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11.(10分)李老师给学生出了一道题:“当$a=0.35,b=-0.28$时,求$a^3(7-6b)+3a^2b+3a^3+6a^3b - a^2(3b+10a)$的值.”题目出完后,小聪说:“老师给的条件$a=0.35,b=-0.28$是多余的.”小明说:“不给这两个条件,就不能求出结果,所以不是多余的.”你认为他们谁说的有道理?请说明理由.
答案
11. 解:小聪说得有道理.理由如下:原式$=7a^3-6a^3b+3a^2b+3a^3+6a^3b-3a^2b-10a^3=0$,
∴此题的结果与$a,b$的值无关.故小聪说得有道理.
∴此题的结果与$a,b$的值无关.故小聪说得有道理.
解析
【分析】
要判断给出的a、b取值条件是否多余，本质是看整式化简后的结果是否含有字母a、b：若化简结果为不含a、b的常数，说明原式的值与a、b取值无关，条件多余；若仍含a、b，则条件有用。解题时先根据单项式乘多项式法则去掉所有括号（注意括号前为负号时，括号内各项要变号），再合并同类项，最后观察化简结果即可判断。
【解析】
解：小聪说得有道理，理由如下：
先对原式去括号：
$\begin{aligned}原式&=7a^3 - 6a^3b + 3a^2b + 3a^3 + 6a^3b - 3a^2b - 10a^3\\&=(7a^3 + 3a^3 - 10a^3) + (-6a^3b + 6a^3b) + (3a^2b - 3a^2b)\\&=0 + 0 + 0\\&=0\end{aligned}$
化简后结果为0，不含有字母a、b，说明原式的值与a、b的取值无关，因此老师给出的条件是多余的。
【答案】
小聪说得有道理，原式化简后结果为0，与a、b的取值无关，故给出的$a=0.35,b=-0.28$是多余条件。
【知识点】
单项式乘多项式、合并同类项、整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的常见题型，核心考查整式的化简能力，解题时无需直接代入数值计算，通过化简判断结果与字母取值的相关性即可，能有效考查学生对整式运算法则的掌握程度。
【难度系数】
0.7
要判断给出的a、b取值条件是否多余，本质是看整式化简后的结果是否含有字母a、b：若化简结果为不含a、b的常数，说明原式的值与a、b取值无关，条件多余；若仍含a、b，则条件有用。解题时先根据单项式乘多项式法则去掉所有括号（注意括号前为负号时，括号内各项要变号），再合并同类项，最后观察化简结果即可判断。
【解析】
解：小聪说得有道理，理由如下：
先对原式去括号：
$\begin{aligned}原式&=7a^3 - 6a^3b + 3a^2b + 3a^3 + 6a^3b - 3a^2b - 10a^3\\&=(7a^3 + 3a^3 - 10a^3) + (-6a^3b + 6a^3b) + (3a^2b - 3a^2b)\\&=0 + 0 + 0\\&=0\end{aligned}$
化简后结果为0，不含有字母a、b，说明原式的值与a、b的取值无关，因此老师给出的条件是多余的。
【答案】
小聪说得有道理，原式化简后结果为0，与a、b的取值无关，故给出的$a=0.35,b=-0.28$是多余条件。
【知识点】
单项式乘多项式、合并同类项、整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的常见题型，核心考查整式的化简能力，解题时无需直接代入数值计算，通过化简判断结果与字母取值的相关性即可，能有效考查学生对整式运算法则的掌握程度。
【难度系数】
0.7
12.(14分) 生产生活情境 如图，某景区准备在一块边长为20 m的大正方形花园中间修建一个小正方形休闲场所，要求修建四条等宽的长方形小路连接两个正方形的四边.若小路的长是宽的3倍，且小路的宽度为x m.
(1)求花草种植区域(阴影部分)的面积S；
(用含x的式子表示)
(2)当$x^2 -5x +3=0$，求S的值.
(1)求花草种植区域(阴影部分)的面积S；
(用含x的式子表示)
(2)当$x^2 -5x +3=0$，求S的值.
答案
12. 解:(1)$S=4×3x(20-3x-x)=-48x^2+240x$.(2)$∵x^2-5x+3=0,∴x^2=5x-3.∴S=-48x^2+240x=-48(5x-3)+240x=-240x+144+240x=144$.
