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1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\sin A=\dfrac{4}{5}$，则$\sin B=(\quad)$.
A.$\dfrac{4}{3}$
B.$\dfrac{3}{4}$
C.$\dfrac{3}{5}$
D.$\dfrac{4}{5}$
A.$\dfrac{4}{3}$
B.$\dfrac{3}{4}$
C.$\dfrac{3}{5}$
D.$\dfrac{4}{5}$
答案
C
解析
【分析】
本题是直角三角形中锐角三角函数的计算问题，解题思路如下：首先根据直角三角形的性质，由∠C=90°可知∠A与∠B互余，锐角的正弦值等于其对边与斜边的比值。我们可以先根据已知的sinA的取值，设出对应边的长度，再利用勾股定理求出第三边的长度，最后根据正弦的定义计算sinB的值即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正弦的定义：
$\sin A=\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$
设$BC=4k$（$k＞0$），则$AB=5k$，由勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(5k)^2-(4k)^2}=\sqrt{9k^2}=3k$
$\sin B$是$∠ B$的对边与斜边的比值，$∠ B$的对边为$AC$，因此：
$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{3k}{5k}=\frac{3}{5}$
【答案】
C
【知识点】
1.锐角三角函数的定义
2.勾股定理
3.直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础考查题，既可以通过设参数结合勾股定理的方法求解，也可以利用互余两角的三角函数关系$\sin B=\cos A$快速计算，核心是对正弦定义的理解和运用。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形中锐角三角函数的计算问题，解题思路如下：首先根据直角三角形的性质，由∠C=90°可知∠A与∠B互余，锐角的正弦值等于其对边与斜边的比值。我们可以先根据已知的sinA的取值，设出对应边的长度，再利用勾股定理求出第三边的长度，最后根据正弦的定义计算sinB的值即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正弦的定义：
$\sin A=\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$
设$BC=4k$（$k＞0$），则$AB=5k$，由勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(5k)^2-(4k)^2}=\sqrt{9k^2}=3k$
$\sin B$是$∠ B$的对边与斜边的比值，$∠ B$的对边为$AC$，因此：
$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{3k}{5k}=\frac{3}{5}$
【答案】
C
【知识点】
1.锐角三角函数的定义
2.勾股定理
3.直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础考查题，既可以通过设参数结合勾股定理的方法求解，也可以利用互余两角的三角函数关系$\sin B=\cos A$快速计算，核心是对正弦定义的理解和运用。
【难度系数】
0.8
2. 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD ⊥ AB$，垂足为点$D$，若$AD=6$，$CD=12$，则$\tan B$的值是（）.
A.$\frac{1}{2}$
B.$2$
C.$\frac{1}{4}$
D.$5\sqrt{3}+\frac{3}{2}$
A.$\frac{1}{2}$
B.$2$
C.$\frac{1}{4}$
D.$5\sqrt{3}+\frac{3}{2}$
答案
A
解析
【分析】
解决本题的核心是找到与∠B相等的角，或者直接找到Rt△BCD中∠B的对边和邻边长度。首先，在直角三角形斜边上有高的模型中，根据同角的余角相等，可推出∠B=∠ACD，这样求tanB就可以转化为求Rt△ACD中∠ACD的正切值，省去计算额外边长的步骤；也可以通过相似三角形先求出BD的长度，再在Rt△BCD中直接根据正切定义计算tanB。
【解析】
方法一：利用等角转化求解
∵ ∠ACB=90°，CD⊥AB
∴ ∠B + ∠A = 90°，∠ACD + ∠A = 90°
∴ ∠B = ∠ACD（同角的余角相等）
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，CD=12
根据正切的定义：$\tan∠ ACD=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{AD}{CD}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$
∴ $\tan B=\tan∠ ACD=\frac{1}{2}$
方法二：直接在Rt△BCD中求解
∵ CD⊥AB，∠ACB=90°
∴ ∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∠ACD+∠BCD=90°
∴ ∠A=∠BCD，∠ACD=∠B，可得△ACD∽△CBD（两角分别相等的两个三角形相似）
∴ $\frac{CD}{AD}=\frac{BD}{CD}$，即$CD^2=AD· BD$
代入AD=6，CD=12得：$12^2=6· BD$，解得$BD=24$
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，根据正切的定义：
$\tan B=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{CD}{BD}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$
【答案】
A
【知识点】
同角的余角相等，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质
【点评】
