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9.若二次函数$y=x^2+mx$图象的对称轴是直线$x=3$，则关于$x$的方程$x^2+mx=7$的解为(
A.$x_1=0,x_2=6$
B.$x_1=1,x_2=7$
C.$x_1=1,x_2=-7$
D.$x_1=-1,x_2=7$
D
)。A.$x_1=0,x_2=6$
B.$x_1=1,x_2=7$
C.$x_1=1,x_2=-7$
D.$x_1=-1,x_2=7$
答案
D
解析
【分析】
解题分两步进行：第一步先利用二次函数的对称轴公式求出参数m的值，二次函数$y=ax^2+bx+c$的对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题已知对称轴为$x=3$，代入公式即可求出m；第二步将求出的m代入方程$x^2+mx=7$，转化为标准一元二次方程后求解即可得到答案。
【解析】
1. 求参数m的值：
对于二次函数$y=x^2+mx$，其中$a=1$，$b=m$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，已知对称轴为直线$x=3$，代入得：
$-\frac{m}{2×1}=3$
解得$m=-6$。
2. 解一元二次方程：
把$m=-6$代入方程$x^2+mx=7$，得：
$x^2-6x=7$
移项整理为标准形式：$x^2-6x-7=0$
因式分解得：$(x-7)(x+1)=0$
则$x-7=0$或$x+1=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=7$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数对称轴公式；一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次函数性质与一元二次方程求解的结合类基础题，解题核心是先通过对称轴公式求出未知参数，再代入方程求解，熟练掌握相关基础公式就能快速完成作答。
【难度系数】
0.8
解题分两步进行：第一步先利用二次函数的对称轴公式求出参数m的值，二次函数$y=ax^2+bx+c$的对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题已知对称轴为$x=3$，代入公式即可求出m；第二步将求出的m代入方程$x^2+mx=7$，转化为标准一元二次方程后求解即可得到答案。
【解析】
1. 求参数m的值：
对于二次函数$y=x^2+mx$，其中$a=1$，$b=m$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，已知对称轴为直线$x=3$，代入得：
$-\frac{m}{2×1}=3$
解得$m=-6$。
2. 解一元二次方程：
把$m=-6$代入方程$x^2+mx=7$，得：
$x^2-6x=7$
移项整理为标准形式：$x^2-6x-7=0$
因式分解得：$(x-7)(x+1)=0$
则$x-7=0$或$x+1=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=7$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数对称轴公式；一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次函数性质与一元二次方程求解的结合类基础题，解题核心是先通过对称轴公式求出未知参数，再代入方程求解，熟练掌握相关基础公式就能快速完成作答。
【难度系数】
0.8
10.根据下表中二次函数$y=ax^2+bx+c$的自变量$x$与函数$y$的对应值，可判断出二次函数的图象与$x$轴（
A.只有一个交点
B.有两个交点，且它们分别在$y$轴两侧
C.有两个交点，且它们均在$y$轴同侧
D.无交点
B
）。A.只有一个交点
B.有两个交点，且它们分别在$y$轴两侧
C.有两个交点，且它们均在$y$轴同侧
D.无交点
答案
B
解析
【分析】
首先观察表格数据，发现x=0和x=2对应的函数值相等，根据二次函数的对称性可先确定对称轴，得到顶点坐标；再代入已知点求出二次函数解析式；最后令y=0，求解一元二次方程的根判断根的符号，即可确定图象与x轴交点的位置。
【解析】
1. 确定对称轴：由表格可知，x=0和x=2时y的取值均为$-\frac{7}{4}$，因此二次函数图象的对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$，顶点坐标为$(1,-2)$。
2. 求函数解析式：设二次函数的顶点式为$y=a(x-1)^2-2$，将点$(0,-\frac{7}{4})$代入解析式：
$a(0-1)^2 -2 = -\frac{7}{4}$
解得$a=\frac{1}{4}$，因此二次函数解析式为$y=\frac{1}{4}(x-1)^2 -2$。
3. 判断与x轴交点情况：令y=0，可得方程：
$\frac{1}{4}(x-1)^2 -2 = 0$
化简得$(x-1)^2=8$，解得$x_1=1+2\sqrt{2}$，$x_2=1-2\sqrt{2}$。
