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4. 如图15.2-5，按要求画出图形.
（1）已知$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$关于直线MN对称，请用无刻度的直尺画出对称轴MN.
（2）在图15.2-5中画出$△ ABC$关于直线EF对称的$△ A_2B_2C_2$.（要求：A与$A_2$，B与$B_2$，C与$C_2$相对应）
（3）在（1）（2）的结果下，若直线EF与MN相交于点D，试探究$∠ A_1DA_2$与直线EF，MN所夹锐角$α$的数量关系.
（1）已知$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$关于直线MN对称，请用无刻度的直尺画出对称轴MN.
（2）在图15.2-5中画出$△ ABC$关于直线EF对称的$△ A_2B_2C_2$.（要求：A与$A_2$，B与$B_2$，C与$C_2$相对应）
（3）在（1）（2）的结果下，若直线EF与MN相交于点D，试探究$∠ A_1DA_2$与直线EF，MN所夹锐角$α$的数量关系.
答案
4. （1）如答图19所示，直线MN即为所求
（2）如答图19所示，$△A_2B_2C_2$即为所求
（3）$∠A_1DA_2=2α$，理由如下：连接AD，$A_1D$，$A_2D$. $\because$直线EF，MN所夹锐角为$α$，即$∠ MDE=α$，由对称性可得$∠ A_1DM=∠ ADM$，$∠ ADE=∠ A_2DE$，$\therefore∠ A_1DA_2=2(∠ ADM+∠ ADE)=2∠ MDE=2α$
解析
【分析】
（1）根据轴对称的性质，成轴对称的两个图形的对称轴是对应点连线的垂直平分线，因此只需找到两组对应点，作其连线的垂直平分线即可得到对称轴MN；
（2）画轴对称图形的核心是作各顶点关于对称轴的对称点：分别过△ABC的三个顶点向直线EF作垂线并延长相同长度，得到对应点A₂、B₂、C₂，再顺次连接三个对称点即可得到所求三角形；
（3）探究角度关系时，连接AD、A₁D、A₂D，利用轴对称的“对应点与对称轴上点的连线和对称轴夹角相等”的性质，可得∠A₁DM=∠ADM，∠A₂DE=∠ADE，再结合角的和差关系即可推出∠A₁DA₂和α的数量关系。
【解析】
（1）连接对应点AA₁、BB₁，作线段AA₁、BB₁的垂直平分线，两条垂直平分线重合的直线即为对称轴MN；
（2）①分别过点A、B、C作直线EF的垂线，垂足分别为点P、Q、R；②分别延长AP、BQ、CR至点A₂、B₂、C₂，使得A₂P=AP，B₂Q=BQ，C₂R=CR；③顺次连接A₂B₂、B₂C₂、C₂A₂，所得△A₂B₂C₂即为所求；
（3）连接AD，A₁D，A₂D。
由题意可知直线MN与EF所夹锐角为α，即∠MDE=α。
根据轴对称的性质：
∵△ABC与△A₁B₁C₁关于直线MN对称，
∴∠A₁DM=∠ADM；
∵△ABC与△A₂B₂C₂关于直线EF对称，
∴∠ADE=∠A₂DE。
∴∠A₁DA₂=∠A₁DM+∠ADM+∠ADE+∠A₂DE=2∠ADM + 2∠ADE=2(∠ADM+∠ADE)=2∠MDE=2α。
【答案】
（1）如答图19所示，直线MN即为所求
（2）如答图19所示，△A₂B₂C₂即为所求
（3）∠A₁DA₂=2α
【知识点】
轴对称的性质，作轴对称图形，角的和差计算
【点评】
本题围绕轴对称的作图和性质应用展开，作图的关键是掌握对称点到对称轴的距离相等的特点，角度探究部分需要灵活运用轴对称的对应角相等的性质进行角的转化，是轴对称章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
（1）根据轴对称的性质，成轴对称的两个图形的对称轴是对应点连线的垂直平分线，因此只需找到两组对应点，作其连线的垂直平分线即可得到对称轴MN；
（2）画轴对称图形的核心是作各顶点关于对称轴的对称点：分别过△ABC的三个顶点向直线EF作垂线并延长相同长度，得到对应点A₂、B₂、C₂，再顺次连接三个对称点即可得到所求三角形；
（3）探究角度关系时，连接AD、A₁D、A₂D，利用轴对称的“对应点与对称轴上点的连线和对称轴夹角相等”的性质，可得∠A₁DM=∠ADM，∠A₂DE=∠ADE，再结合角的和差关系即可推出∠A₁DA₂和α的数量关系。
【解析】
（1）连接对应点AA₁、BB₁，作线段AA₁、BB₁的垂直平分线，两条垂直平分线重合的直线即为对称轴MN；