本题是锐角三角函数的基础应用题，熟练掌握直角三角形的角的关系、相似三角形的性质以及三角函数的定义是解题的关键，通过等角转化可以简化计算步骤。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是找到与∠B相等的角，或者直接找到Rt△BCD中∠B的对边和邻边长度。首先，在直角三角形斜边上有高的模型中，根据同角的余角相等，可推出∠B=∠ACD，这样求tanB就可以转化为求Rt△ACD中∠ACD的正切值，省去计算额外边长的步骤；也可以通过相似三角形先求出BD的长度，再在Rt△BCD中直接根据正切定义计算tanB。
【解析】
方法一：利用等角转化求解
∵ ∠ACB=90°，CD⊥AB
∴ ∠B + ∠A = 90°，∠ACD + ∠A = 90°
∴ ∠B = ∠ACD（同角的余角相等）
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，CD=12
根据正切的定义：$\tan∠ ACD=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{AD}{CD}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$
∴ $\tan B=\tan∠ ACD=\frac{1}{2}$
方法二：直接在Rt△BCD中求解
∵ CD⊥AB，∠ACB=90°
∴ ∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∠ACD+∠BCD=90°
∴ ∠A=∠BCD，∠ACD=∠B，可得△ACD∽△CBD（两角分别相等的两个三角形相似）
∴ $\frac{CD}{AD}=\frac{BD}{CD}$，即$CD^2=AD· BD$
代入AD=6，CD=12得：$12^2=6· BD$，解得$BD=24$
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，根据正切的定义：
$\tan B=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{CD}{BD}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$
【答案】
A
【知识点】
同角的余角相等，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质
【点评】
本题是锐角三角函数的基础应用题，熟练掌握直角三角形的角的关系、相似三角形的性质以及三角函数的定义是解题的关键，通过等角转化可以简化计算步骤。
【难度系数】
0.7
3. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，设$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，则()。
A.$c = b\sin B$
B.$b = c\sin B$
C.$a = b\tan B$
D.$b = c\tan B$
A.$c = b\sin B$
B.$b = c\sin B$
C.$a = b\tan B$
D.$b = c\tan B$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确直角三角形中锐角三角函数的定义，先理清△ABC中∠B的对边、邻边和斜边分别对应哪条边，再写出∠B的正弦、正切表达式，将表达式变形后和各选项逐一对比，即可选出正确答案。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$的对边为$BC=a$，$∠ B$的对边为$AC=b$，斜边$AB=c$。
根据锐角三角函数的定义：
1. $\sin B=\frac{∠ B的对边}{斜边}=\frac{b}{c}$，变形可得$b = c\sin B$，由此判断选项A错误，选项B正确；
2. $\tan B=\frac{∠ B的对边}{∠ B的邻边}=\frac{b}{a}$，变形可得$b = a\tan B$、$a=\frac{b}{\tan B}$，由此判断选项C、D错误。
综上，正确答案为B。
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数的定义，直角三角形边角关系
【点评】
本题是基础类题目，重点考查对锐角三角函数定义的理解与应用，解题的核心是找准对应角的对边、邻边和斜边，掌握定义即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确直角三角形中锐角三角函数的定义，先理清△ABC中∠B的对边、邻边和斜边分别对应哪条边，再写出∠B的正弦、正切表达式，将表达式变形后和各选项逐一对比，即可选出正确答案。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$的对边为$BC=a$，$∠ B$的对边为$AC=b$，斜边$AB=c$。
根据锐角三角函数的定义：
1. $\sin B=\frac{∠ B的对边}{斜边}=\frac{b}{c}$，变形可得$b = c\sin B$，由此判断选项A错误，选项B正确；
2. $\tan B=\frac{∠ B的对边}{∠ B的邻边}=\frac{b}{a}$，变形可得$b = a\tan B$、$a=\frac{b}{\tan B}$，由此判断选项C、D错误。
综上，正确答案为B。
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数的定义，直角三角形边角关系
【点评】
本题是基础类题目，重点考查对锐角三角函数定义的理解与应用，解题的核心是找准对应角的对边、邻边和斜边，掌握定义即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
二、填空题
4. 在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$c = 8$，$a = 6$，则最小角的正弦值是。
4. 在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$c = 8$，$a = 6$，则最小角的正弦值是。
答案
$\boldsymbol{\frac{\sqrt{7}}{4}}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确直角三角形中“大边对大角”的规律，最小角对应最短的边，解题分三步：第一步用勾股定理求出未知直角边的长度；第二步比较三条边的长度，确定最短边对应的最小角；第三步根据正弦函数的定义（锐角的对边与斜边的比值）计算最小角的正弦值。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，斜边$c=8$，直角边$a=6$。
