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2. 下列四个表格表示的变量关系中，变量y是x的反比例函数的是 （
A.
| -x | … | -2 | -1 | 1 | 2 | … |
| -y | … | 2 | 1 | -1 | -2 | … |
C.
| x | … | -2 | -1 | 1 | 2 | … |
| y | … | 3 | 6 | -6 | -3 | … |
D
）A.
| -x | … | -2 | -1 | 1 | 2 | … |
| -y | … | 2 | 1 | -1 | -2 | … |
C.
| x | … | -2 | -1 | 1 | 2 | … |
| y | … | 3 | 6 | -6 | -3 | … |
答案
D
解析
【解析】
根据反比例函数的定义，若y是x的反比例函数，则需满足$xy=k$（$k$为不等于0的常数），逐一验证选项：
- 选项A：整理得对应$x$、$y$值为$x=2,y=6$；$x=1,y=4$；$x=-1,y=0$；$x=-2,y=-2$，计算$xy$依次为12、4、0、4，乘积不是固定非零常数，不符合反比例函数要求。
- 选项B：整理得对应$x$、$y$值为$x=2,y=-2$；$x=1,y=-1$；$x=-1,y=1$；$x=-2,y=2$，计算$xy$依次为4、1、-1、-4，乘积不是固定非零常数，是正比例函数关系，不符合反比例函数要求。
- 选项C：计算对应$xy$的值：$(-2)×(-6)=12$，$(-1)×(-3)=3$，$1×3=3$，$2×6=12$，乘积不是固定非零常数，是正比例函数关系，不符合反比例函数要求。
- 选项D：计算对应$xy$的值：$(-2)×3=-6$，$(-1)×6=-6$，$1×(-6)=-6$，$2×(-3)=-6$，所有$xy$的乘积均为固定非零常数-6，满足反比例函数的定义。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数定义
【点评】
本题通过表格形式考查反比例函数的判定，核心是利用“自变量与对应函数值的乘积为非零固定常数”这一判定方法，易错点是误将表格第一行的$-x$直接当作$x$计算，需先正确提取每组$x$、$y$的对应值再验证。
【难度系数】
0.8
根据反比例函数的定义，若y是x的反比例函数，则需满足$xy=k$（$k$为不等于0的常数），逐一验证选项：
- 选项A：整理得对应$x$、$y$值为$x=2,y=6$；$x=1,y=4$；$x=-1,y=0$；$x=-2,y=-2$，计算$xy$依次为12、4、0、4，乘积不是固定非零常数，不符合反比例函数要求。
- 选项B：整理得对应$x$、$y$值为$x=2,y=-2$；$x=1,y=-1$；$x=-1,y=1$；$x=-2,y=2$，计算$xy$依次为4、1、-1、-4，乘积不是固定非零常数，是正比例函数关系，不符合反比例函数要求。
- 选项C：计算对应$xy$的值：$(-2)×(-6)=12$，$(-1)×(-3)=3$，$1×3=3$，$2×6=12$，乘积不是固定非零常数，是正比例函数关系，不符合反比例函数要求。
- 选项D：计算对应$xy$的值：$(-2)×3=-6$，$(-1)×6=-6$，$1×(-6)=-6$，$2×(-3)=-6$，所有$xy$的乘积均为固定非零常数-6，满足反比例函数的定义。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数定义
【点评】
本题通过表格形式考查反比例函数的判定，核心是利用“自变量与对应函数值的乘积为非零固定常数”这一判定方法，易错点是误将表格第一行的$-x$直接当作$x$计算，需先正确提取每组$x$、$y$的对应值再验证。
【难度系数】
0.8
3. 已知 $ y - 2 $ 与 $ x $ 成反比例关系，且当 $ x = 2 $ 时，$ y = 4 $. 求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式.
