1. （2025·石家庄期中）如图，长方形OABC的边OA在数轴上，O在原点，长方形OABC的面积为24，OC边长为4，将长方形OABC沿数轴水平移动，移动后的长方形记为O'A'B'C'，移动后的长方形O'A'B'C'与原长方形OABC重叠部分的面积为8，则点A'表示的数为.

2或10 【解析】因为长方形OABC的面积为24,OC边长为4,所以OA=6,点A对应的数是6.因为移动后的长方形O'A'B'C'与原长方形OABC重叠部分的面积为8,所以阴影部分的面积为8,OA=O'A'=6,OC=O'C'=4,如图①,当长方形OABC向左平移时,即4×OA'=8,所以OA'=2,所以点A'表示的数为2;如图②,当长方形OABC向右平移时,即4×O'A=8,所以O'A=2,所以AA'=O'A'-O'A=6-2=4,所以OA'=OA+AA'=6+4=10,所以点A'表示的数为10,所以点A'表示的数为2或10.

2. 如图,边长为1的正方形ABCD,沿数轴顺时针连续滚动.起点A和-2重合,则滚动2 026次后,点C在数轴上对应的数是.

2 024 【解析】将起点A和-2重合的正方形,沿着数轴顺时针滚动2次,点C第1次落在数轴上的原点处.以后每4次,点C会落在数轴上的某一点.这样滚动2 026次,点C第(2 026-2)÷4=506(次)落在数轴上,因此点C所表示的数为2 024.

3. （2025·苏州月考）如图，数轴上分别有一个小圆与一个大圆，它们都有一个公共点与数轴上的原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒$π$个单位长度，大圆的运动速度为每秒$2π$个单位长度.
(1)若小圆不动，大圆沿数轴来回滚动，规定大圆向右滚动的时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下(单位:秒)：
$-1,+2,-4,-2,+3,+6$
①第次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离最远；
②当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有多少？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？(结果保留$π$)
(2)若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距$9π$，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数.(结果保留$π)$

$\gg$ 进一步挑战进阶专题·P52 专题 31

(1)①4 【解析】第1次滚动后,大圆与数轴的公共点到原点的距离:|-1×2π|=2π,第2次滚动后,大圆与数轴的公共点到原点的距离:|-1×2π+2×2π|=2π,第3次滚动后,大圆与数轴的公共点到原点的距离:|-1×2π+2×2π-4×2π|=6π,第4次滚动后,大圆与数轴的公共点到原点的距离:|-1×2π+2×2π-4×2π-2×2π|=10π,第5次滚动后,大圆与数轴的公共点到原点的距离:|-1×2π+2×2π-4×2π-2×2π+3×2π|=4π,第6次滚动后,大圆与数轴的公共点到原点的距离:|-1×2π+2×2π-4×2π-2×2π+3×2π+6×2π|=8π,所以第4次滚动后,大圆与数轴的公共点到原点的距离最远.
②总路程为|-1×2π|+|2×2π|+|-4×2π|+|-2×2π|+|3×2π|+|6×2π|=36π,此时两圆与数轴重合的点之间的距离为|-1×2π+2×2π-4×2π-2×2π+3×2π+6×2π|=8π.
(2)①当它们同向运动时,$\frac{9π}{2π-π}$=9(秒),所以小圆与数轴重合的点所表示的数为9π,大圆与数轴重合的点所表示的数为18π,或小圆与数轴重合的点所表示的数为-9π,大圆与数轴重合的点所表示的数为-18π;
②当它们反向运动时,$\frac{9π}{2π+π}$=3(秒),所以小圆与数轴重合的点所表示的数为-3π,大圆与数轴重合的点所表示的数为6π,或小圆与数轴重合的点所表示的数为3π,大圆与数轴重合的点所表示的数为-6π.
综上,两圆与数轴重合的点所表示的数有四种情况,分别为9π和18π,-9π和-18π,-3π和6π,3π和-6π.