1. 由勾股定理计算另一条直角边$b$：
$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{8^2-6^2}=\sqrt{64-36}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$
2. 比较三边长度：$2\sqrt{7}\approx5.29＜6＜8$，即$b＜a＜c$，因此边$b$对应的角$∠ B$是最小角。
3. 根据正弦的定义，锐角的正弦值等于对边与斜边的比值：
$\sin B=\frac{\mathrm{∠B的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{b}{c}=\frac{2\sqrt{7}}{8}=\frac{\sqrt{7}}{4}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{\sqrt{7}}{4}}$
【知识点】
勾股定理；正弦的定义；直角三角形大边对大角
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础题型，解题核心是先通过边长比较确定最小角，再结合相关定理和定义计算，需注意不要误判最短边导致找错最小角。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确直角三角形中“大边对大角”的规律，最小角对应最短的边，解题分三步：第一步用勾股定理求出未知直角边的长度；第二步比较三条边的长度，确定最短边对应的最小角；第三步根据正弦函数的定义（锐角的对边与斜边的比值）计算最小角的正弦值。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，斜边$c=8$，直角边$a=6$。
1. 由勾股定理计算另一条直角边$b$：
$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{8^2-6^2}=\sqrt{64-36}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$
2. 比较三边长度：$2\sqrt{7}\approx5.29＜6＜8$，即$b＜a＜c$，因此边$b$对应的角$∠ B$是最小角。
3. 根据正弦的定义，锐角的正弦值等于对边与斜边的比值：
$\sin B=\frac{\mathrm{∠B的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{b}{c}=\frac{2\sqrt{7}}{8}=\frac{\sqrt{7}}{4}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{\sqrt{7}}{4}}$
【知识点】
勾股定理；正弦的定义；直角三角形大边对大角
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础题型，解题核心是先通过边长比较确定最小角，再结合相关定理和定义计算，需注意不要误判最短边导致找错最小角。
【难度系数】
0.7
5. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，若将各边边长都扩大3倍，则锐角A的正弦值，锐角A的余弦值.(填“改变”或“不变”)
答案
不变；不变
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确锐角三角函数的定义：锐角的正弦值是该角的对边与斜边的比值，余弦值是该角的邻边与斜边的比值。我们可以先设出原直角三角形的三边长，再计算边长扩大3倍后的正弦、余弦比值，对比前后的比值即可得出结论；也可以根据“各边同倍数扩大后得到的三角形与原三角形相似，对应锐角大小不变”直接判断，因为三角函数值只和角的大小有关，角不变则三角函数值不变。
【解析】
设原$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ C=90°$，$∠ A$的对边为$a$，邻边为$b$，斜边为$c$，根据锐角三角函数的定义可得：
$\sin A=\frac{a}{c}$，$\cos A=\frac{b}{c}$
将各边边长都扩大3倍后，$∠ A$的对边变为$3a$，邻边变为$3b$，斜边变为$3c$，此时：
新的$\sin A'=\frac{3a}{3c}=\frac{a}{c}=\sin A$
新的$\cos A'=\frac{3b}{3c}=\frac{b}{c}=\cos A$
因此锐角A的正弦值和余弦值都不发生改变。
【答案】
不变；不变
【知识点】
锐角三角函数的定义；相似三角形的性质
【点评】
这道题属于基础概念题，核心是要理解锐角三角函数值仅与角的大小有关，与对应边的长度无关，解题时不要被边长变化的条件误导。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确锐角三角函数的定义：锐角的正弦值是该角的对边与斜边的比值，余弦值是该角的邻边与斜边的比值。我们可以先设出原直角三角形的三边长，再计算边长扩大3倍后的正弦、余弦比值，对比前后的比值即可得出结论；也可以根据“各边同倍数扩大后得到的三角形与原三角形相似，对应锐角大小不变”直接判断，因为三角函数值只和角的大小有关，角不变则三角函数值不变。
【解析】
设原$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ C=90°$，$∠ A$的对边为$a$，邻边为$b$，斜边为$c$，根据锐角三角函数的定义可得：
$\sin A=\frac{a}{c}$，$\cos A=\frac{b}{c}$
将各边边长都扩大3倍后，$∠ A$的对边变为$3a$，邻边变为$3b$，斜边变为$3c$，此时：
新的$\sin A'=\frac{3a}{3c}=\frac{a}{c}=\sin A$
新的$\cos A'=\frac{3b}{3c}=\frac{b}{c}=\cos A$
因此锐角A的正弦值和余弦值都不发生改变。
【答案】
不变；不变
【知识点】
锐角三角函数的定义；相似三角形的性质
【点评】
这道题属于基础概念题，核心是要理解锐角三角函数值仅与角的大小有关，与对应边的长度无关，解题时不要被边长变化的条件误导。
【难度系数】
0.8
6. 如图,在边长相同的小正方形网格中,点A,B,C,D都在这些小正方形的顶点上,AB,CD相交于点P,则$\frac{DP}{PC}$的值=, $\tan∠ APD=$. 
