20. 如图,$AB// CD$,$∠1:∠2:∠3 = 1:2:3$,说明$BA平分∠EBF$的道理。

设$\angle1 = x$，则$\angle2 = 2x$，$\angle3 = 3x$。
因为$AB// CD$，所以$\angle2+\angle3 = 180^{\circ}$，即$2x + 3x = 180^{\circ}$，解得$x = 36^{\circ}$。
所以$\angle1 = 36^{\circ}$，$\angle2 = 72^{\circ}$，$\angle EBA=180^{\circ}-\angle2 - \angle1 = 72^{\circ}$。
因为$\angle EBA=\angle2$，所以$BA$平分$\angle EBF$。

21. 在学习完《相交线与平行线》后,同学们对平行线产生了浓厚的兴趣。蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能。

(1)问题情境：如图1,已知$∠CDF + ∠DFE = 180^{\circ}$,$∠C = ∠DAE$。
①问题初探：求证$AD// BC$。
②拓展探究：试问$∠ADF$,$∠AEB与∠DFE$之间满足怎样的数量关系？并说明理由。
(2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图,工作篮底部与支撑平台平行。若$∠1 = 31^{\circ}$,求$∠2 + ∠3$的度数。

$(1)$① 证明见上述解析；②$\angle DFE=\angle ADF+\angle AEB$，理由见上述解析；$(2)$$211^{\circ}$