显然$x_1＞0$，$x_2＜0$，说明二次函数图象与x轴有两个交点，分别在y轴两侧。
【答案】
B
【知识点】
二次函数对称性；二次函数与一元二次方程；韦达定理
【点评】
本题考查二次函数的性质及与一元二次方程的联系，解题时利用二次函数的对称性可简化计算，也可通过代入一般式求解解析式后判断根的符号确定交点位置，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
首先观察表格数据，发现x=0和x=2对应的函数值相等，根据二次函数的对称性可先确定对称轴，得到顶点坐标；再代入已知点求出二次函数解析式；最后令y=0，求解一元二次方程的根判断根的符号，即可确定图象与x轴交点的位置。
【解析】
1. 确定对称轴：由表格可知，x=0和x=2时y的取值均为$-\frac{7}{4}$，因此二次函数图象的对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$，顶点坐标为$(1,-2)$。
2. 求函数解析式：设二次函数的顶点式为$y=a(x-1)^2-2$，将点$(0,-\frac{7}{4})$代入解析式：
$a(0-1)^2 -2 = -\frac{7}{4}$
解得$a=\frac{1}{4}$，因此二次函数解析式为$y=\frac{1}{4}(x-1)^2 -2$。
3. 判断与x轴交点情况：令y=0，可得方程：
$\frac{1}{4}(x-1)^2 -2 = 0$
化简得$(x-1)^2=8$，解得$x_1=1+2\sqrt{2}$，$x_2=1-2\sqrt{2}$。
显然$x_1＞0$，$x_2＜0$，说明二次函数图象与x轴有两个交点，分别在y轴两侧。
【答案】
B
【知识点】
二次函数对称性；二次函数与一元二次方程；韦达定理
【点评】
本题考查二次函数的性质及与一元二次方程的联系，解题时利用二次函数的对称性可简化计算，也可通过代入一般式求解解析式后判断根的符号确定交点位置，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
11.已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示，有下列4个结论：
①$abc＜0$；②$a−b+c＜0$；③$2a+b=0$；④$b^2−4ac＞0$。
其中正确的结论有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①$abc＜0$；②$a−b+c＜0$；③$2a+b=0$；④$b^2−4ac＞0$。
其中正确的结论有(
D
)。A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
D
解析
【分析】
解题时首先从二次函数图象中提取关键信息：开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置、与x轴交点个数、特殊点x=-1对应的函数值符号，再结合二次函数的系数性质、对称轴公式、函数值代入规则、判别式意义逐个判断4个结论是否正确。
【解析】
解：先由图象提取二次函数的基本性质：
1. 抛物线开口向下，可得$a＜0$；
2. 抛物线对称轴为直线$x=1$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，结合$a＜0$可得$b＞0$；
3. 抛物线与y轴交于正半轴，可得$c＞0$；
4. 抛物线与x轴有2个不同交点；
5. 当$x=-1$时，对应图象上的点在x轴下方，即此时函数值$y＜0$。
逐个验证结论：
①判断$abc$的符号：$a＜0$，$b＞0$，$c＞0$，三个数相乘结果为负，即$abc＜0$，①正确；
②判断$a-b+c$的符号：当$x=-1$时，代入函数解析式得$y=a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a-b+c$，由图象知$x=-1$时$y＜0$，故$a-b+c＜0$，②正确；
③判断$2a+b=0$：由对称轴$-\frac{b}{2a}=1$，等式两边同乘$2a$得$-b=2a$，移项可得$2a+b=0$，③正确；
④判断$b^2-4ac＞0$：抛物线与x轴有两个不同交点，说明对应一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，故判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$，④正确。
综上，4个结论均正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是二次函数图象性质的典型应用题型，需要学生熟练掌握图象特征和系数、函数值、判别式的对应关系，解题的关键是准确从图象中提取有效信息，再结合相关性质逐一验证结论。
【难度系数】
0.7
解题时首先从二次函数图象中提取关键信息：开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置、与x轴交点个数、特殊点x=-1对应的函数值符号，再结合二次函数的系数性质、对称轴公式、函数值代入规则、判别式意义逐个判断4个结论是否正确。
【解析】
解：先由图象提取二次函数的基本性质：