答案
$\frac{1}{3}$；$2$
解析
【分析】
首先解决第一问的线段比值：观察网格可得BD与AC互相平行，可判定△BDP和△ACP相似，利用相似三角形对应边成比例的性质即可求出$\frac{DP}{PC}$的值；第二问求∠APD的正切值，正切值需要在直角三角形中计算，可借助网格特性构造直角三角形，利用对顶角相等将∠APD转化为直角三角形的内角，结合勾股定理计算边长后即可求出正切值。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 求$\frac{DP}{PC}$的值
由网格特征可知$BD// AC$，且$BD=1$，$AC=3$，
∴$△ BDP ∽ △ ACP$，
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{DP}{PC}=\frac{BD}{AC}=\frac{1}{3}$。
2. 求$\tan∠ APD$的值
过点B作$BQ⊥ CD$于点Q，
由勾股定理得$CD=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，结合$\frac{DP}{PC}=\frac{1}{3}$得$PC=\frac{3}{4}CD=\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
同理$AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，由相似得$PB=\frac{1}{4}AB=\frac{\sqrt{10}}{4}$，
由CD为小正方形对角线所在直线，计算得点B到CD的距离$BQ=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在$Rt△ BPQ$中，由勾股定理得：
$PQ=\sqrt{PB^2 - BQ^2}=\sqrt{(\frac{\sqrt{10}}{4})^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∵$∠ APD=∠ BPQ$（对顶角相等），
∴$\tan∠ APD=\tan∠ BPQ=\frac{BQ}{PQ}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{4}}=2$。
【答案】
$\frac{1}{3}$；$2$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；勾股定理
【点评】
本题结合网格考查几何综合计算，解题的核心是合理利用网格的平行、垂直特性，将未知的线段比和角度转化为可直接计算的几何量。
【难度系数】
0.65
首先解决第一问的线段比值：观察网格可得BD与AC互相平行，可判定△BDP和△ACP相似，利用相似三角形对应边成比例的性质即可求出$\frac{DP}{PC}$的值；第二问求∠APD的正切值，正切值需要在直角三角形中计算，可借助网格特性构造直角三角形，利用对顶角相等将∠APD转化为直角三角形的内角，结合勾股定理计算边长后即可求出正切值。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 求$\frac{DP}{PC}$的值
由网格特征可知$BD// AC$，且$BD=1$，$AC=3$，
∴$△ BDP ∽ △ ACP$，
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{DP}{PC}=\frac{BD}{AC}=\frac{1}{3}$。
2. 求$\tan∠ APD$的值
过点B作$BQ⊥ CD$于点Q，
由勾股定理得$CD=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，结合$\frac{DP}{PC}=\frac{1}{3}$得$PC=\frac{3}{4}CD=\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
同理$AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，由相似得$PB=\frac{1}{4}AB=\frac{\sqrt{10}}{4}$，
由CD为小正方形对角线所在直线，计算得点B到CD的距离$BQ=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在$Rt△ BPQ$中，由勾股定理得：
$PQ=\sqrt{PB^2 - BQ^2}=\sqrt{(\frac{\sqrt{10}}{4})^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∵$∠ APD=∠ BPQ$（对顶角相等），
∴$\tan∠ APD=\tan∠ BPQ=\frac{BQ}{PQ}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{4}}=2$。
【答案】
$\frac{1}{3}$；$2$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；勾股定理
【点评】
本题结合网格考查几何综合计算，解题的核心是合理利用网格的平行、垂直特性，将未知的线段比和角度转化为可直接计算的几何量。
【难度系数】
0.65
三、解答题
7. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°,a:b=5:12$,求$∠ B$的三个三角函数值.
7. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°,a:b=5:12$,求$∠ B$的三个三角函数值.
答案
解：
∵ 在△ABC中，∠C=90°，a:b=5:12，
∴ 设a=5k（k＞0），则b=12k。
由勾股定理得：
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(5k)^2+(12k)^2}=\sqrt{169k^2}=13k$。
根据锐角三角函数的定义：
$\sin B=\frac{b}{c}=\frac{12k}{13k}=\frac{12}{13}$，
$\cos B=\frac{a}{c}=\frac{5k}{13k}=\frac{5}{13}$，
$\tan B=\frac{b}{a}=\frac{12k}{5k}=\frac{12}{5}$。
∵ 在△ABC中，∠C=90°，a:b=5:12，
∴ 设a=5k（k＞0），则b=12k。
由勾股定理得：
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(5k)^2+(12k)^2}=\sqrt{169k^2}=13k$。
根据锐角三角函数的定义：
$\sin B=\frac{b}{c}=\frac{12k}{13k}=\frac{12}{13}$，
$\cos B=\frac{a}{c}=\frac{5k}{13k}=\frac{5}{13}$，
$\tan B=\frac{b}{a}=\frac{12k}{5k}=\frac{12}{5}$。
解析
【分析】
本题是直角三角形中求锐角三角函数值的基础题，解题思路如下：首先已知直角三角形两直角边的比例关系，可通过设参数k（k＞0）的方式将两条直角边用含k的代数式表示；再利用直角三角形的勾股定理求出斜边的表达式；最后根据锐角三角函数的定义，分别确定∠B的对边、邻边与斜边，代入对应公式计算，参数k会在约分后消去，即可得到∠B的三个三角函数值。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠C=90°，a:b=5:12，
∴ 设a=5k（k＞0），则b=12k。
由勾股定理得：
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(5k)^2+(12k)^2}=\sqrt{25k^2+144k^2}=\sqrt{169k^2}=13k$。
根据锐角三角函数的定义：
$\sin B=\frac{b}{c}=\frac{12k}{13k}=\frac{12}{13}$，
$\cos B=\frac{a}{c}=\frac{5k}{13k}=\frac{5}{13}$，
$\tan B=\frac{b}{a}=\frac{12k}{5k}=\frac{12}{5}$。
【答案】
$\sin B=\frac{12}{13}$，$\cos B=\frac{5}{13}$，$\tan B=\frac{12}{5}$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 锐角三角函数的定义
3. 比例设参法
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握直角三角形中各锐角三角函数对应的边的比例关系，通过设参数的方法可以快速将比例关系转化为边长表达式，计算过程中要注意区分锐角的对边和邻边，避免混淆三角函数公式。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形中求锐角三角函数值的基础题，解题思路如下：首先已知直角三角形两直角边的比例关系，可通过设参数k（k＞0）的方式将两条直角边用含k的代数式表示；再利用直角三角形的勾股定理求出斜边的表达式；最后根据锐角三角函数的定义，分别确定∠B的对边、邻边与斜边，代入对应公式计算，参数k会在约分后消去，即可得到∠B的三个三角函数值。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠C=90°，a:b=5:12，
∴ 设a=5k（k＞0），则b=12k。
由勾股定理得：
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(5k)^2+(12k)^2}=\sqrt{25k^2+144k^2}=\sqrt{169k^2}=13k$。
根据锐角三角函数的定义：
$\sin B=\frac{b}{c}=\frac{12k}{13k}=\frac{12}{13}$，
$\cos B=\frac{a}{c}=\frac{5k}{13k}=\frac{5}{13}$，
$\tan B=\frac{b}{a}=\frac{12k}{5k}=\frac{12}{5}$。
【答案】
$\sin B=\frac{12}{13}$，$\cos B=\frac{5}{13}$，$\tan B=\frac{12}{5}$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 锐角三角函数的定义
3. 比例设参法
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握直角三角形中各锐角三角函数对应的边的比例关系，通过设参数的方法可以快速将比例关系转化为边长表达式，计算过程中要注意区分锐角的对边和邻边，避免混淆三角函数公式。
【难度系数】
0.8
8. 如图，E是矩形ABCD的边CD上一点，$△ BCE$沿BE折叠为$△ BFE$，点F落在边AD上.
