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1. 在下列函数中，$y$是$x$的反比例函数的是（
A.$y=-3x$
B.$y=\dfrac{2x}{3}$
C.$y=\dfrac{3}{x}$
D.$y=x-1$
C
）A.$y=-3x$
B.$y=\dfrac{2x}{3}$
C.$y=\dfrac{3}{x}$
D.$y=x-1$
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先要明确反比例函数的定义及标准形式，再逐一分析每个选项对应的函数类型，排除不符合反比例函数定义的选项即可得到正确答案。具体思考步骤：1. 回忆反比例函数的标准形式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）；2. 依次判断每个选项的函数是否符合该形式。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做反比例函数。
对各选项逐一分析：
选项A：$y=-3x$是正比例函数，不符合反比例函数形式，排除；
选项B：$y=\dfrac{2x}{3}$是正比例函数，不符合反比例函数形式，排除；
选项C：$y=\dfrac{3}{x}$符合反比例函数的标准形式，其中$k=3\ne0$，是反比例函数；
选项D：$y=x-1$是一次函数，不符合反比例函数形式，排除。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 正比例函数的识别
3. 一次函数的识别
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对不同函数定义的区分，只要熟练掌握反比例函数的标准表达形式，就能快速完成判断，是函数模块的常见基础考题。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确反比例函数的定义及标准形式，再逐一分析每个选项对应的函数类型，排除不符合反比例函数定义的选项即可得到正确答案。具体思考步骤：1. 回忆反比例函数的标准形式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）；2. 依次判断每个选项的函数是否符合该形式。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做反比例函数。
对各选项逐一分析：
选项A：$y=-3x$是正比例函数，不符合反比例函数形式，排除；
选项B：$y=\dfrac{2x}{3}$是正比例函数，不符合反比例函数形式，排除；
选项C：$y=\dfrac{3}{x}$符合反比例函数的标准形式，其中$k=3\ne0$，是反比例函数；
选项D：$y=x-1$是一次函数，不符合反比例函数形式，排除。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 正比例函数的识别
3. 一次函数的识别
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对不同函数定义的区分，只要熟练掌握反比例函数的标准表达形式，就能快速完成判断，是函数模块的常见基础考题。
【难度系数】
0.9
2. 在下列问题中，变量之间不成反比例关系的是 （
A.圆柱的体积为 9 m³，圆柱的底面积与高
B.车间计划加工 1 000 个零件，加工零件的总天数与每天加工的零件个数
C.社团共有 60 名学生，按各组人数相等的要求分组，组数与每组的人数
D.计划用 100 元购买苹果和香蕉两种水果，购买苹果的金额与购买香蕉的金额
D
）A.圆柱的体积为 9 m³，圆柱的底面积与高
B.车间计划加工 1 000 个零件，加工零件的总天数与每天加工的零件个数
C.社团共有 60 名学生，按各组人数相等的要求分组，组数与每组的人数
D.计划用 100 元购买苹果和香蕉两种水果，购买苹果的金额与购买香蕉的金额
答案
2. D
解析
【分析】
要判断两个变量是否成反比例关系，核心依据是反比例关系的定义：若两个相关联的变量的乘积为固定非零常数，则这两个变量成反比例关系。解题时需逐个梳理每个选项中两个变量的等量关系，验证乘积是否为定值，即可找到不成反比例的选项。
【解析】
首先明确反比例关系的判定规则：两个相关联的量，若对应数值的乘积为定值，则二者成反比例关系。
对各选项逐一分析：
A. 圆柱体积公式为$\boldsymbol{V=S· h}$（$S$为底面积，$h$为高），已知$V=9\mathrm{m}^3$，则$S· h=9$（定值），因此底面积和高成反比例关系，不符合题意；
B. 加工零件总个数=每天加工个数×加工总天数，已知总个数为1000，则每天加工个数×加工总天数=1000（定值），因此二者成反比例关系，不符合题意；
C. 社团总人数=每组人数×组数，已知总人数为60，则每组人数×组数=60（定值），因此二者成反比例关系，不符合题意；
D. 购买水果总金额=购买苹果的金额+购买香蕉的金额，已知总金额为100元，即两个变量的和为定值，不是乘积为定值，因此二者不成反比例关系，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例关系的判定
2. 实际问题等量关系分析
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是牢牢抓住反比例关系“乘积为定值”的核心特征，注意区分和为定值、商为定值的情况，不要与反比例的判定条件混淆。
