1.(1)若等腰三角形的两边长分别是3 cm和5 cm,则这个等腰三角形的周长是 ()
A.8 cm B.13 cm
C.8 cm或13 cm D.11 cm或13 cm
(2)【T1(1)变式1]一个等腰三角形的两边长分别为3 cm和7 cm,则它的周长为.
(3)【T1(1)变式2]若实数x,y满足$|x-5|+(y-10)^2=0$,则以x,y的值为边长的等腰三角形的周长是.

1.(1) D (2) 17 cm (3) 25

【分析】
解决这类等腰三角形边长求周长的问题，核心思路分两步：第一步先分类讨论已知的两条边哪条是腰、哪条是底，列出所有可能的三边组合；第二步用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证每种组合是否能构成三角形，排除不符合的情况后再计算周长。第(3)题需要先利用非负数的性质求出x、y的取值，再按上述步骤计算即可。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
①当腰长为3cm时，三边长为3cm、3cm、5cm，
∵3+3＞5，满足三边关系，周长=3+3+5=11cm；
②当腰长为5cm时，三边长为5cm、5cm、3cm，
∵3+5＞5，满足三边关系，周长=5+5+3=13cm；
故周长为11cm或13cm。
(2) 分两种情况讨论：
①当腰长为3cm时，三边长为3cm、3cm、7cm，
∵3+3=6＜7，不满足三边关系，舍去；
②当腰长为7cm时，三边长为7cm、7cm、3cm，
∵3+7＞7，满足三边关系，周长=7+7+3=17cm；
故周长为17cm。
(3)
∵|x-5|≥0，(y-10)²≥0，且|x-5|+(y-10)²=0，
∴x-5=0，y-10=0，解得x=5，y=10。
分两种情况讨论：
①当腰长为5时，三边长为5、5、10，
∵5+5=10，不满足三边关系，舍去；
②当腰长为10时，三边长为10、10、5，
∵5+10＞10，满足三边关系，周长=10+10+5=25；
故周长为25。
【答案】
(1)D (2)17 cm (3)25
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；非负数的性质
【点评】
本题是等腰三角形周长计算的基础题型，重点考查分类讨论思想，易错点是忽略对三边关系的验证，导致多算错误的周长结果，解题时要养成分类后先验证再计算的习惯。
【难度系数】
0.7

2.等腰三角形的周长为20 cm，一边长为6 cm，
则底边长为。

2. 6或8 cm

【分析】
已知等腰三角形周长和一边长求底边长时，由于未明确给出的边长是腰还是底，因此需分两种情况讨论：①已知边长为腰长；②已知边长为底边长。两种情况计算出边长后，都要结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证是否能构成三角形，排除不符合的情况即可得到底边长。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若6cm为腰长：设底边长为$x\mathrm{cm}$，根据周长公式可得：
$6+6+x=20$，解得$x=8$。
此时三边长为6cm、6cm、8cm，满足$6+6＞8$，符合三角形三边关系，底边长为8cm。
2. 若6cm为底边长：设腰长为$y\mathrm{cm}$，根据周长公式可得：
$2y+6=20$，解得$y=7$。
此时三边长为7cm、7cm、6cm，满足$7+7＞6$，符合三角形三边关系，底边长为6cm。
综上，底边长为6或8cm。
【答案】
6或8 cm
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论
【点评】
本题考查等腰三角形边长相关计算，解题的核心是要树立分类讨论的意识，同时牢记求解后需验证三边是否满足构成三角形的条件，避免漏解或出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.7

3.(1)等腰三角形的一个内角为$110°$,则另外两个内角的度数是.
(2)【T3(1)变式】等腰三角形的一个外角为$100°$,则此等腰三角形的顶角的度数是.

