12. (2023·天府新区)如图,在平面直角坐标系中,A是x轴上任意一点,$BC// x$轴,分别交$y= \frac{2}{x}(x＞0)$,$y= \frac{k}{x}(x＜0)$的图象于B,C两点。若$\triangle ABC$的面积是3,则k的值为____。

-4

13. (2025·简阳)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD对角线的交点为坐标原点O,点$B(m,2m)$,D在反比例函数$y= \frac{2}{x}$的图象上,点A,C在x轴上,则矩形ABCD的面积为____。

$ 4\sqrt{5} $

14. (2025·凉山州)如图,正比例函数$y_1= \frac{1}{2}x的图象与反比例函数y_2= \frac{k}{x}(x＞0)的图象交于点A(m,2)$。
(1)求反比例函数的解析式；
(2)把直线$y_1= \frac{1}{2}x$向上平移3个单位长度与$y_2= \frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点B,连接AB,OB,求$\triangle AOB$的面积。

[解](1)∵点$ A(m,2) $在正比例函数$ y_1 = \frac{1}{2}x $的图象上，∴$ 2 = \frac{1}{2}m $，解得$ m = 4 $，∴$ A(4,2) $。∵点$ A(4,2) $在反比例函数$ y_2 = \frac{k}{x} $的图象上，∴$ k = 8 $，∴该反比例函数的解析式为$ y_2 = \frac{8}{x} $。

(2)把直线$ y_1 = \frac{1}{2}x $向上平移 3 个单位长度得到直线$ y = \frac{1}{2}x + 3 $。设直线$ y = \frac{1}{2}x + 3 $与$ y $轴的交点坐标为$ D(0,3) $，连接$ AD $。由题意得$ BD // AO $，∴$ S_{\triangle AOB} = S_{\triangle ADO} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 $。

15. (2024·泸州)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数$y= kx+b$的图象与x轴交于点$A(-2,0)$,与反比例函数$y= \frac{a}{x}的图象交于点B(2,3)$。
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)直线$x= m(m＞2)与反比例函数y= \frac{a}{x}(x＞0)和y= -\frac{2}{x}(x＞0)$的图象分别交于点C,D,且$S_{\triangle OBC}= 2S_{\triangle OCD}$,求点C的坐标。

[解](1)将点$ A $和点$ B $的坐标代入一次函数解析式，得

$ \begin{cases} -2k + b = 0 \\ 2k + b = 3 \end{cases} $，解得$ \begin{cases} k = \frac{3}{4} \\ b = \frac{3}{2} \end{cases} $，∴一次函数的解析式为$ y = \frac{3}{4}x + \frac{3}{2} $。将点$ B $的坐标代入反比例函数解析式，得$ a = 2 \times 3 = 6 $，∴反比例函数的解析式为$ y = \frac{6}{x} $。
(2)将$ x = m $分别代入$ y = \frac{6}{x} $和$ y = -\frac{2}{x} $，得点$ C $的坐标为$ (m,\frac{6}{m}) $，点$ D $的坐标为$ (m,-\frac{2}{m}) $，∴$ S_{\triangle COD} = \frac{1}{2}[\frac{6}{m} - (-\frac{2}{m})] \cdot m = 4 $。又∵$ S_{\triangle OBC} = 2S_{\triangle COD} $，∴$ S_{\triangle OBC} = 8 $。如图，令直线$ CD $与$ x $轴的交点为$ M $，过点$ B $作$ x $轴的垂线，垂足为$ N $。∵$ S_{\triangle BON} + S_{梯形BNMC} = S_{\triangle BOC} + S_{\triangle COM} $，且$ S_{\triangle BON} = S_{\triangle COM} $，∴$ S_{梯形BNMC} = S_{\triangle BOC} = 8 $，∴$ \frac{(\frac{6}{m} + 3) \times (m - 2)}{2} = 8 $，解得$ m_1 = 6 $，$ m_2 = -\frac{2}{3} $。又∵$ m ＞ 2 $，∴$ m = 6 $，∴点$ C $的坐标为$ (6,1) $。