（1）求证：$△ ABF ∽ △ DFE$；
（2）若$\sin∠ DFE = \dfrac{1}{3}$，求$\tan∠ EBC$的值.
（1）求证：$△ ABF ∽ △ DFE$；
（2）若$\sin∠ DFE = \dfrac{1}{3}$，求$\tan∠ EBC$的值.
答案
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ A = ∠ D = 90°$，
∴ $∠ ABF + ∠ AFB = 90°$。
由折叠的性质得$∠ BFE = ∠ C = 90°$，
∴ $∠ AFB + ∠ DFE = 180° - ∠ BFE = 90°$，
∴ $∠ ABF = ∠ DFE$，
∴ $△ ABF ∽ △ DFE$（两角分别相等的两个三角形相似）。
---
(2) 解：
在$\mathrm{Rt}△ DFE$中，$\sin∠ DFE = \dfrac{DE}{EF} = \dfrac{1}{3}$，
设$DE = k$，则$EF = 3k$，
由勾股定理得：
$DF = \sqrt{EF^2 - DE^2} = \sqrt{(3k)^2 - k^2} = 2\sqrt{2}k$
由折叠的性质可知：$EF = CE$，$BF = BC$，
∴ $CE = 3k$，$CD = DE + CE = 4k$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AB = CD = 4k$。
∵ $△ ABF ∽ △ DFE$，
∴ $\dfrac{AB}{DF} = \dfrac{BF}{EF}$，代入得：
$\dfrac{4k}{2\sqrt{2}k} = \dfrac{BF}{3k}$
解得$BF = 3\sqrt{2}k$，即$BC = BF = 3\sqrt{2}k$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中：
$\tan∠ EBC = \dfrac{CE}{BC} = \dfrac{3k}{3\sqrt{2}k} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
最终$\tan∠ EBC$的值为$\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ A = ∠ D = 90°$，
∴ $∠ ABF + ∠ AFB = 90°$。
由折叠的性质得$∠ BFE = ∠ C = 90°$，
∴ $∠ AFB + ∠ DFE = 180° - ∠ BFE = 90°$，
∴ $∠ ABF = ∠ DFE$，
∴ $△ ABF ∽ △ DFE$（两角分别相等的两个三角形相似）。
---
(2) 解：
在$\mathrm{Rt}△ DFE$中，$\sin∠ DFE = \dfrac{DE}{EF} = \dfrac{1}{3}$，
设$DE = k$，则$EF = 3k$，
由勾股定理得：
$DF = \sqrt{EF^2 - DE^2} = \sqrt{(3k)^2 - k^2} = 2\sqrt{2}k$
由折叠的性质可知：$EF = CE$，$BF = BC$，
∴ $CE = 3k$，$CD = DE + CE = 4k$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AB = CD = 4k$。
∵ $△ ABF ∽ △ DFE$，
∴ $\dfrac{AB}{DF} = \dfrac{BF}{EF}$，代入得：
$\dfrac{4k}{2\sqrt{2}k} = \dfrac{BF}{3k}$
解得$BF = 3\sqrt{2}k$，即$BC = BF = 3\sqrt{2}k$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中：
$\tan∠ EBC = \dfrac{CE}{BC} = \dfrac{3k}{3\sqrt{2}k} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
最终$\tan∠ EBC$的值为$\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$。
解析
【分析】
（1）要证明两个三角形相似，优先采用两角分别相等的判定方法。首先利用矩形的性质得到∠A、∠D均为直角，再结合折叠的性质推出∠BFE为直角，通过同角的余角相等得到∠ABF=∠DFE，即可完成相似证明。
（2）先根据$\sin∠DFE$的比值设参数表示出$\mathrm{Rt}△DFE$的各边长，再利用折叠性质得到CE、CD的长度，结合矩形对边相等得到AB的长，借助第一问的相似三角形对应边成比例求出BC的长度，最后在$\mathrm{Rt}△BCE$中根据正切的定义计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ A = ∠ D = 90°$，