3.(1) 35°,35° (2) 80°或20°

【分析】
(1) 解决本题首先要明确等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和为180°。已知一个内角为110°，首先判断该角的类型：110°是钝角，若作为底角，两个底角之和会超过180°，不符合三角形内角和定理，因此110°只能是顶角，再根据底角相等计算剩余两个内角的度数即可。
(2) 首先根据外角与相邻内角互补，求出外角对应的内角度数为80°。接下来分两种情况讨论：一是该内角为等腰三角形的顶角，直接得到顶角度数；二是该内角为等腰三角形的底角，再根据内角和定理计算顶角的度数，两种情况均符合三角形内角和规则，因此有两个结果。
【解析】
(1) 等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°。
已知一个内角为110°，若该角为底角，则两底角之和为$110°×2=220°＞180°$，不符合内角和定理，因此110°为顶角。
则另外两个底角的度数均为：$(180°-110°)÷2=35°$。
(2) 等腰三角形的一个外角为100°，则与该外角相邻的内角度数为$180°-100°=80°$，分两种情况讨论：
① 当80°为等腰三角形的顶角时，顶角为80°，符合题意；
② 当80°为等腰三角形的底角时，顶角的度数为$180°-2×80°=20°$，符合题意。
因此顶角的度数为80°或20°。
【答案】
(1) $35°,35°$ (2) $80°$或$20°$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、分类讨论思想
【点评】
本题重点考查等腰三角形性质的灵活应用，解题时要注意结合三角形内角和定理对已知角的类型（顶角/底角）进行分类讨论，同时要关注钝角不能作为等腰三角形底角的隐含限制条件，避免出现错解或漏解。
【难度系数】
0.7

4.(1)等腰三角形有一个角为$52°$,它的一条腰上的高与另一条腰的夹角是.
(2)【T4(1)变式】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是$48°$,则这个等腰三角形的底角的度数为.

4.(1) 38°或14° (2) 69°或21°

【分析】
这两道题都需要用到分类讨论思想求解：①等腰三角形的已知角未明确是顶角还是底角时，要分情况讨论；②等腰三角形腰上的高的位置不唯一，锐角等腰三角形的高在内部，钝角等腰三角形的高在外部，需分情况计算避免漏解。第(1)题先分52°是顶角、52°是底角两种情况，结合高形成的直角三角形的角度关系计算夹角；第(2)题先分高在三角形内部、外部两种情况求出顶角，再结合等腰三角形两底角相等计算底角度数。
【解析】
(1)分两种情况讨论：
① 当已知的$52°$为等腰三角形的顶角时：
腰上的高在三角形内部，高与腰形成直角，因此高与另一腰的夹角为$90° - 52° = 38°$；
② 当已知的$52°$为等腰三角形的底角时：
先求顶角度数：$180° - 2×52° = 76°$，
此时高与另一腰的夹角为$90° - 76° = 14°$；
综上，夹角为$38°$或$14°$。
(2)分两种情况讨论：
① 当等腰三角形为锐角三角形，腰上的高在三角形内部时：
顶角度数为$90° - 48° = 42°$，
等腰三角形两底角相等，因此底角度数为$\frac{180° - 42°}{2} = 69°$；
② 当等腰三角形为钝角三角形，腰上的高在三角形外部时：
顶角的邻补角度数为$90° - 48° = 42°$，因此顶角度数为$180° - 42° = 138°$，
底角度数为$\frac{180° - 138°}{2} = 21°$；
综上，底角为$69°$或$21°$。
【答案】
(1) $38°$或$14°$；(2) $69°$或$21°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
此类题型是等腰三角形角度计算的典型易错题，解题核心是明确不确定条件的所有可能性，全面分类讨论，避免因忽略钝角三角形高在外部的情况导致漏解。
【难度系数】
0.6

5. 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AB$的垂直平分线与$AC$所在的直线相交成$50°$的角，则底角的度数是________。

