基础知识·预习
问题1 把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？等边三角形的边与角有哪些特征？
问题2 一个三角形满足什么条件才是等边三角形？为什么？

解：
问题1
将等腰三角形的性质应用于等边三角形，可得结论：
等腰三角形“等边对等角”的性质推广到等边三角形，可推出等边三角形的三个内角都相等；等腰三角形“三线合一”的性质推广到等边三角形，可推出等边三角形任意一条边上的中线、这条边上的高、这条边所对角的平分线都互相重合。
等边三角形的边特征：三条边长度全部相等；
等边三角形的角特征：三个内角都相等，且每个内角都等于60°。
问题2
三角形满足以下任意一个条件，即为等边三角形：
1. 三条边都相等
理由：这是等边三角形的定义，直接判定该三角形三边相等，符合等边三角形的要求。
2. 三个内角都相等
理由：根据“等角对等边”的性质，三个角都相等的三角形中任意两个角相等，可推出对应的两条边相等，因此三角形三条边都相等，是等边三角形。
3. 是等腰三角形，且有一个内角为60°
理由：若等腰三角形的顶角为60°，则两个底角的和为120°，由等腰三角形两底角相等，可得每个底角为60°，三个内角都为60°，三边相等；若等腰三角形的底角为60°，则另一个底角也为60°，计算得顶角为$180°-60°×2=60°$，三个内角都为60°，三边相等，因此该三角形是等边三角形。

【分析】
解决本题首先要明确等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质，同时有自身的特殊属性。
针对问题1：先回忆等腰三角形的核心性质（等边对等角、三线合一），再结合等边三角形三边都相等的特殊性，将等腰三角形的性质做推广，就能得到等边三角形的相关结论，最后分别从边、角两个维度总结特征即可。
针对问题2：等边三角形的判定可从三个维度思考：①从定义出发，直接依据边的数量关系判定；②从角的特征出发，结合“等角对等边”的性质推导；③在等腰三角形的基础上，增加60°的特殊角条件，利用三角形内角和定理与等腰三角形两底角相等的性质推导，分别给出每个判定的合理依据即可。
【解析】
问题1
将等腰三角形的性质应用于等边三角形，可得结论：
等腰三角形“等边对等角”的性质推广到等边三角形，可推出等边三角形的三个内角都相等；等腰三角形“三线合一”的性质推广到等边三角形，可推出等边三角形任意一条边上的中线、这条边上的高、这条边所对角的平分线都互相重合。
等边三角形的边特征：三条边长度全部相等；
等边三角形的角特征：三个内角都相等，且每个内角都等于60°。
问题2
三角形满足以下任意一个条件，即为等边三角形：
1. 三条边都相等
理由：这是等边三角形的定义，直接判定该三角形三边相等，符合等边三角形的要求。
2. 三个内角都相等
理由：根据“等角对等边”的性质，三个角都相等的三角形中任意两个角相等，可推出对应的两条边相等，因此三角形三条边都相等，是等边三角形。
3. 是等腰三角形，且有一个内角为60°
理由：若等腰三角形的顶角为60°，则两个底角的和为120°，由等腰三角形两底角相等，可得每个底角为60°，三个内角都为60°，三边相等；若等腰三角形的底角为60°，则另一个底角也为60°，计算得顶角为$180°-60°×2=60°$，三个内角都为60°，三边相等，因此该三角形是等边三角形。
【答案】
问题1
推广结论：①等边三角形的三个内角都相等；②等边三角形任意一条边上的中线、这条边上的高、这条边所对角的平分线都互相重合。
边特征：三条边长度全部相等；
角特征：三个内角都相等，且每个内角都等于60°。
问题2
满足以下任意一个条件即为等边三角形：
1. 三条边都相等，理由：符合等边三角形的定义；
2. 三个内角都相等，理由：由等角对等边可推出三条边都相等，符合等边三角形要求；
3. 是等腰三角形且有一个内角为60°，理由：可推导得三个内角均为60°，三边相等，属于等边三角形。
【知识点】
1. 等边三角形的性质
2. 等边三角形的判定
3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查从一般到特殊的知识迁移能力，通过将等腰三角形的性质推广到等边三角形，能帮助理清等腰和等边三角形的从属关系，熟练掌握等边三角形的性质和判定是解决后续等边相关几何证明、计算问题的基础。
【难度系数】
0.8

