5$中，10的指数是5，将-3.12的小数点向右移动5位，不足的位数补0，可得：$-3.12×10^5=-312000$；
(3) $5.7613×10^8$中，10的指数是8，将5.7613的小数点向右移动8位，不足的位数补0，可得：$5.7613×10^8=576130000$；
(4) $-7.1234×10^3$中，10的指数是3，将-7.1234的小数点向右移动3位，可得：$-7.1234×10^3=-7123.4$。
【答案】
(1) $5180$；(2) $-312000$；(3) $576130000$；(4) $-7123.4$
【知识点】
科学记数法还原；小数点移动规律
【点评】
本题属于基础题型，主要考查科学记数法转化为原数的方法，解题的关键是明确10的指数和小数点向右移动位数的对应关系，注意不要遗漏原式的符号，小数点移动位数不足时要补0。
【难度系数】
0.85
要将科学记数法$a×10^n$（n为正整数）还原为原数，核心思路是：$10^n$表示1后面有n个0，即原数是a扩大$10^n$倍得到的，所以只需要把a的小数点向右移动n位，移动时位数不够的用0补足，原式的正负号保持不变。解题时先确定每道题中10的指数n，再对应移动小数点即可。
【解析】
(1) $5.18×10^3$中，10的指数是3，将5.18的小数点向右移动3位，可得：$5.18×10^3=5180$；
(2) $-3.12×10^5$中，10的指数是5，将-3.12的小数点向右移动5位，不足的位数补0，可得：$-3.12×10^5=-312000$；
(3) $5.7613×10^8$中，10的指数是8，将5.7613的小数点向右移动8位，不足的位数补0，可得：$5.7613×10^8=576130000$；
(4) $-7.1234×10^3$中，10的指数是3，将-7.1234的小数点向右移动3位，可得：$-7.1234×10^3=-7123.4$。
【答案】
(1) $5180$；(2) $-312000$；(3) $576130000$；(4) $-7123.4$
【知识点】
科学记数法还原；小数点移动规律
【点评】
本题属于基础题型，主要考查科学记数法转化为原数的方法，解题的关键是明确10的指数和小数点向右移动位数的对应关系，注意不要遗漏原式的符号，小数点移动位数不足时要补0。
【难度系数】
0.85
【学以致用6】用四舍五入法求下列各数的近似数：
(1)753.196 8(精确到0.001)；
(2)753.196 8(精确到百分位)；
(3)753.196 8(精确到0.1)；
(4)753.196 8(精确到个位)。
(1)753.196 8(精确到0.001)；
(2)753.196 8(精确到百分位)；
(3)753.196 8(精确到0.1)；
(4)753.196 8(精确到个位)。
答案
(1) $753.196\ 8≈753.197$.
(2) $753.196\ 8≈753.20$.
(3) $753.196\ 8≈753.2$.
(4) $753.196\ 8≈753$.
(2) $753.196\ 8≈753.20$.
(3) $753.196\ 8≈753.2$.
(4) $753.196\ 8≈753$.
解析
【分析】
用四舍五入法求近似数时，首先要明确题目要求的精确数位，再观察该数位后相邻的下一位数字：如果下一位数字≥5，就向精确数位进1后舍去后面的数；如果下一位数字＜5，就直接舍去精确数位后面的数。针对本题的4个小问，我们分别先定位对应的精确数位，再判断下一位数字的大小完成舍入即可，注意精确到百分位时，末尾表示精确度的0不能省略。
【解析】
(1) 精确到0.001即精确到千分位，观察千分位后的万分位数字是8，8≥5，向千分位进1，6+1=7，舍去万分位及之后的数，得到结果。
(2) 精确到百分位即精确到小数点后第二位，观察百分位后的千分位数字是6，6≥5，向百分位进1，9+1=10，百分位写0，再向十分位进1，1+1=2，舍去千分位及之后的数，得到结果。
(3) 精确到0.1即精确到十分位，观察十分位后的百分位数字是9，9≥5，向十分位进1，1+1=2，舍去百分位及之后的数，得到结果。
(4) 精确到个位，观察个位后的十分位数字是1，1＜5，直接舍去小数部分，得到结果。
【答案】
(1) $753.196\ 8≈753.197$.
(2) $753.196\ 8≈753.20$.
(3) $753.196\ 8≈753.2$.
(4) $753.196\ 8≈753$.