70°或20°

【分析】
本题是等腰三角形结合垂直平分线的角度计算问题，解题核心是注意“AB的垂直平分线与AC所在的直线相交”中“直线”的表述，需要分两种情况讨论：①当等腰三角形ABC的顶角为锐角时，AB的垂直平分线与AC边（线段）相交；②当等腰三角形ABC的顶角为钝角时，AB的垂直平分线与CA的延长线相交。两种情况分别先求出顶角的度数，再利用等腰三角形两底角相等的性质计算底角即可。
【解析】
分两种情况讨论：
情况1：当∠A为锐角时，设AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，
则∠ADE=90°，已知∠AED=50°，
在Rt△ADE中，∠A=90°-∠AED=90°-50°=40°，
∵AB=AC，
∴底角∠B=∠C=(180°-∠A)÷2=(180°-40°)÷2=70°；
情况2：当∠BAC为钝角时，设AB的垂直平分线交AB于点D，交CA的延长线于点E，
则∠ADE=90°，已知∠AED=50°，
在Rt△ADE中，∠DAE=90°-∠AED=90°-50°=40°，
∴顶角∠BAC=180°-∠DAE=180°-40°=140°，
∵AB=AC，
∴底角∠B=∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-140°)÷2=20°。
综上，底角的度数为70°或20°。
【答案】
70°或20°
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略“直线”的限定，只考虑垂直平分线与AC线段相交的情况，造成漏解。解题时要注意结合图形，全面考虑所有可能的相交情况，避免思维定式导致的错误。
【难度系数】
0.5

【例】如图，平面直角坐标系中，点A(2,1).
(1) 点B是x轴上一点，若△AOB是以OA为腰的等腰三角形，则符合条件的点B有个；
(2) 点B是x轴上一点，若△AOB是以OA为底的等腰三角形，则符合条件的点B有个；
(3) 点B在坐标轴上，若△AOB是以OA为腰的等腰三角形，则符合条件的点B有个；
(4) 点B在坐标轴上，若△AOB是等腰三角形，则符合条件的点B有个.

(1) 3 (2) 1 (3) 6 (4) 8

【分析】
解决等腰三角形存在性问题，核心是采用“两圆一线”法分类讨论，同时需排除三点共线无法构成三角形的情况：
1. 先明确OA为已知边，长度可由勾股定理得$OA=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$；
2. 分类标准：若以OA为腰，分两种情况：①以O为顶角顶点（$OA=OB$），即画以O为圆心、OA为半径的圆，找与指定轴的交点；②以A为顶角顶点（$AO=AB$），即画以A为圆心、OA为半径的圆，找与指定轴的交点；若以OA为底，即$BO=BA$，作OA的垂直平分线，找与指定轴的交点。
3. 各小问按上述分类，结合B点的位置限制数出有效点即可。
【解析】
(1) B在x轴上，OA为腰：
① 以O为圆心OA为半径画圆，与x轴交于2个点；
② 以A为圆心OA为半径画圆，与x轴交于1个非原点的点；
无重复、共线情况，共$2+1=3$个点。
(2) B在x轴上，OA为底：
作OA的垂直平分线，与x轴仅有1个交点，故共1个点。
(3) B在坐标轴上，OA为腰：
① 以O为圆心OA为半径画圆，与x轴、y轴共交于4个点；
② 以A为圆心OA为半径画圆，与x轴、y轴共交于2个非原点的点（原点三点共线舍去）；
无重复、共线情况，共$4+2=6$个点。
(4) B在坐标轴上，△AOB为等腰三角形：
OA为腰的情况共6个点，OA为底的情况：作OA的垂直平分线，与x轴、y轴各交于1个点，共2个点；无重复、共线情况，合计$6+2=8$个点。
【答案】
(1) 3；(2) 1；(3) 6；(4) 8
【知识点】
等腰三角形判定；垂直平分线的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形存在性的典型题型，解题关键是确定清晰的分类标准，避免漏算交点或多算三点共线的无效情况，通过“两圆一线”画图找交点可有效降低错误率。
【难度系数】
0.6