【难度系数】
0.8
要判断两个变量是否成反比例关系，核心依据是反比例关系的定义：若两个相关联的变量的乘积为固定非零常数，则这两个变量成反比例关系。解题时需逐个梳理每个选项中两个变量的等量关系，验证乘积是否为定值，即可找到不成反比例的选项。
【解析】
首先明确反比例关系的判定规则：两个相关联的量，若对应数值的乘积为定值，则二者成反比例关系。
对各选项逐一分析：
A. 圆柱体积公式为$\boldsymbol{V=S· h}$（$S$为底面积，$h$为高），已知$V=9\mathrm{m}^3$，则$S· h=9$（定值），因此底面积和高成反比例关系，不符合题意；
B. 加工零件总个数=每天加工个数×加工总天数，已知总个数为1000，则每天加工个数×加工总天数=1000（定值），因此二者成反比例关系，不符合题意；
C. 社团总人数=每组人数×组数，已知总人数为60，则每组人数×组数=60（定值），因此二者成反比例关系，不符合题意；
D. 购买水果总金额=购买苹果的金额+购买香蕉的金额，已知总金额为100元，即两个变量的和为定值，不是乘积为定值，因此二者不成反比例关系，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例关系的判定
2. 实际问题等量关系分析
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是牢牢抓住反比例关系“乘积为定值”的核心特征，注意区分和为定值、商为定值的情况，不要与反比例的判定条件混淆。
【难度系数】
0.8
3. 已知反比例函数$y=\frac{|a|-2}{x}$，则a的取值范围是（
A.$a≠±2$
B.$a≠-2$
C.$a≠2$
D.$a=±2$
A
）A.$a≠±2$
B.$a≠-2$
C.$a≠2$
D.$a=±2$
答案
3. A
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆反比例函数的定义：反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$），核心要求是比例系数$k$不能为0。本题中比例系数为$|a|-2$，因此只需令$|a|-2≠0$，解这个不等式即可得到$a$的取值范围，注意解绝对值不等式时不要漏掉正负两种情况。
【解析】
根据反比例函数的定义可知，$y=\frac{|a|-2}{x}$是反比例函数的前提是比例系数不为0，即：
$|a|-2≠0$
移项得$|a|≠2$
根据绝对值的性质，解得$a≠2$且$a≠-2$，即$a≠\pm2$。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 绝对值的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的关键是牢记反比例函数中比例系数不能为0的要求，注意解绝对值不等式时不要遗漏负值的情况，避免错选。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆反比例函数的定义：反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$），核心要求是比例系数$k$不能为0。本题中比例系数为$|a|-2$，因此只需令$|a|-2≠0$，解这个不等式即可得到$a$的取值范围，注意解绝对值不等式时不要漏掉正负两种情况。
【解析】
根据反比例函数的定义可知，$y=\frac{|a|-2}{x}$是反比例函数的前提是比例系数不为0，即：
$|a|-2≠0$
移项得$|a|≠2$
根据绝对值的性质，解得$a≠2$且$a≠-2$，即$a≠\pm2$。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 绝对值的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的关键是牢记反比例函数中比例系数不能为0的要求，注意解绝对值不等式时不要遗漏负值的情况，避免错选。
【难度系数】
0.8
4. 已知表中的两个量A，B成反比例关系，则c的值是
4
。答案
4. 4
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆反比例关系的性质：如果两个量成反比例关系，那么这两个量的乘积是固定不变的常数。我们先从表格中找到一组已知的A、B对应值，算出乘积定值，再利用定值和A的另一个已知值，就可以列算式求出c的值。
【解析】
已知A、B成反比例关系，因此A与B的乘积为定值，即$A× B = k$（k为常数，$k≠0$）。
观察表格可得，当A=2时，对应B=6，因此定值$k = 2×6 = 12$。
当A=3时，对应B=c，代入反比例关系可得：
$3× c = 12$
解得：$c = 12÷3 = 4$
【答案】
4
【知识点】
反比例的意义，解一元一次方程
【点评】
本题是反比例性质的基础应用，核心是抓住成反比例的两个量乘积一定这一关键特征，计算难度较低，掌握基本概念即可快速解答。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先回忆反比例关系的性质：如果两个量成反比例关系，那么这两个量的乘积是固定不变的常数。我们先从表格中找到一组已知的A、B对应值，算出乘积定值，再利用定值和A的另一个已知值，就可以列算式求出c的值。
