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7. 某市努力改善空气质量，近年来空气质量明显好转. 该市环境保护部门公布的2019—2023年这五年全年空气质量优良的天数如表所示：
（1）这五年的全年空气质量优良天数的中位数是多少？
（2）这五年的全年空气质量优良天数与它前一年相比增加最多的是哪一年？
（1）这五年的全年空气质量优良天数的中位数是多少？
（2）这五年的全年空气质量优良天数与它前一年相比增加最多的是哪一年？
答案
7. (1) 245天 (2) 2021
解析
【分析】
（1）求中位数需先将数据按从小到大（或从大到小）排序，若数据个数为奇数，中间位置的数即为中位数。本题共5个数据，排序后取第3个数据即可得到中位数。（2）要找同比增加最多的年份，只需分别计算2020到2023年每年较前一年优良天数的差值，比较差值大小，最大差值对应的年份即为所求。
【解析】
（1）将五年的空气质量优良天数按从小到大排列为：233，234，245，247，256。
因数据共5个，为奇数个，故中位数为排序后第3个数据，即245天。
（2）分别计算各年较前一年的优良天数增加量：
2020年：$233 - 234 = -1$天（较上年减少1天）；
2021年：$245 - 233 = 12$天；
2022年：$247 - 245 = 2$天；
2023年：$256 - 247 = 9$天。
比较得12最大，故增加最多的是2021年。
【答案】
（1）245天；（2）2021年
【知识点】
中位数，有理数减法，统计数据分析
【点评】
本题是统计类基础题，核心考查中位数的计算方法和简单的数据对比分析能力，解题时注意中位数必须先排序再取值，计算差值时不要混淆先后年份的顺序即可。
【难度系数】
0.9
（1）求中位数需先将数据按从小到大（或从大到小）排序，若数据个数为奇数，中间位置的数即为中位数。本题共5个数据，排序后取第3个数据即可得到中位数。（2）要找同比增加最多的年份，只需分别计算2020到2023年每年较前一年优良天数的差值，比较差值大小，最大差值对应的年份即为所求。
【解析】
（1）将五年的空气质量优良天数按从小到大排列为：233，234，245，247，256。
因数据共5个，为奇数个，故中位数为排序后第3个数据，即245天。
（2）分别计算各年较前一年的优良天数增加量：
2020年：$233 - 234 = -1$天（较上年减少1天）；
2021年：$245 - 233 = 12$天；
2022年：$247 - 245 = 2$天；
2023年：$256 - 247 = 9$天。
比较得12最大，故增加最多的是2021年。
【答案】
（1）245天；（2）2021年
【知识点】
中位数，有理数减法，统计数据分析
【点评】
本题是统计类基础题，核心考查中位数的计算方法和简单的数据对比分析能力，解题时注意中位数必须先排序再取值，计算差值时不要混淆先后年份的顺序即可。
【难度系数】
0.9
8. 某校随机抽取男生、女生各20名同学进行劳动竞赛，得分用x表示. 对成绩进行整理和分析，分成A：$42＜x≤44$，B：$44＜x≤46$，C：$46＜x≤48$，D：$48＜x≤50$四组，下列图表给出了部分信息. 已知男生在C组的数据个数为5个，20名女生的竞赛成绩为：
50，50，48，44，46，50，46，49，50，48，
45，50，50，50，49，48，50，46，50，50.
（1）填空：$a=$
（2）根据以上数据，你认为该校女生与男生的劳动竞赛成绩哪方更好？请说明理由.
50，50，48，44，46，50，46，49，50，48，
45，50，50，50，49，48，50，46，50，50.
（1）填空：$a=$
49.5
，$m=$15
；（2）根据以上数据，你认为该校女生与男生的劳动竞赛成绩哪方更好？请说明理由.
答案
8. (1) 49.5,15 (2) 女生的成绩好一些,理由:女生的平均成绩好于男生,中位数和满分率也大于男生,故女生的成绩好一些
解析
【分析】
（1）求a的值即求女生成绩的中位数，先将20名女生的成绩从小到大排序，偶数个数据的中位数为排序后中间两个数据的平均数，计算即可得到a；求m的值可利用男生各组占比之和为100%，结合已知A、C、D组的占比即可求解。
（2）判断哪方成绩更好，可从平均数、中位数、满分率等常用统计量的角度对比，统计量更优的一方整体成绩更好。
【解析】
（1）①将20名女生的竞赛成绩从小到大排列为：
44，45，46，46，46，48，48，48，49，49，50，50，50，50，50，50，50，50，50，50
共20个数据，中位数为第10个和第11个数据的平均数，即$a=\frac{49+50}{2}=49.5$。
②男生总人数为20，已知A组占比10%，C组5人对应占比$\frac{5}{20}×100\%=25\%$，D组占比50%，因此B组占比$m\%=100\%-10\%-25\%-50\%=15\%$，即$m=15$。
（2）女生的劳动竞赛成绩更好，理由：
对比统计量可得，女生成绩的中位数为49.5，高于男生成绩的中位数；女生的平均成绩高于男生；同时女生满分（50分）人数占比为60%，远高于男生的满分率，因此女生整体成绩更优。
【答案】
（1）$\boxed{49.5}$，$\boxed{15}$
（2）女生的成绩好一些，理由：女生的平均成绩好于男生，中位数和满分率也大于男生，故女生的成绩好一些