6. 在平面直角坐标系中，$A(2,2),B(4,0)$.若在坐标轴上取点$C$，使$△ ABC$是等腰三角形，则满足条件的点$C$的个数是（）

A.5
B.6
C.7
D.8

6. A

【分析】
要解决在坐标轴上找点C使△ABC为等腰三角形的问题，需按等腰三角形腰的情况分类讨论，共三类：1. AB为腰，A为顶角顶点；2. AB为腰，B为顶角顶点；3. AB为底，C为顶角顶点。每类结合点C在坐标轴（x轴、y轴）的条件求解，最后排除不能构成三角形的重合、共线情况，统计总个数。
【解析】
首先计算AB的长度：由A(2,2)，B(4,0)，根据两点间距离公式，$AB=\sqrt{(4-2)^2+(0-2)^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$。
分三类讨论：
1. 当AB=AC，即A为顶角顶点时
C在以A为圆心、AB长为半径的圆上，且在坐标轴上：
① 若C在x轴上，设$C(x,0)$，则$\sqrt{(x-2)^2+(0-2)^2}=2\sqrt{2}$，平方得$(x-2)^2+4=8$，解得$x=0$或$x=4$。$x=4$对应点B，不能构成三角形，舍去，得$C_1(0,0)$。
② 若C在y轴上，设$C(0,y)$，则$\sqrt{(0-2)^2+(y-2)^2}=2\sqrt{2}$，平方得$4+(y-2)^2=8$，解得$y=0$或$y=4$。$y=0$即$C_1(0,0)$，得新点$C_2(0,4)$。
本类共2个符合条件的点。
2. 当AB=BC，即B为顶角顶点时
C在以B为圆心、AB长为半径的圆上，且在坐标轴上：
① 若C在x轴上，设$C(x,0)$，则$|x-4|=2\sqrt{2}$，解得$x=4+2\sqrt{2}$或$x=4-2\sqrt{2}$，均不与A、B重合，得$C_3(4+2\sqrt{2},0)$、$C_4(4-2\sqrt{2},0)$。
② 若C在y轴上，设$C(0,y)$，则$\sqrt{(0-4)^2+(y-0)^2}=2\sqrt{2}$，平方得$16+y^2=8$，无实数解，故y轴上无符合条件的点。
本类共2个符合条件的点。
3. 当AC=BC，即C为顶角顶点时
C在AB的垂直平分线上，且在坐标轴上。先求AB的垂直平分线：
AB中点坐标为$(\frac{2+4}{2},\frac{2+0}{2})=(3,1)$，AB的斜率为$\frac{0-2}{4-2}=-1$，故垂直平分线的斜率为1，方程为$y-1=1×(x-3)$，即$y=x-2$。
① 与x轴交点：令$y=0$，得$x=2$，即$C_5(2,0)$。
② 与y轴交点：令$x=0$，得$y=-2$，即$C_6(0,-2)$。
两点均不与A、B共线，符合条件，本类共2个符合条件的点。
综上，符合条件的点C共有$2+2+2=6$个。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形判定、两点间距离公式、分类讨论思想
【点评】
本题考查等腰三角形的分类讨论应用，解题核心是明确未指定腰和底的等腰三角形需分三种情况逐一分析，求解后要注意排除重合、共线等不能构成三角形的情况，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6

7.(2024·信阳期末)在如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A,B是两格点,若C也是图中的格点,则使得$△ ABC$是以AB为一腰的等腰三角形的点C的个数是个.

7. 4

【分析】
要解决这个问题，首先明确题目要求$△ ABC$是以$AB$为腰的等腰三角形，需分两类讨论：①以$A$为顶点，$AB$、$AC$为腰；②以$B$为顶点，$AB$、$BC$为腰。先通过勾股定理计算$AB$的长度，再分别以$A$、$B$为圆心，$AB$长为半径画圆，找到圆与网格格点的交点（排除与$A$、$B$重合的点），最后统计符合条件的点的总数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，先计算$AB$的长度：
由图可知，点$A$到点$B$的水平距离为2，竖直距离为2，根据勾股定理得：
$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
分两种情况讨论：
1. 当$AB=AC$时，以$A$为圆心，$AB$长为半径画圆，与网格格点的交点（除点$B$外）有3个，均满足$AC=AB$；
2. 当$AB=BC$时，以$B$为圆心，$AB$长为半径画圆，与网格格点的交点（除点$A$外），排除超出网格范围的点后，剩余1个符合要求的点。
两种情况无重复点，因此符合条件的点$C$共有$3+1=4$个。
【答案】
4
【知识点】
等腰三角形的判定；分类讨论思想；勾股定理
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，解题时需注意按照腰的归属分类，同时要结合网格范围筛选符合条件的点，避免漏解或多算。
【难度系数】
0.6