【解析】
已知A、B成反比例关系，因此A与B的乘积为定值，即$A× B = k$（k为常数，$k≠0$）。
观察表格可得，当A=2时，对应B=6，因此定值$k = 2×6 = 12$。
当A=3时，对应B=c，代入反比例关系可得：
$3× c = 12$
解得：$c = 12÷3 = 4$
【答案】
4
【知识点】
反比例的意义，解一元一次方程
【点评】
本题是反比例性质的基础应用，核心是抓住成反比例的两个量乘积一定这一关键特征，计算难度较低，掌握基本概念即可快速解答。
【难度系数】
0.85
5. 若函数$y=(m-2)x^{m^2 -5}$是$y$关于$x$的反比例函数，则$m$的值是
-2
.答案
5. -2
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确反比例函数的定义特征：反比例函数的标准形式为$y=kx^{-1}$（其中k为常数，且$k≠0$），因此本题需要同时满足两个条件：一是x的指数等于-1，二是x的系数不等于0。我们先根据指数的要求列方程求出m的可能取值，再根据系数不为0的要求排除不符合的取值，最终得到正确的m值。
【解析】
根据反比例函数的定义，可得：
1. x的指数满足：$m^2 - 5 = -1$
解方程：$m^2 = 4$，解得$m=2$或$m=-2$
2. x的系数满足：$m - 2 ≠ 0$，即$m ≠ 2$
综上，舍去不符合要求的$m=2$，可得$m=-2$。
【答案】
-2
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 一元二次方程的解法
3. 函数系数限定条件
【点评】
本题是反比例函数定义的典型基础题，解题的关键是牢记反比例函数定义中的两个约束条件，易错点是容易忽略系数不为0的隐含要求，导致多解错误，解题时要注意对求出的参数值进行验证。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要明确反比例函数的定义特征：反比例函数的标准形式为$y=kx^{-1}$（其中k为常数，且$k≠0$），因此本题需要同时满足两个条件：一是x的指数等于-1，二是x的系数不等于0。我们先根据指数的要求列方程求出m的可能取值，再根据系数不为0的要求排除不符合的取值，最终得到正确的m值。
【解析】
根据反比例函数的定义，可得：
1. x的指数满足：$m^2 - 5 = -1$
解方程：$m^2 = 4$，解得$m=2$或$m=-2$
2. x的系数满足：$m - 2 ≠ 0$，即$m ≠ 2$
综上，舍去不符合要求的$m=2$，可得$m=-2$。
【答案】
-2
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 一元二次方程的解法
3. 函数系数限定条件
【点评】
本题是反比例函数定义的典型基础题，解题的关键是牢记反比例函数定义中的两个约束条件，易错点是容易忽略系数不为0的隐含要求，导致多解错误，解题时要注意对求出的参数值进行验证。
【难度系数】
0.7
6. 若$u$与$t$成反比例，且当$u=6$时，$t=\frac{1}{8}$，则$u$关于$t$的函数解析式为
$u=\dfrac{3}{4t}$
。答案
6. $u=\dfrac{3}{4t}$
解析
【分析】
看到题目中“u与t成反比例”的条件，首先回忆反比例函数的定义，反比例函数的一般形式为$ y=\frac{k}{x} $（k为常数，$ k\ne0 $），因此我们可以先设出u关于t的含待定系数k的解析式，再将已知的u=6、$ t=\frac{1}{8} $代入解析式，求出k的值，最后把k代回所设的解析式，就能得到最终的函数关系式。
【解析】
解：
∵u与t成反比例
∴设u关于t的函数解析式为$ u=\frac{k}{t} $（k为常数，$ k\ne0 $）
将$ u=6 $，$ t=\frac{1}{8} $代入上述解析式，得：
$ 6=\frac{k}{\frac{1}{8}} $
解得：$ k=6×\frac{1}{8}=\frac{3}{4} $
将$ k=\frac{3}{4} $代入$ u=\frac{k}{t} $，可得$ u=\frac{\frac{3}{4}}{t}=\frac{3}{4t} $
【答案】
$ u=\dfrac{3}{4t} $
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题属于反比例函数的基础考查题，核心是掌握反比例函数的一般形式，能熟练运用待定系数法代入已知条件求解未知系数，解题思路清晰直接，没有复杂计算。
【难度系数】
0.8
看到题目中“u与t成反比例”的条件，首先回忆反比例函数的定义，反比例函数的一般形式为$ y=\frac{k}{x} $（k为常数，$ k\ne0 $），因此我们可以先设出u关于t的含待定系数k的解析式，再将已知的u=6、$ t=\frac{1}{8} $代入解析式，求出k的值，最后把k代回所设的解析式，就能得到最终的函数关系式。
【解析】
解：
∵u与t成反比例
∴设u关于t的函数解析式为$ u=\frac{k}{t} $（k为常数，$ k\ne0 $）
将$ u=6 $，$ t=\frac{1}{8} $代入上述解析式，得：
$ 6=\frac{k}{\frac{1}{8}} $
解得：$ k=6×\frac{1}{8}=\frac{3}{4} $