【知识点】
近似数；四舍五入法；精确度
【点评】
本题是求近似数的基础题型，解题核心是先确定精确数位，再根据其后一位数字的大小判断舍入，需要注意的是，当精确到某一数位后末尾出现0时，不能随意省略该0，它代表了近似数的精确程度。
【难度系数】
0.8
用四舍五入法求近似数时，首先要明确题目要求的精确数位，再观察该数位后相邻的下一位数字：如果下一位数字≥5，就向精确数位进1后舍去后面的数；如果下一位数字＜5，就直接舍去精确数位后面的数。针对本题的4个小问，我们分别先定位对应的精确数位，再判断下一位数字的大小完成舍入即可，注意精确到百分位时，末尾表示精确度的0不能省略。
【解析】
(1) 精确到0.001即精确到千分位，观察千分位后的万分位数字是8，8≥5，向千分位进1，6+1=7，舍去万分位及之后的数，得到结果。
(2) 精确到百分位即精确到小数点后第二位，观察百分位后的千分位数字是6，6≥5，向百分位进1，9+1=10，百分位写0，再向十分位进1，1+1=2，舍去千分位及之后的数，得到结果。
(3) 精确到0.1即精确到十分位，观察十分位后的百分位数字是9，9≥5，向十分位进1，1+1=2，舍去百分位及之后的数，得到结果。
(4) 精确到个位，观察个位后的十分位数字是1，1＜5，直接舍去小数部分，得到结果。
【答案】
(1) $753.196\ 8≈753.197$.
(2) $753.196\ 8≈753.20$.
(3) $753.196\ 8≈753.2$.
(4) $753.196\ 8≈753$.
【知识点】
近似数；四舍五入法；精确度
【点评】
本题是求近似数的基础题型，解题核心是先确定精确数位，再根据其后一位数字的大小判断舍入，需要注意的是，当精确到某一数位后末尾出现0时，不能随意省略该0，它代表了近似数的精确程度。
【难度系数】
0.8
【典例】观察下面三行数：
$-2,4,-8,16,-32,···;$①
$-1,2,-4,8,-16,···;$②
$-1,5,-7,17,-31,···.$③
(1)第①行的数是按什么规律排列的？
(2)第②行和第③行的数与第①行的数分别有什么关系？取每行中的第9个数，计算这三个数的和。
[思路导引] 观察第①行的数，发现各数均为2的倍数，联想数的乘方，从符号和绝对值两方面考虑，可以发现排列的规律。
[答案] 解:(1)第①行数从第一个数开始,后面一个数是前面一个数乘$-2$得到的,可以看成按如下规律排列:$(-2),(-2)^2,(-2)^3,(-2)^4,(-2)^5,···$.
(2)第②行每个位置上的数是由第①行相应位置上的数除以2得到的,即$(-2)÷2,(-2)^2÷2,(-2)^3÷2,(-2)^4÷2,(-2)^5÷2,···$;
第③行每个位置上的数是由第①行相应位置上的数加上1得到的,即$(-2)+1,(-2)^2+1,(-2)^3+1,(-2)^4+1,(-2)^5+1,···$.
每行中的第9个数的和是$(-2)^9+(-2)^9÷2+[(-2)^9+1]=-512+(-512)÷2+[(-512)+1]=-512+(-256)+(-511)=-1\ 279$.
$-2,4,-8,16,-32,···;$①
$-1,2,-4,8,-16,···;$②
$-1,5,-7,17,-31,···.$③
(1)第①行的数是按什么规律排列的？
(2)第②行和第③行的数与第①行的数分别有什么关系？取每行中的第9个数，计算这三个数的和。
[思路导引] 观察第①行的数，发现各数均为2的倍数，联想数的乘方，从符号和绝对值两方面考虑，可以发现排列的规律。
[答案] 解:(1)第①行数从第一个数开始,后面一个数是前面一个数乘$-2$得到的,可以看成按如下规律排列:$(-2),(-2)^2,(-2)^3,(-2)^4,(-2)^5,···$.
(2)第②行每个位置上的数是由第①行相应位置上的数除以2得到的,即$(-2)÷2,(-2)^2÷2,(-2)^3÷2,(-2)^4÷2,(-2)^5÷2,···$;
第③行每个位置上的数是由第①行相应位置上的数加上1得到的,即$(-2)+1,(-2)^2+1,(-2)^3+1,(-2)^4+1,(-2)^5+1,···$.
每行中的第9个数的和是$(-2)^9+(-2)^9÷2+[(-2)^9+1]=-512+(-512)÷2+[(-512)+1]=-512+(-256)+(-511)=-1\ 279$.