【知识点】
中位数的计算，统计量的应用，频数与频率
【点评】
本题属于统计基础应用题，需要掌握中位数的计算规则，学会结合多个统计量综合分析数据的整体特征，是统计知识在实际问题中的典型应用。
【难度系数】
0.7
（1）求a的值即求女生成绩的中位数，先将20名女生的成绩从小到大排序，偶数个数据的中位数为排序后中间两个数据的平均数，计算即可得到a；求m的值可利用男生各组占比之和为100%，结合已知A、C、D组的占比即可求解。
（2）判断哪方成绩更好，可从平均数、中位数、满分率等常用统计量的角度对比，统计量更优的一方整体成绩更好。
【解析】
（1）①将20名女生的竞赛成绩从小到大排列为：
44，45，46，46，46，48，48，48，49，49，50，50，50，50，50，50，50，50，50，50
共20个数据，中位数为第10个和第11个数据的平均数，即$a=\frac{49+50}{2}=49.5$。
②男生总人数为20，已知A组占比10%，C组5人对应占比$\frac{5}{20}×100\%=25\%$，D组占比50%，因此B组占比$m\%=100\%-10\%-25\%-50\%=15\%$，即$m=15$。
（2）女生的劳动竞赛成绩更好，理由：
对比统计量可得，女生成绩的中位数为49.5，高于男生成绩的中位数；女生的平均成绩高于男生；同时女生满分（50分）人数占比为60%，远高于男生的满分率，因此女生整体成绩更优。
【答案】
（1）$\boxed{49.5}$，$\boxed{15}$
（2）女生的成绩好一些，理由：女生的平均成绩好于男生，中位数和满分率也大于男生，故女生的成绩好一些
【知识点】
中位数的计算，统计量的应用，频数与频率
【点评】
本题属于统计基础应用题，需要掌握中位数的计算规则，学会结合多个统计量综合分析数据的整体特征，是统计知识在实际问题中的典型应用。
【难度系数】
0.7
9. 某滑冰俱乐部会员滑冰鞋的鞋码情况如下：
若该组鞋码的中位数不大于 38 码，求出符合条件的 a 的所有取值.
若该组鞋码的中位数不大于 38 码，求出符合条件的 a 的所有取值.
答案
9. a 为正整数,符合条件的 a 的值为 1,2,3,4,5
解析
【分析】
首先明确中位数的定义：将一组数据从小到大排列后，若数据总数为奇数，中位数是最中间的数；若数据总数为偶数，中位数是最中间两个数的平均数。本题要满足中位数不大于38码，先计算鞋码≤38码的总人数，再结合总人数确定中位数的位置限制，推导总人数的取值范围，最终求出a的取值。
【解析】
解：先统计鞋码不大于38码的总人数：$8+4=12$（人）
该组数据的总人数为：$8+4+5+a+1=18+a$
要使中位数不大于38码，分两种情况讨论：
1. 若总人数$18+a$为偶数：
中位数是第$\frac{18+a}{2}$和第$\frac{18+a}{2}+1$个数的平均数，要使平均数≤38，需第$\frac{18+a}{2}+1$个数属于前12个≤38码的数据，因此：
$\frac{18+a}{2}+1 ≤ 12$
解得：$18+a ≤ 22$，即$a ≤ 4$
2. 若总人数$18+a$为奇数：
中位数是第$\frac{18+a+1}{2}$个数，要使该数≤38，需该数属于前12个≤38码的数据，因此：
$\frac{19+a}{2} ≤ 12$
解得：$19+a ≤ 24$，即$a ≤ 5$
综上可得总人数最大为23，即$a ≤ 5$，又因为频数$a$为正整数，因此符合条件的$a$为1,2,3,4,5。
【答案】
符合条件的a的值为1,2,3,4,5
【知识点】
中位数的计算、频数、一元一次不等式
【点评】
本题核心是利用中位数的定义确定数据位置的限制，解题时要注意分数据总数奇偶的两种情况讨论，同时不要忽略频数是正整数的隐含条件。
【难度系数】
0.65
首先明确中位数的定义：将一组数据从小到大排列后，若数据总数为奇数，中位数是最中间的数；若数据总数为偶数，中位数是最中间两个数的平均数。本题要满足中位数不大于38码，先计算鞋码≤38码的总人数，再结合总人数确定中位数的位置限制，推导总人数的取值范围，最终求出a的取值。
【解析】
解：先统计鞋码不大于38码的总人数：$8+4=12$（人）
该组数据的总人数为：$8+4+5+a+1=18+a$
要使中位数不大于38码，分两种情况讨论：
1. 若总人数$18+a$为偶数：
中位数是第$\frac{18+a}{2}$和第$\frac{18+a}{2}+1$个数的平均数，要使平均数≤38，需第$\frac{18+a}{2}+1$个数属于前12个≤38码的数据，因此：
$\frac{18+a}{2}+1 ≤ 12$
解得：$18+a ≤ 22$，即$a ≤ 4$
2. 若总人数$18+a$为奇数：
中位数是第$\frac{18+a+1}{2}$个数，要使该数≤38，需该数属于前12个≤38码的数据，因此：
$\frac{19+a}{2} ≤ 12$
解得：$19+a ≤ 24$，即$a ≤ 5$
综上可得总人数最大为23，即$a ≤ 5$，又因为频数$a$为正整数，因此符合条件的$a$为1,2,3,4,5。
【答案】
符合条件的a的值为1,2,3,4,5
【知识点】
中位数的计算、频数、一元一次不等式
【点评】
本题核心是利用中位数的定义确定数据位置的限制，解题时要注意分数据总数奇偶的两种情况讨论，同时不要忽略频数是正整数的隐含条件。
【难度系数】
0.65