将$ k=\frac{3}{4} $代入$ u=\frac{k}{t} $，可得$ u=\frac{\frac{3}{4}}{t}=\frac{3}{4t} $
【答案】
$ u=\dfrac{3}{4t} $
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题属于反比例函数的基础考查题，核心是掌握反比例函数的一般形式，能熟练运用待定系数法代入已知条件求解未知系数，解题思路清晰直接，没有复杂计算。
【难度系数】
0.8
7. 某可变容积的密闭容器内有一定质量的某种气体，当容器的体积V（单位：$\mathrm{m}^3$）变化时，气体的密度$\rho$（单位：$\mathrm{kg/m}^3$）也随之变化。已知$\rho$是$V$的反比例函数，当$V=5\ \mathrm{m}^3$时，$\rho=1.8\ \mathrm{kg/m}^3$。
（1）$\rho$关于$V$的函数解析式为
（2）当$\rho=7.2\ \mathrm{kg/m}^3$时，$V=$
（1）$\rho$关于$V$的函数解析式为
$\rho=\dfrac{9}{V}$
；（2）当$\rho=7.2\ \mathrm{kg/m}^3$时，$V=$
$\dfrac{5}{4}\ \mathrm{m}^3$
。答案
7. (1) $\rho=\dfrac{9}{V}$
(2) $\dfrac{5}{4}\ \mathrm{m}^3$
(2) $\dfrac{5}{4}\ \mathrm{m}^3$
解析
【分析】
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：1. 首先根据“ρ是V的反比例函数”，设出反比例函数的一般形式$\rho=\dfrac{k}{V}$（k为常数，$k≠0$），这是求反比例函数解析式的常用待定系数法；2. 将已知的$V=5$、$\rho=1.8$代入所设解析式，求出常数k的值，即可得到ρ关于V的函数解析式，完成第一问；3. 第二问已知ρ的值求V，只需将$\rho=7.2$代入第一问得到的解析式，解方程即可求出V的数值。
【解析】
（1）设ρ关于V的反比例函数解析式为$\rho=\dfrac{k}{V}$（$k$为常数，$k≠0$）。
将$V=5\ \mathrm{m}^3$，$\rho=1.8\ \mathrm{kg/m}^3$代入解析式，得：
$1.8=\dfrac{k}{5}$
解得$k=1.8×5=9$
因此ρ关于V的函数解析式为$\rho=\dfrac{9}{V}$。
（2）将$\rho=7.2\ \mathrm{kg/m}^3$代入$\rho=\dfrac{9}{V}$，得：
$7.2=\dfrac{9}{V}$
解得$V=\dfrac{9}{7.2}=\dfrac{5}{4}\ \mathrm{m}^3$。
【答案】
(1) $\rho=\dfrac{9}{V}$；(2) $\dfrac{5}{4}\ \mathrm{m}^3$
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式；2. 反比例函数实际应用；3. 反比例函数求值
【点评】
本题是反比例函数跨学科的基础应用题目，核心是掌握待定系数法求函数解析式的步骤，代入数值计算时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.9
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：1. 首先根据“ρ是V的反比例函数”，设出反比例函数的一般形式$\rho=\dfrac{k}{V}$（k为常数，$k≠0$），这是求反比例函数解析式的常用待定系数法；2. 将已知的$V=5$、$\rho=1.8$代入所设解析式，求出常数k的值，即可得到ρ关于V的函数解析式，完成第一问；3. 第二问已知ρ的值求V，只需将$\rho=7.2$代入第一问得到的解析式，解方程即可求出V的数值。
【解析】
（1）设ρ关于V的反比例函数解析式为$\rho=\dfrac{k}{V}$（$k$为常数，$k≠0$）。
将$V=5\ \mathrm{m}^3$，$\rho=1.8\ \mathrm{kg/m}^3$代入解析式，得：
$1.8=\dfrac{k}{5}$
解得$k=1.8×5=9$
因此ρ关于V的函数解析式为$\rho=\dfrac{9}{V}$。
（2）将$\rho=7.2\ \mathrm{kg/m}^3$代入$\rho=\dfrac{9}{V}$，得：
$7.2=\dfrac{9}{V}$
解得$V=\dfrac{9}{7.2}=\dfrac{5}{4}\ \mathrm{m}^3$。
【答案】
(1) $\rho=\dfrac{9}{V}$；(2) $\dfrac{5}{4}\ \mathrm{m}^3$
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式；2. 反比例函数实际应用；3. 反比例函数求值
【点评】
本题是反比例函数跨学科的基础应用题目，核心是掌握待定系数法求函数解析式的步骤，代入数值计算时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.9
8. 已知$y=y_1+y_2$，$y_1$是关于$x$的正比例函数，$y_2$是关于$x$的反比例函数. 当$x=1$时，$y=-1$；当$x=-2$时，$y=-\dfrac{5}{2}$. 求$y$关于$x$的函数解析式.