答案
$y=\frac{4}{x}+2$
解析
【分析】
首先根据反比例关系的定义，明确是$y-2$整体与$x$成反比例，因此先设出$y-2$和$x$的反比例关系式，再将已知的$x、y$对应值代入求出未知常数，最后整理得到$y$关于$x$的函数表达式即可，解题核心是不要误将反比例关系设为$y$和$x$直接成反比例。
【解析】
解：
∵ $ y - 2 $ 与 $ x $ 成反比例关系
∴ 设$ y - 2 = \frac{k}{x} $（$k$为常数，且$k≠0$）
将$x=2$，$y=4$代入上式，得：
$4 - 2 = \frac{k}{2}$
解得$k=4$
将$k=4$代入所设关系式，整理得：
$y = \frac{4}{x} + 2$
【答案】
$y=\frac{4}{x}+2$
【知识点】
反比例的定义，待定系数法求解析式
【点评】
本题是反比例函数概念的基础应用题型，解题时需准确识别成反比例的两个量，正确设出函数关系式后用待定系数法求解即可，易错点是易忽略是$y-2$整体与$x$成反比例，错误设为$y=\frac{k}{x}$。
【难度系数】
0.8
首先根据反比例关系的定义，明确是$y-2$整体与$x$成反比例，因此先设出$y-2$和$x$的反比例关系式，再将已知的$x、y$对应值代入求出未知常数，最后整理得到$y$关于$x$的函数表达式即可，解题核心是不要误将反比例关系设为$y$和$x$直接成反比例。
【解析】
解：
∵ $ y - 2 $ 与 $ x $ 成反比例关系
∴ 设$ y - 2 = \frac{k}{x} $（$k$为常数，且$k≠0$）
将$x=2$，$y=4$代入上式，得：
$4 - 2 = \frac{k}{2}$
解得$k=4$
将$k=4$代入所设关系式，整理得：
$y = \frac{4}{x} + 2$
【答案】
$y=\frac{4}{x}+2$
【知识点】
反比例的定义，待定系数法求解析式
【点评】
本题是反比例函数概念的基础应用题型，解题时需准确识别成反比例的两个量，正确设出函数关系式后用待定系数法求解即可，易错点是易忽略是$y-2$整体与$x$成反比例，错误设为$y=\frac{k}{x}$。
【难度系数】
0.8
4. 已知 $ y = y_1 + y_2 $，$ y_1 $ 与 $ x $ 成正比例，$ y_2 $ 与 $ x $ 成反比例，当 $ x = 2 $ 时，$ y = -4 $；当 $ x = -1 $ 时，$ y = 5 $。求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式。
答案
$y=-x-\frac{4}{x}$
解析
【分析】
解题时首先根据正比例、反比例的定义分别设出$y_1$、$y_2$的表达式，注意两个比例系数为不同的未知常数，需用不同字母区分；再结合$y=y_1+y_2$得到$y$关于$x$的含参数的表达式；随后将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入表达式，得到关于两个参数的二元一次方程组；解方程组求出参数的值，最后将参数代回表达式即可得到所求函数式。
【解析】
解：$\because y_1$与$x$成正比例，$\therefore$设$y_1=k_1x$（$k_1≠0$，$k_1$为常数）
$\because y_2$与$x$成反比例，$\therefore$设$y_2=\frac{k_2}{x}$（$k_2≠0$，$k_2$为常数）
又$\because y=y_1+y_2$，$\therefore y=k_1x+\frac{k_2}{x}$
将$x=2$，$y=-4$和$x=-1$，$y=5$分别代入上式，得方程组：
$\begin{cases}2k_1+\frac{k_2}{2}=-4\\-k_1 - k_2=5\end{cases}$
将第一个方程两边同乘2整理得：$4k_1 + k_2=-8$ ③
用③加上第二个方程，得：$3k_1=-3$，解得$k_1=-1$
把$k_1=-1$代入第二个方程，得：$-(-1)-k_2=5$，解得$k_2=-4$
将$k_1=-1$、$k_2=-4$代入$y=k_1x+\frac{k_2}{x}$，即可得到函数表达式。
【答案】
$y=-x-\frac{4}{x}$
【知识点】
1. 正比例函数定义
2. 反比例函数定义
3. 待定系数法求解析式
【点评】
本题属于正反比例组合的函数解析式求解问题，解题核心是准确掌握正反比例的表达形式，熟练运用待定系数法，通过代入已知条件建立方程组求解参数，是对基础概念和常规解题方法的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据正比例、反比例的定义分别设出$y_1$、$y_2$的表达式，注意两个比例系数为不同的未知常数，需用不同字母区分；再结合$y=y_1+y_2$得到$y$关于$x$的含参数的表达式；随后将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入表达式，得到关于两个参数的二元一次方程组；解方程组求出参数的值，最后将参数代回表达式即可得到所求函数式。
【解析】
解：$\because y_1$与$x$成正比例，$\therefore$设$y_1=k_1x$（$k_1≠0$，$k_1$为常数）
$\because y_2$与$x$成反比例，$\therefore$设$y_2=\frac{k_2}{x}$（$k_2≠0$，$k_2$为常数）
又$\because y=y_1+y_2$，$\therefore y=k_1x+\frac{k_2}{x}$
将$x=2$，$y=-4$和$x=-1$，$y=5$分别代入上式，得方程组：
$\begin{cases}2k_1+\frac{k_2}{2}=-4\\-k_1 - k_2=5\end{cases}$
将第一个方程两边同乘2整理得：$4k_1 + k_2=-8$ ③
用③加上第二个方程，得：$3k_1=-3$，解得$k_1=-1$
把$k_1=-1$代入第二个方程，得：$-(-1)-k_2=5$，解得$k_2=-4$
将$k_1=-1$、$k_2=-4$代入$y=k_1x+\frac{k_2}{x}$，即可得到函数表达式。
【答案】
$y=-x-\frac{4}{x}$
【知识点】
1. 正比例函数定义
2. 反比例函数定义
3. 待定系数法求解析式
【点评】
本题属于正反比例组合的函数解析式求解问题，解题核心是准确掌握正反比例的表达形式，熟练运用待定系数法，通过代入已知条件建立方程组求解参数，是对基础概念和常规解题方法的考查。
【难度系数】
0.8
