1. (2025·江苏苏州期末)不等式$\frac{x - 2}{4} ≤ \frac{1}{2}$的所有正整数解的积为()

A.6
B.24
C.10
D.2

1. B

2. (教材 P128 习题 3 变式)已知 x 满足不等式$\frac{x - 2}{2} + 1 ≤ \frac{x + 1}{3}$，且 x 是正整数，则 x 的所有可能取值为()

A.0，1
B.0，1，2
C.1，2
D.1

2. C 解析:解不等式$\frac {x-2}{2}+1≤\frac {x+1}{3}$,得$x≤2$.因为x 是正整数,所以 x 的所有可能取值为1,2.

3. 已知$x = 3$是关于 x 的不等式$3x - \frac{ax + 2}{2} ＞ \frac{2x}{3}$的解，则 a 的取值范围为。

3. $a＜4$

4. 当 a时，关于 x 的不等式$a(x - 1) ＞ x + 1 - 2a$的解集为$x ＜ -1$。

4. $＜1$ 解析:原不等式去括号,得$ax-a＞x+1-2a$.移项,得$ax-x＞1-2a+a$.合并同类项,得$(a-1)x＞1-a$.因为该不等式的解集为$x＜-1$,所以$a-1＜0$,解得$a＜1.$

5. （2024·四川眉山）解不等式：$\frac{x + 1}{3} - 1 ≤ \frac{2 - x}{2}$，并把它的解集在数轴上表示出来。

5. 不等式的解集为$x≤2$.数轴表示如下:

6. 若代数式$\frac{2(x - 3)}{3} - \frac{5x - 4}{6}$的值始终不大于$-1$，则 x 的取值范围是()

A.$x ≥ -2$
B.$x ≥ -10$
C.$x ≥ -7$
D.$x ≤ -2$

6. A

7. 已知有理数 x，y 满足$3x + 4y = 2$，$x - y ＜ 1$，则下列结论正确的是()

A.$x = \frac{6}{7}$
B.$y = -\frac{1}{7}$
C.$x ＞ \frac{6}{7}$
D.$y ＞ -\frac{1}{7}$

7. D 解析:因为$3x+4y=2$,所以$x=\frac {2}{3}-\frac {4}{3}y,y=$$\frac {1}{2}-\frac {3}{4}x$.把它们分别代入$x-y＜1$,得$\frac {2}{3}-\frac {4}{3}y-$$y＜1$①,$x-\frac {1}{2}+\frac {3}{4}x＜1$②.由①②解得$y＞-\frac {1}{7},$$x＜\frac {6}{7}.$

8. 若关于 x 的方程$x - (2x - a) = 3$的解是正数，则 a 的取值范围是。

8. $a＞3$

9. (2024·内蒙古呼和浩特)关于 x 的不等式$\frac{2x - 1}{3} - 1 ＞ \frac{x}{2}$的解集是。若这个不等式的任意一个解都比关于 x 的不等式$2x - 1 ≤ x + m$的解大，则 m 的取值范围是。

9. $x＞8$ $m≤7$ 解析:解不等式$\frac {2x-1}{3}-1＞\frac {x}{2}$,得$x＞8$.解不等式$2x-1≤x+m$,得$x≤m+1$.由题意,得$m+1≤8$,解得$m≤7$.故 m 的取值范围是$m≤7.$

10. 已知：$\frac{1}{1 × 2} = 1 - \frac{1}{2}$；$\frac{1}{2 × 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$；$\frac{1}{3 × 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$；$\frac{1}{4 × 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$；$···$；$\frac{1}{(n - 1) × n} = \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}$。请根据上式中包含的规律，求关于 x 的不等式$\frac{1}{2}x + \frac{1}{6}x + \frac{1}{12}x + ··· + \frac{1}{(n - 1)n}x ＞ n - 1$的解集。

10. 由题意,得$\frac {1}{2}x+\frac {1}{6}x+\frac {1}{12}x+... +\frac {1}{(n-1)n}x=$$(1-\frac {1}{2}+\frac {1}{2}-\frac {1}{3}+\frac {1}{3}-\frac {1}{4}+... +\frac {1}{n-1}-\frac {1}{n})x=$$(1-\frac {1}{n})x$,所以原不等式可化为$(1-\frac {1}{n})x＞n-1$,即$\frac {n-1}{n}x＞n-1$.因为$n＞1$,所以$\frac {n-1}{n}＞0$,所以$x＞n.$

11. 已知关于 x 的不等式$(2m - n)x + m - 5n ＞ 0$的解集为$x ＜ 1$，则关于 x 的不等式$mx ＞ n$的解集为。

11. $x＜\frac {1}{2}$ 解析:由$(2m-n)x+m-5n＞0$,得$(2m-n)x＞5n-m$.因为该不等式的解集为$x＜1$,所以$\frac {5n-m}{2m-n}=1$且$2m-n＜0$.由$\frac {5n-m}{2m-n}=1$,得$n=\frac {m}{2}$,所以不等式$2m-n＜0$即为$2m-\frac {m}{2}＜0$,所以$m＜0$,所以不等式$mx＞n$的解集为$x＜\frac {n}{m},$即$x＜\frac {1}{2}.$

12. 新素养 运算能力 已知关于 x，y 的二元一次方程组$\begin{cases}2x - y = 3k - 2, \\ 2x + y = 1 - k\end{cases}$（k 为常数）。
（1）求该二元一次方程组的解；（用含 k 的代数式表示）
（2）若该方程组的解 x，y 满足$x - y ＞ 5$，求 k 的取值范围；
（3）若$(4x + 2)^{2y - 1} = 1$，求 k 的值；
（4）若$k ≤ 1$，设$m = 2x - 3y$且 m 为正整数，求 m 的值。

12. (1)$\{\begin{array}{l} 2x-y=3k-2①,\\ 2x+y=1-k②.\end{array} $①+②,得$4x=2k-1$,解得$x=\frac {2k-1}{4}$;②-①,得$2y=3-4k$,解得$y=$$\frac {3-4k}{2}$.故该二元一次方程组的解为$\{\begin{array}{l} x=\frac {2k-1}{4},\\ y=\frac {3-4k}{2}.\end{array} $
(2)因为该方程组的解 x,y 满足$x-y＞5$,所以$\frac {2k-1}{4}-\frac {3-4k}{2}＞5$,解得$k＞\frac {27}{10}$.故 k 的取值范围为$k＞\frac {27}{10}.$
(3)由(1),得$\{\begin{array}{l} x=\frac {2k-1}{4},\\ y=\frac {3-4k}{2},\end{array} $则$4x+2=2k+1,$$2y-1=2-4k$.因为$(4x+2)^{2y-1}=1$,即$(2k+1)^{2-4k}=1$,所以分类讨论如下:① 当$2-4k=0$,即$k=\frac {1}{2}$时,$(2k+1)^{2-4k}=2^{0}=1$,符合题意;② 当$2k+1=1$,即$k=0$时,$(2k+1)^{2-4k}=1^{2}=1$,符合题意;③ 当$2k+1=-1$,即$k=-1$时,$(2k+1)^{2-4k}=$$(-1)^{6}=1$,符合题意.综上所述,k 的值为$\frac {1}{2}$或0或-1.
(4)由(1),得$\{\begin{array}{l} x=\frac {2k-1}{4},\\ y=\frac {3-4k}{2},\end{array} $所以$m=2x-3y=$$\frac {2k-1}{2}-\frac {3(3-4k)}{2}=7k-5$.因为$k≤1$,所以$7k-5≤2$,所以$m≤2$.因为 m 为正整数,所以 m 的值为1或2.