【典型例题 1】如图,等边三角形 ABC 的边长为 8,点 E 是 BC 边上一动点(不与点 B,C 重合),以 BE 为边在 BC 的下方作等边三角形 BDE,连接 AE,CD.
(1)在点 E 的运动过程中,AE 与 CD 有何数量关系?请说明理由.
(2)当 BE=4 时,求∠BDC 的度数.
【解】(1)AE=CD.理由如下:
因为△ABC 和△BDE 是等边三角形,
所以 AB=BC,BE=BD,∠ABC=

∠EBD=60°.
在△ABE 与△CBD 中,
$\{\begin{array}{l}AB=CB,\\∠ABE=∠CBD,\\BE=BD,\end{array} $
所以△ABE≌△CBD(SAS),
所以 AE=CD.
(2)因为 BE=4,BC=8,所以 E 为 BC 的中点.因为在等边三角形 ABC 中,AB=AC,
所以 AE⊥BC,所以∠AEB=90°.
由(1)知△ABE≌△CBD,
所以∠BDC=∠AEB=90°.
规律方法 1.等边三角形是一种特殊的等腰三角形,它具有等腰三角形的一切性质,等边三角形任意一边上的高、中线及对角的平分线重合,即有三组“三线合一”.等边三角形也是轴对称图形,并且有 3 条对称轴.
2.等边三角形边与角的特殊性质为证明三角形全等提供了条件,也易于进行线段与角的等量转化,是证明问题的重要依据.
【即学即练】

解：
(1) $AE=CD$，理由如下：
$\because △ ABC$和$△ BDE$都是等边三角形，
$\therefore AB=BC$，$BE=BD$，$∠ ABC=∠ EBD=60°$。
在$△ ABE$和$△ CBD$中，
$\begin{cases}AB=CB \\∠ ABE=∠ CBD \\BE=BD\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ CBD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AE=CD$。
(2) $\because$ 等边$△ ABC$的边长为8，$BE=4$，
$\therefore BE=\dfrac{1}{2}BC$，即点$E$是$BC$的中点。
又$\because AB=AC$，由等边三角形“三线合一”的性质可得：
$AE⊥ BC$，即$∠ AEB=90°$。
由(1)知$△ ABE ≌ △ CBD$，
$\therefore ∠ BDC=∠ AEB=90°$。

【分析】
(1) 要探究AE与CD的数量关系，优先考虑证明两条线段所在的三角形全等。已知△ABC和△BDE都是等边三角形，根据等边三角形的性质可得相等的边和60°的角，进而推出夹角∠ABE=∠CBD，可通过SAS证明△ABE≌△CBD，从而得到两条线段的数量关系。
(2) 已知BE=4，BC=8，可推出E是BC的中点，结合等边三角形三线合一的性质可得AE⊥BC，即∠AEB=90°，再利用(1)中全等三角形对应角相等的性质，即可求出∠BDC的度数。
【解析】
(1) $AE=CD$，理由如下：
$\because △ ABC$和$△ BDE$都是等边三角形，
$\therefore AB=BC$，$BE=BD$，$∠ ABC=∠ EBD=60°$。
在$△ ABE$和$△ CBD$中，
$\begin{cases}AB=CB \\∠ ABE=∠ CBD \\BE=BD\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ CBD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AE=CD$。
(2) $\because$ 等边$△ ABC$的边长为8，$BE=4$，
$\therefore BE=\dfrac{1}{2}BC$，即点$E$是$BC$的中点。
又$\because △ ABC$是等边三角形，由等边三角形“三线合一”的性质可得：
$AE⊥ BC$，即$∠ AEB=90°$。
由(1)知$△ ABE ≌ △ CBD$，
$\therefore ∠ BDC=∠ AEB=90°$。
【答案】
(1) $AE=CD$；(2) $∠ BDC=90°$
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三线合一
【点评】
本题考查等边三角形与全等三角形的综合应用，解题的关键是熟练运用等边三角形的边、角特性构造全等条件，结合全等的性质实现线段、角度的等量转化，同时要灵活运用等边三角形三线合一的性质解决角度计算问题。
【难度系数】
0.7