1. 抛物线开口向下，可得$a＜0$；
2. 抛物线对称轴为直线$x=1$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，结合$a＜0$可得$b＞0$；
3. 抛物线与y轴交于正半轴，可得$c＞0$；
4. 抛物线与x轴有2个不同交点；
5. 当$x=-1$时，对应图象上的点在x轴下方，即此时函数值$y＜0$。
逐个验证结论：
①判断$abc$的符号：$a＜0$，$b＞0$，$c＞0$，三个数相乘结果为负，即$abc＜0$，①正确；
②判断$a-b+c$的符号：当$x=-1$时，代入函数解析式得$y=a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a-b+c$，由图象知$x=-1$时$y＜0$，故$a-b+c＜0$，②正确；
③判断$2a+b=0$：由对称轴$-\frac{b}{2a}=1$，等式两边同乘$2a$得$-b=2a$，移项可得$2a+b=0$，③正确；
④判断$b^2-4ac＞0$：抛物线与x轴有两个不同交点，说明对应一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，故判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$，④正确。
综上，4个结论均正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是二次函数图象性质的典型应用题型，需要学生熟练掌握图象特征和系数、函数值、判别式的对应关系，解题的关键是准确从图象中提取有效信息，再结合相关性质逐一验证结论。
【难度系数】
0.7
12.已知关于$x$的二次函数$y=x^2-(2m+3)x+m^2+2$。
(1)若二次函数的图象与$x$轴有两个交点，求实数$m$的取值范围；
(2)设二次函数的图象与$x$轴的交点为$A(x_1,0),B(x_2,0)$，且满足$x_1^2 + x_2^2 =31+|x_1x_2|$，求实数$m$的值。
(1)若二次函数的图象与$x$轴有两个交点，求实数$m$的取值范围；
(2)设二次函数的图象与$x$轴的交点为$A(x_1,0),B(x_2,0)$，且满足$x_1^2 + x_2^2 =31+|x_1x_2|$，求实数$m$的值。
答案
12.解:(1)由题意得$[-(2m+3)]^2-4×1×(m^2+2)＞0$,
解得$m＞-\dfrac{1}{12}$。
(2)由根与系数的关系可知,$x_1+x_2=2m+3$,
$x_1x_2=m^2+2$,
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=31+|x_1x_2|$,
$(2m+3)^2-2×(m^2+2)=31+m^2+2$,
整理得$m^2+12m-28=0$,
解得$m_1=2,m_2=-14$(舍去)。
解得$m＞-\dfrac{1}{12}$。
(2)由根与系数的关系可知,$x_1+x_2=2m+3$,
$x_1x_2=m^2+2$,
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=31+|x_1x_2|$,
$(2m+3)^2-2×(m^2+2)=31+m^2+2$,
整理得$m^2+12m-28=0$,
解得$m_1=2,m_2=-14$(舍去)。
解析
【分析】
(1) 二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的个数一致，有两个交点说明对应一元二次方程有两个不相等的实数根，因此只需令根的判别式Δ＞0，解不等式即可得到m的取值范围。
(2) 已知方程两根的平方和与两根乘积的关系，可先利用根与系数的关系写出两根之和、两根之积的表达式，再将$x_1^2+x_2^2$变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$代入等式；注意到$x_1x_2=m^2+2$恒大于0，可直接去掉绝对值符号，化简后解一元二次方程，最后结合第(1)问的m取值范围舍去不符合条件的解即可。
【解析】
(1) 若二次函数图象与x轴有两个交点，则对应一元二次方程$x^2-(2m+3)x+m^2+2=0$有两个不相等的实数根，根的判别式$\Delta＞0$：
$\begin{aligned}\Delta&=[-(2m+3)]^2 - 4×1×(m^2+2)\\&=4m^2+12m+9 -4m^2 -8\\&=12m+1\end{aligned}$
令$12m+1＞0$，解得$m＞-\dfrac{1}{12}$。
(2) 由根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=2m+3$，$x_1x_2=m^2+2$
∵$m^2≥0$，
∴$x_1x_2=m^2+2≥2＞0$，故$|x_1x_2|=x_1x_2$
又
∵$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，代入题中等式$x_1^2 + x_2^2 =31+|x_1x_2|$得：
$(2m+3)^2 - 2(m^2+2) = 31 + m^2+2$
展开整理：