解析
【分析】
(1) 求阴影部分面积先观察图形特征：阴影部分是4个完全相同的长方形，每个长方形的长为3x m，结合大正方形边长为20m，可推出每个长方形的宽为(20 - 3x - x)m，先根据长方形面积公式计算单个阴影区域的面积，再乘4得到总面积S，最后整理为整式形式即可。
(2) 若直接求解x的取值运算复杂，可先将已知方程变形为$x^2=5x-3$，再把S的表达式中的$x^2$整体替换为$5x-3$，化简后即可消去x得到S的数值。
【解析】
(1) 由题意得，阴影部分为4个全等的长方形，每个长方形的长为3x m，宽为$20 - 3x - x = 20 - 4x$（m）。
则阴影部分总面积：
$\begin{aligned}S &= 4× 3x× (20 - 4x) \\&= 12x(20 - 4x) \\&= -48x^2 + 240x\end{aligned}$
(2) 已知$x^2 -5x +3=0$，移项得$x^2=5x-3$，将其代入S的表达式：
$\begin{aligned}S &= -48x^2 + 240x \\&= -48(5x - 3) + 240x \\&= -240x + 144 + 240x \\&= 144\end{aligned}$
【答案】
(1) $S=-48x^2+240x$
(2) $144$
【知识点】
列代数式；整式乘法运算；整体代入求值
【点评】
本题结合生活实际场景命题，既考查了结合几何图形特征列代数式的能力，又考查了整式运算和整体代入的解题技巧，运用整体代入法可避免求解一元二次方程，简化计算过程，是代数求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
(1) 求阴影部分面积先观察图形特征：阴影部分是4个完全相同的长方形，每个长方形的长为3x m，结合大正方形边长为20m，可推出每个长方形的宽为(20 - 3x - x)m，先根据长方形面积公式计算单个阴影区域的面积，再乘4得到总面积S，最后整理为整式形式即可。
(2) 若直接求解x的取值运算复杂，可先将已知方程变形为$x^2=5x-3$，再把S的表达式中的$x^2$整体替换为$5x-3$，化简后即可消去x得到S的数值。
【解析】
(1) 由题意得，阴影部分为4个全等的长方形，每个长方形的长为3x m，宽为$20 - 3x - x = 20 - 4x$（m）。
则阴影部分总面积：
$\begin{aligned}S &= 4× 3x× (20 - 4x) \\&= 12x(20 - 4x) \\&= -48x^2 + 240x\end{aligned}$
(2) 已知$x^2 -5x +3=0$，移项得$x^2=5x-3$，将其代入S的表达式：
$\begin{aligned}S &= -48x^2 + 240x \\&= -48(5x - 3) + 240x \\&= -240x + 144 + 240x \\&= 144\end{aligned}$
【答案】
(1) $S=-48x^2+240x$
(2) $144$
【知识点】
列代数式；整式乘法运算；整体代入求值
【点评】
本题结合生活实际场景命题，既考查了结合几何图形特征列代数式的能力，又考查了整式运算和整体代入的解题技巧，运用整体代入法可避免求解一元二次方程，简化计算过程，是代数求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
13. (10分) 注重阅读理解 阅读下列材料:
已知 $x^2y=3$,求 $2xy(x^5y^2 - 3x^3y - 4x)$的值.
分析:考虑到满足 $x^2y=3$ 的 $x,y$ 的值较多,无法逐一代入求解,故考虑利用整体思想,将 $x^2y=3$ 整体代入求值.
解:原式 $=2x^6y^3 -6x^4y^2 -8x^2y$
$=2(x^2y)^3 -6(x^2y)^2 -8x^2y$
$=2×3^3 -6×3^2 -8×3$
$=-24$.
请你用上述方法解答下列问题:
已知 $ab=3$,求 $(2a^3b^2 -3a^2b +4a)·(-2b)$的值.
已知 $x^2y=3$,求 $2xy(x^5y^2 - 3x^3y - 4x)$的值.
分析:考虑到满足 $x^2y=3$ 的 $x,y$ 的值较多,无法逐一代入求解,故考虑利用整体思想,将 $x^2y=3$ 整体代入求值.
解:原式 $=2x^6y^3 -6x^4y^2 -8x^2y$
$=2(x^2y)^3 -6(x^2y)^2 -8x^2y$
$=2×3^3 -6×3^2 -8×3$
$=-24$.
请你用上述方法解答下列问题:
已知 $ab=3$,求 $(2a^3b^2 -3a^2b +4a)·(-2b)$的值.
答案
13. 解:原式$=-4a^3b^3+6a^2b^2-8ab=-4(ab)^3+6(ab)^2-8ab=-4×3^3+6×3^2-8×3=-108+54-24=-78$.
解析
【分析】
已知$ab=3$，但$a$、$b$的具体取值不唯一，无需逐个代入求解，因此采用整体代入的思想解题。第一步先按照单项式乘多项式的运算规则展开原式，再将展开后的每一项整理为以$ab$为整体的幂的形式，最后把$ab=3$整体代入计算即可得到结果。
【解析】
根据单项式乘多项式的法则展开原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2a^3b^2·(-2b) + (-3a^2b)·(-2b) + 4a·(-2b)\\&=-4a^3b^3 + 6a^2b^2 - 8ab\\&\mathrm{逆用积的乘方变形为含}ab\mathrm{的形式：}\\&=-4(ab)^3 + 6(ab)^2 - 8ab\\&\mathrm{将}ab=3\mathrm{代入得：}\\&=-4×3^3 + 6×3^2 - 8×3\\&=-4×27 + 6×9 - 24\\&=-108 + 54 - 24\\&=-78\end{aligned}$
【答案】
$-78$
【知识点】
单项式乘多项式，整体代入法，代数式求值
【点评】
本题考查整式乘法与整体思想的结合应用，解题时要注意单项式乘多项式运算中的符号处理，代入求值时严格遵循先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
已知$ab=3$，但$a$、$b$的具体取值不唯一，无需逐个代入求解，因此采用整体代入的思想解题。第一步先按照单项式乘多项式的运算规则展开原式，再将展开后的每一项整理为以$ab$为整体的幂的形式，最后把$ab=3$整体代入计算即可得到结果。
【解析】
根据单项式乘多项式的法则展开原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2a^3b^2·(-2b) + (-3a^2b)·(-2b) + 4a·(-2b)\\&=-4a^3b^3 + 6a^2b^2 - 8ab\\&\mathrm{逆用积的乘方变形为含}ab\mathrm{的形式：}\\&=-4(ab)^3 + 6(ab)^2 - 8ab\\&\mathrm{将}ab=3\mathrm{代入得：}\\&=-4×3^3 + 6×3^2 - 8×3\\&=-4×27 + 6×9 - 24\\&=-108 + 54 - 24\\&=-78\end{aligned}$
【答案】
$-78$
【知识点】
单项式乘多项式，整体代入法，代数式求值
【点评】
本题考查整式乘法与整体思想的结合应用，解题时要注意单项式乘多项式运算中的符号处理，代入求值时严格遵循先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