答案
解：
(1) 第①行数从第一个数开始，后面一个数是前面一个数乘$-2$得到的，排列规律为：$(-2),(-2)^2,(-2)^3,(-2)^4,(-2)^5,\dots$。
(2) 第②行每个位置上的数是由第①行相应位置上的数除以2得到的，即$(-2)÷2,(-2)^2÷2,(-2)^3÷2,(-2)^4÷2,(-2)^5÷2,\dots$；
第③行每个位置上的数是由第①行相应位置上的数加上1得到的，即$(-2)+1,(-2)^2+1,(-2)^3+1,(-2)^4+1,(-2)^5+1,\dots$。
计算每行第9个数的和：
$\begin{aligned}&(-2)^9 + (-2)^9÷2 + [(-2)^9 + 1]\\=&-512 + (-512)÷2 + (-512 + 1)\\=&-512 - 256 - 511\\=&-1279\end{aligned}$
(1) 第①行数从第一个数开始，后面一个数是前面一个数乘$-2$得到的，排列规律为：$(-2),(-2)^2,(-2)^3,(-2)^4,(-2)^5,\dots$。
(2) 第②行每个位置上的数是由第①行相应位置上的数除以2得到的，即$(-2)÷2,(-2)^2÷2,(-2)^3÷2,(-2)^4÷2,(-2)^5÷2,\dots$；
第③行每个位置上的数是由第①行相应位置上的数加上1得到的，即$(-2)+1,(-2)^2+1,(-2)^3+1,(-2)^4+1,(-2)^5+1,\dots$。
计算每行第9个数的和：
$\begin{aligned}&(-2)^9 + (-2)^9÷2 + [(-2)^9 + 1]\\=&-512 + (-512)÷2 + (-512 + 1)\\=&-512 - 256 - 511\\=&-1279\end{aligned}$
解析
【分析】
解决这道题可以分三步思考：
1. 分析第①行规律：先观察符号，负、正交替出现，再观察绝对值，2、4、8、16……都是2的幂次，结合符号特征就能总结出排列规律。
2. 找②③行与第①行的关系：将三行同一位置的数做对比，通过简单的加减乘除运算就能找到两行数和第①行的对应关系。
3. 计算第9个数的和：先根据规律写出三行的第9个数，再按照有理数运算规则计算，注意负数的奇次幂是负数，运算顺序为先乘方、再乘除、最后加减。
【解析】
(1) 观察第①行的数：$-2=(-2)^1$，$4=(-2)^2$，$-8=(-2)^3$，$16=(-2)^4$……可得规律：从第一个数开始，后面一个数是前面一个数乘$-2$得到的，排列规律为$(-2),(-2)^2,(-2)^3,(-2)^4,(-2)^5,\dots$。
(2) 对比同位置的数：
第②行：$-1=-2÷2$，$2=4÷2$，$-4=-8÷2$……所以第②行每个位置上的数是第①行相应位置上的数除以2得到的；
第③行：$-1=-2+1$，$5=4+1$，$-7=-8+1$……所以第③行每个位置上的数是第①行相应位置上的数加1得到的。
计算每行第9个数的和：
$\begin{aligned}&(-2)^9 + (-2)^9÷2 + [(-2)^9 + 1]\\=&-512 + (-512)÷2 + (-512 + 1)\\=&-512 - 256 - 511\\=&-1279\end{aligned}$
【答案】
(1) 第①行数后一个数是前一个数乘$-2$得到的，排列规律为$(-2),(-2)^2,(-2)^3,(-2)^4,(-2)^5,\dots$；
(2) 第②行每个数是第①行对应数除以2得到的，第③行每个数是第①行对应数加1得到的；三个数的和为$\boldsymbol{-1279}$。
【知识点】
数字规律探究，有理数乘方，有理数混合运算
【点评】
本题属于典型的数列规律探究题，需要从符号、数值两方面观察数列特征，找到不同数列间的对应关系是解题的突破口，计算时要注意负数乘方的符号规则，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
解决这道题可以分三步思考：
1. 分析第①行规律：先观察符号，负、正交替出现，再观察绝对值，2、4、8、16……都是2的幂次，结合符号特征就能总结出排列规律。
2. 找②③行与第①行的关系：将三行同一位置的数做对比，通过简单的加减乘除运算就能找到两行数和第①行的对应关系。
3. 计算第9个数的和：先根据规律写出三行的第9个数，再按照有理数运算规则计算，注意负数的奇次幂是负数，运算顺序为先乘方、再乘除、最后加减。
【解析】
(1) 观察第①行的数：$-2=(-2)^1$，$4=(-2)^2$，$-8=(-2)^3$，$16=(-2)^4$……可得规律：从第一个数开始，后面一个数是前面一个数乘$-2$得到的，排列规律为$(-2),(-2)^2,(-2)^3,(-2)^4,(-2)^5,\dots$。
(2) 对比同位置的数：
第②行：$-1=-2÷2$，$2=4÷2$，$-4=-8÷2$……所以第②行每个位置上的数是第①行相应位置上的数除以2得到的；
第③行：$-1=-2+1$，$5=4+1$，$-7=-8+1$……所以第③行每个位置上的数是第①行相应位置上的数加1得到的。
计算每行第9个数的和：
$\begin{aligned}&(-2)^9 + (-2)^9÷2 + [(-2)^9 + 1]\\=&-512 + (-512)÷2 + (-512 + 1)\\=&-512 - 256 - 511\\=&-1279\end{aligned}$
【答案】
(1) 第①行数后一个数是前一个数乘$-2$得到的，排列规律为$(-2),(-2)^2,(-2)^3,(-2)^4,(-2)^5,\dots$；
(2) 第②行每个数是第①行对应数除以2得到的，第③行每个数是第①行对应数加1得到的；三个数的和为$\boldsymbol{-1279}$。
【知识点】
数字规律探究，有理数乘方，有理数混合运算
【点评】
本题属于典型的数列规律探究题，需要从符号、数值两方面观察数列特征，找到不同数列间的对应关系是解题的突破口，计算时要注意负数乘方的符号规则，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