答案
8. 解 设 $y_1=kx$，$y_2=\dfrac{m}{x}$. 则 $y=kx+\dfrac{m}{x}$.
因为当 $x=1$ 时，$y=-1$；当 $x=-2$ 时，$y=-\dfrac{5}{2}$，所以$\begin{cases}k+m=-1,\\-2k-\dfrac{m}{2}=-\dfrac{5}{2}.\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=2,\\m=-3.\end{cases}$ 所以 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式是$y=2x-\dfrac{3}{x}.$
因为当 $x=1$ 时，$y=-1$；当 $x=-2$ 时，$y=-\dfrac{5}{2}$，所以$\begin{cases}k+m=-1,\\-2k-\dfrac{m}{2}=-\dfrac{5}{2}.\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=2,\\m=-3.\end{cases}$ 所以 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式是$y=2x-\dfrac{3}{x}.$
解析
【分析】
解题时首先根据正比例函数、反比例函数的定义，分别设出$y_1$、$y_2$的含参数的表达式，进而得到$y$关于$x$的含参数的解析式；再将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入解析式，得到关于两个未知参数的二元一次方程组；最后解方程组求出参数的值，将参数回代到解析式中即可得到最终结果。
【解析】
解：设正比例函数$y_1=kx$（$k≠0$），反比例函数$y_2=\dfrac{m}{x}$（$m≠0$），则$y$关于$x$的解析式为$y=kx+\dfrac{m}{x}$。
将$x=1$，$y=-1$和$x=-2$，$y=-\dfrac{5}{2}$分别代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases}k+m=-1\\-2k-\dfrac{m}{2}=-\dfrac{5}{2}\end{cases}$
给第二个方程两边同时乘2消去分母，得：$-4k - m = -5$，
将其与第一个方程相加，得：$-3k=-6$，解得$k=2$，
把$k=2$代入$k+m=-1$，得$2+m=-1$，解得$m=-3$。
将$k=2$，$m=-3$代入$y=kx+\dfrac{m}{x}$即可得到所求函数解析式。
【答案】
$y=2x-\dfrac{3}{x}$
【知识点】
正比例函数的概念；反比例函数的概念；待定系数法求解析式
【点评】
本题是待定系数法求复合函数解析式的典型题型，解题核心是熟练掌握正比例、反比例函数的一般形式，代入已知条件建立方程组时要注意符号运算的准确性，解出参数后可代入原条件验证结果，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据正比例函数、反比例函数的定义，分别设出$y_1$、$y_2$的含参数的表达式，进而得到$y$关于$x$的含参数的解析式；再将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入解析式，得到关于两个未知参数的二元一次方程组；最后解方程组求出参数的值，将参数回代到解析式中即可得到最终结果。
【解析】
解：设正比例函数$y_1=kx$（$k≠0$），反比例函数$y_2=\dfrac{m}{x}$（$m≠0$），则$y$关于$x$的解析式为$y=kx+\dfrac{m}{x}$。
将$x=1$，$y=-1$和$x=-2$，$y=-\dfrac{5}{2}$分别代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases}k+m=-1\\-2k-\dfrac{m}{2}=-\dfrac{5}{2}\end{cases}$
给第二个方程两边同时乘2消去分母，得：$-4k - m = -5$，
将其与第一个方程相加，得：$-3k=-6$，解得$k=2$，
把$k=2$代入$k+m=-1$，得$2+m=-1$，解得$m=-3$。
将$k=2$，$m=-3$代入$y=kx+\dfrac{m}{x}$即可得到所求函数解析式。
【答案】
$y=2x-\dfrac{3}{x}$
【知识点】
正比例函数的概念；反比例函数的概念；待定系数法求解析式
【点评】
本题是待定系数法求复合函数解析式的典型题型，解题核心是熟练掌握正比例、反比例函数的一般形式，代入已知条件建立方程组时要注意符号运算的准确性，解出参数后可代入原条件验证结果，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