$\begin{aligned}4m^2+12m+9 -2m^2 -4 &= m^2 +33\\m^2 +12m -28 &=0\end{aligned}$
因式分解得：$(m+14)(m-2)=0$
解得$m_1=2$，$m_2=-14$
结合第(1)问$m＞-\dfrac{1}{12}$的取值范围，$m=-14$不符合要求，舍去。
【答案】
(1) $m＞-\dfrac{1}{12}$；(2) $m=2$
【知识点】
1. 二次函数与x轴交点判定
2. 根的判别式
3. 根与系数的关系
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的常规题型，第一问直接考查根的判别式的基础应用，第二问需要掌握代数式的变形技巧，同时要注意解的取值范围，避免出现增根，整体考查对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的个数一致，有两个交点说明对应一元二次方程有两个不相等的实数根，因此只需令根的判别式Δ＞0，解不等式即可得到m的取值范围。
(2) 已知方程两根的平方和与两根乘积的关系，可先利用根与系数的关系写出两根之和、两根之积的表达式，再将$x_1^2+x_2^2$变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$代入等式；注意到$x_1x_2=m^2+2$恒大于0，可直接去掉绝对值符号，化简后解一元二次方程，最后结合第(1)问的m取值范围舍去不符合条件的解即可。
【解析】
(1) 若二次函数图象与x轴有两个交点，则对应一元二次方程$x^2-(2m+3)x+m^2+2=0$有两个不相等的实数根，根的判别式$\Delta＞0$：
$\begin{aligned}\Delta&=[-(2m+3)]^2 - 4×1×(m^2+2)\\&=4m^2+12m+9 -4m^2 -8\\&=12m+1\end{aligned}$
令$12m+1＞0$，解得$m＞-\dfrac{1}{12}$。
(2) 由根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=2m+3$，$x_1x_2=m^2+2$
∵$m^2≥0$，
∴$x_1x_2=m^2+2≥2＞0$，故$|x_1x_2|=x_1x_2$
又
∵$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，代入题中等式$x_1^2 + x_2^2 =31+|x_1x_2|$得：
$(2m+3)^2 - 2(m^2+2) = 31 + m^2+2$
展开整理：
$\begin{aligned}4m^2+12m+9 -2m^2 -4 &= m^2 +33\\m^2 +12m -28 &=0\end{aligned}$
因式分解得：$(m+14)(m-2)=0$
解得$m_1=2$，$m_2=-14$
结合第(1)问$m＞-\dfrac{1}{12}$的取值范围，$m=-14$不符合要求，舍去。
【答案】
(1) $m＞-\dfrac{1}{12}$；(2) $m=2$
【知识点】
1. 二次函数与x轴交点判定
2. 根的判别式
3. 根与系数的关系
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的常规题型，第一问直接考查根的判别式的基础应用，第二问需要掌握代数式的变形技巧，同时要注意解的取值范围，避免出现增根，整体考查对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
13.某班“数学兴趣小组”对函数$y=x^2 -2|x|$的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整。
(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下表：
其中$m=$
(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分。
(3)观察函数图象，写出两条函数的性质。
；
。
(4)进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有
②方程$x^2 -2|x|=2$有
③关于x的方程$x^2 -2|x|=a$有4个实数根，a的取值范围是
(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下表：
其中$m=$
0
。(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分。
(3)观察函数图象，写出两条函数的性质。
；
。
(4)进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有
3
个交点，所以对应的方程$x^2 -2|x|=0$有3
个实数根；②方程$x^2 -2|x|=2$有
2
个实数根；③关于x的方程$x^2 -2|x|=a$有4个实数根，a的取值范围是
$-1＜a＜0$
。答案
13.解:(1)0
(2)
(3)略。(可从函数的最值、增减性、图象对称性等方面阐述,答案不唯一,合理即可)
(4)①3 3 ②2 ③$-1＜a＜0$