（2）①分别过点A、B、C作直线EF的垂线，垂足分别为点P、Q、R；②分别延长AP、BQ、CR至点A₂、B₂、C₂，使得A₂P=AP，B₂Q=BQ，C₂R=CR；③顺次连接A₂B₂、B₂C₂、C₂A₂，所得△A₂B₂C₂即为所求；
（3）连接AD，A₁D，A₂D。
由题意可知直线MN与EF所夹锐角为α，即∠MDE=α。
根据轴对称的性质：
∵△ABC与△A₁B₁C₁关于直线MN对称，
∴∠A₁DM=∠ADM；
∵△ABC与△A₂B₂C₂关于直线EF对称，
∴∠ADE=∠A₂DE。
∴∠A₁DA₂=∠A₁DM+∠ADM+∠ADE+∠A₂DE=2∠ADM + 2∠ADE=2(∠ADM+∠ADE)=2∠MDE=2α。
【答案】
（1）如答图19所示，直线MN即为所求
（2）如答图19所示，△A₂B₂C₂即为所求
（3）∠A₁DA₂=2α
【知识点】
轴对称的性质，作轴对称图形，角的和差计算
【点评】
本题围绕轴对称的作图和性质应用展开，作图的关键是掌握对称点到对称轴的距离相等的特点，角度探究部分需要灵活运用轴对称的对应角相等的性质进行角的转化，是轴对称章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
5. “三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法. 某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下：
答案
5. （1）任务一：如答图20，点$P'$为所求
任务二：如答图21，折痕$l_5$为所求
（2）50
解析
【分析】
（1）任务一：折叠的本质是轴对称变换，折痕是对应点连线的垂直平分线，已知Q与Q'关于折痕m对称，因此作点P关于直线m的对称点即可得到P'。
任务二：折叠使边PK与l₄重合，说明折痕l₅是PK与l₄夹角的角平分线，作该角的角平分线即可得到l₅。
（2）首先根据三等分线的性质求出每个等分角的度数，再结合l₂与PK平行的特点，利用平行线同位角相等的性质即可求出l₂与l₄相交所成的锐角度数。
【解析】
（1）任务一：根据折叠的轴对称性质，点P和对应点P'关于折痕m对称，用尺规作点P关于直线m的对称点，即为所求的P'。
任务二：由折叠操作要求可知，折痕l₅是∠KPl₄的角平分线，用尺规作∠KPl₄的角平分线，即为所求的l₅。
（2）
∵l₄和l₅是锐角α的三等分线，α=75°
∴每个等分角的度数为$75°÷3=25°$
∴l₄与底边PK的夹角为$2×25°=50°$
又
∵l₂是水平折痕，PK为正方形的水平边，
∴$l_2// PK$
根据平行线同位角相等的性质，l₂与l₄相交所成的锐角等于l₄与PK的夹角，即该锐角为$50°$。
【答案】
（1）任务一：如答图20，点$P'$为所求
任务二：如答图21，折痕$l_5$为所求
（2）50
【知识点】
折叠的性质；尺规作图；平行线的性质
【点评】
本题结合折纸操作考查轴对称性质、尺规作图和角度计算，解题核心是理解折叠的轴对称特征，将文字操作步骤和图形对应结合分析，能有效考查学生的动手操作能力和几何分析能力。
【难度系数】
0.6
（1）任务一：折叠的本质是轴对称变换，折痕是对应点连线的垂直平分线，已知Q与Q'关于折痕m对称，因此作点P关于直线m的对称点即可得到P'。
任务二：折叠使边PK与l₄重合，说明折痕l₅是PK与l₄夹角的角平分线，作该角的角平分线即可得到l₅。
（2）首先根据三等分线的性质求出每个等分角的度数，再结合l₂与PK平行的特点，利用平行线同位角相等的性质即可求出l₂与l₄相交所成的锐角度数。
【解析】
（1）任务一：根据折叠的轴对称性质，点P和对应点P'关于折痕m对称，用尺规作点P关于直线m的对称点，即为所求的P'。
任务二：由折叠操作要求可知，折痕l₅是∠KPl₄的角平分线，用尺规作∠KPl₄的角平分线，即为所求的l₅。
（2）
∵l₄和l₅是锐角α的三等分线，α=75°
∴每个等分角的度数为$75°÷3=25°$
∴l₄与底边PK的夹角为$2×25°=50°$
又
∵l₂是水平折痕，PK为正方形的水平边，
∴$l_2// PK$
根据平行线同位角相等的性质，l₂与l₄相交所成的锐角等于l₄与PK的夹角，即该锐角为$50°$。
【答案】
（1）任务一：如答图20，点$P'$为所求
任务二：如答图21，折痕$l_5$为所求
（2）50
【知识点】
折叠的性质；尺规作图；平行线的性质
【点评】
本题结合折纸操作考查轴对称性质、尺规作图和角度计算，解题核心是理解折叠的轴对称特征，将文字操作步骤和图形对应结合分析，能有效考查学生的动手操作能力和几何分析能力。
【难度系数】
0.6