∴ $∠ ABF + ∠ AFB = 90°$。
由折叠的性质得$∠ BFE = ∠ C = 90°$，
∴ $∠ AFB + ∠ DFE = 180° - ∠ BFE = 90°$，
∴ $∠ ABF = ∠ DFE$，
∴ $△ ABF ∽ △ DFE$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
在$\mathrm{Rt}△ DFE$中，$\sin∠ DFE = \dfrac{DE}{EF} = \dfrac{1}{3}$，
设$DE = k$，则$EF = 3k$，
由勾股定理得：
$DF = \sqrt{EF^2 - DE^2} = \sqrt{(3k)^2 - k^2} = 2\sqrt{2}k$
由折叠的性质可知：$EF = CE$，$BF = BC$，
∴ $CE = 3k$，$CD = DE + CE = 4k$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AB = CD = 4k$。
∵ $△ ABF ∽ △ DFE$，
∴ $\dfrac{AB}{DF} = \dfrac{BF}{EF}$，代入得：
$\dfrac{4k}{2\sqrt{2}k} = \dfrac{BF}{3k}$
解得$BF = 3\sqrt{2}k$，即$BC = BF = 3\sqrt{2}k$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中：
$\tan∠ EBC = \dfrac{CE}{BC} = \dfrac{3k}{3\sqrt{2}k} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数
【点评】
本题属于几何综合题，融合了折叠变换、矩形性质、相似三角形、锐角三角函数多个考点，第一问是基础的相似判定，第二问采用设参数的方法结合相似关系求解边长，既考察逻辑推理能力，也考察运算能力，是几何部分的经典常考题型。
【难度系数】
0.6
（1）要证明两个三角形相似，优先采用两角分别相等的判定方法。首先利用矩形的性质得到∠A、∠D均为直角，再结合折叠的性质推出∠BFE为直角，通过同角的余角相等得到∠ABF=∠DFE，即可完成相似证明。
（2）先根据$\sin∠DFE$的比值设参数表示出$\mathrm{Rt}△DFE$的各边长，再利用折叠性质得到CE、CD的长度，结合矩形对边相等得到AB的长，借助第一问的相似三角形对应边成比例求出BC的长度，最后在$\mathrm{Rt}△BCE$中根据正切的定义计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ A = ∠ D = 90°$，
∴ $∠ ABF + ∠ AFB = 90°$。
由折叠的性质得$∠ BFE = ∠ C = 90°$，
∴ $∠ AFB + ∠ DFE = 180° - ∠ BFE = 90°$，
∴ $∠ ABF = ∠ DFE$，
∴ $△ ABF ∽ △ DFE$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
在$\mathrm{Rt}△ DFE$中，$\sin∠ DFE = \dfrac{DE}{EF} = \dfrac{1}{3}$，
设$DE = k$，则$EF = 3k$，
由勾股定理得：
$DF = \sqrt{EF^2 - DE^2} = \sqrt{(3k)^2 - k^2} = 2\sqrt{2}k$
由折叠的性质可知：$EF = CE$，$BF = BC$，
∴ $CE = 3k$，$CD = DE + CE = 4k$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AB = CD = 4k$。
∵ $△ ABF ∽ △ DFE$，
∴ $\dfrac{AB}{DF} = \dfrac{BF}{EF}$，代入得：
$\dfrac{4k}{2\sqrt{2}k} = \dfrac{BF}{3k}$
解得$BF = 3\sqrt{2}k$，即$BC = BF = 3\sqrt{2}k$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中：
$\tan∠ EBC = \dfrac{CE}{BC} = \dfrac{3k}{3\sqrt{2}k} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数
【点评】
本题属于几何综合题，融合了折叠变换、矩形性质、相似三角形、锐角三角函数多个考点，第一问是基础的相似判定，第二问采用设参数的方法结合相似关系求解边长，既考察逻辑推理能力，也考察运算能力，是几何部分的经典常考题型。
【难度系数】
0.6