解析
【分析】
各小问解题思路如下：
(1) 函数$y=x^2-2|x|$中$|x|$的取值与$x$的正负无关，可直接代入对应$x$的值计算$m$，也可利用函数关于$y$轴对称的特征，通过对称点的函数值求解。
(2) 该函数为偶函数，图象关于$y$轴对称，根据已画出的一侧图象，沿$y$轴翻折即可得到另一半图象。
(3) 观察图象的对称性、最值、增减性等特征，总结合理性质即可，答案不唯一。
(4) 方程根的个数可转化为对应函数图象的交点个数：① 函数与$x$轴的交点个数就是方程$x^2-2|x|=0$的实根个数；② 方程$x^2-2|x|=2$的根的个数等价于函数$y=x^2-2|x|$和直线$y=2$的交点个数；③ 方程有4个实根等价于函数$y=x^2-2|x|$和直线$y=a$有4个交点，结合图象的最值即可确定$a$的取值范围。
【解析】
(1) 把$x=2$代入函数解析式：$y=2^2-2×|2|=4-4=0$，因此$m=0$。
(2) 函数满足$y(-x)=(-x)^2-2|-x|=x^2-2|x|=y(x)$，图象关于$y$轴对称，将已有图象沿$y$轴翻折得到完整图象：
(3) 可从对称性、最值、增减性等角度作答，示例：①函数图象关于$y$轴对称；②函数的最小值为$-1$（合理即可）。
(4) ① 观察图象，函数与$x$轴交于$(-2,0)、(0,0)、(2,0)$，共3个交点，因此方程$x^2-2|x|=0$有3个实数根；
② 作直线$y=2$，可观察到直线与函数图象共有2个交点，因此方程$x^2-2|x|=2$有2个实数根；
③ 观察图象可知，当直线$y=a$在$y=-1$和$y=0$之间时，与函数图象有4个交点，对应方程有4个实数根，因此$a$的取值范围是$-1＜a＜0$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{0}$
(2)
(3)示例：函数图象关于$\boldsymbol{y}$轴对称；函数的最小值为$\boldsymbol{-1}$（合理即可）
(4)①$\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{3}$；②$\boldsymbol{2}$；③$\boldsymbol{-1＜a＜0}$
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数与一元二次方程；绝对值函数的性质
【点评】
本题将绝对值函数和二次函数性质相结合，核心考查数形结合思想，把方程根的个数问题转化为函数图象交点个数问题是解题的关键，能有效锻炼学生的读图分析能力。
【难度系数】
0.7
各小问解题思路如下：
(1) 函数$y=x^2-2|x|$中$|x|$的取值与$x$的正负无关，可直接代入对应$x$的值计算$m$，也可利用函数关于$y$轴对称的特征，通过对称点的函数值求解。
(2) 该函数为偶函数，图象关于$y$轴对称，根据已画出的一侧图象，沿$y$轴翻折即可得到另一半图象。
(3) 观察图象的对称性、最值、增减性等特征，总结合理性质即可，答案不唯一。
(4) 方程根的个数可转化为对应函数图象的交点个数：① 函数与$x$轴的交点个数就是方程$x^2-2|x|=0$的实根个数；② 方程$x^2-2|x|=2$的根的个数等价于函数$y=x^2-2|x|$和直线$y=2$的交点个数；③ 方程有4个实根等价于函数$y=x^2-2|x|$和直线$y=a$有4个交点，结合图象的最值即可确定$a$的取值范围。
【解析】
(1) 把$x=2$代入函数解析式：$y=2^2-2×|2|=4-4=0$，因此$m=0$。
(2) 函数满足$y(-x)=(-x)^2-2|-x|=x^2-2|x|=y(x)$，图象关于$y$轴对称，将已有图象沿$y$轴翻折得到完整图象：
(3) 可从对称性、最值、增减性等角度作答，示例：①函数图象关于$y$轴对称；②函数的最小值为$-1$（合理即可）。
(4) ① 观察图象，函数与$x$轴交于$(-2,0)、(0,0)、(2,0)$，共3个交点，因此方程$x^2-2|x|=0$有3个实数根；
② 作直线$y=2$，可观察到直线与函数图象共有2个交点，因此方程$x^2-2|x|=2$有2个实数根；
③ 观察图象可知，当直线$y=a$在$y=-1$和$y=0$之间时，与函数图象有4个交点，对应方程有4个实数根，因此$a$的取值范围是$-1＜a＜0$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{0}$
(2)
(3)示例：函数图象关于$\boldsymbol{y}$轴对称；函数的最小值为$\boldsymbol{-1}$（合理即可）
(4)①$\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{3}$；②$\boldsymbol{2}$；③$\boldsymbol{-1＜a＜0}$
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数与一元二次方程；绝对值函数的性质
【点评】
本题将绝对值函数和二次函数性质相结合，核心考查数形结合思想，把方程根的个数问题转化为函数图象交点个数问题是解题的关键，能有效锻炼学生的读图分析能力。
【难度系数】
0.7
