1. 如图,四边形$ABCD$中,$∠A=∠B=90°,∠ADC,∠BCD$的平分线交于$AB$边上的点$E$,求证:$CD=AD+BC$.

1. 过点 E 作 EF ⊥ CD 于点 F.
∵ DE, CE 分别平分∠ADC,∠BCD,
∴ ∠ADE=∠CDE,∠BCE=∠DCE.在△ADE 和△FDE 中,
$\begin{cases}∠A=∠DFE,\\∠ADE=∠FDE,\\DE=DE,\end{cases}$
∴ △ADE≌△FDE( AAS ),
∴ AD=DF,同理可得 BC=FC,
∴ CD=DF+CF=AD+BC.

2. ★★★ 如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB于点E,且CD=CB,∠ABC+∠ADC=180°.求证:AB+AD=2AE.

2. 过 C 作 CM ⊥ AD,交 AD 的延长线于 M.
∵ CE ⊥ AB,
∴ ∠M= ∠CEB = 90°.
∵ ∠ABC + ∠ADC = 180°, ∠ADC + ∠MDC = 180°,
∴ ∠B=∠MDC.
∵ AC 平分∠BAD,CM ⊥ AD,CE ⊥ AB,
∴ CM= CE,∠MAC = ∠EAC. 在 △MAC 和 △EAC 中,
$\begin{cases}∠MAC=∠EAC,\\∠M=∠AEC,\\AC=AC,\end{cases}$
∴ △MAC≌△EAC( AAS ),
∴ AM=AE.
∵ ∠B=∠MDC,∠CEB= ∠M,CE=CM,
∴ △DMC≌△BEC( AAS ),
∴ BE=DM,
∴ AB+ AD=AE+BE+AD=AE+DM+AD=2AM=2AE.

3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=60°$,$AD$,$CE$分别是$∠ BAC$,$∠ BCA$的平分线,$AD$,$CE$相交于点$F$.
(1)求证:$∠ BEC=∠ ADC$;
(2)请你判断$FE$与$FD$之间的数量关系,并进行证明.

3. (1)
∵ CE 平分∠BCA,AD 平分∠BAC,
∴ ∠ADC = ∠B + ∠BAD = 60° + $\frac{1}{2}$∠BAC, ∠BEC = ∠BAC + ∠ACE = ∠BAC + $\frac{1}{2}$∠BCA = ∠BAC + $\frac{1}{2}$( 180° - 60° - ∠BAC ) = ∠BAC + 60° - $\frac{1}{2}$∠BAC = 60°+$\frac{1}{2}$∠BAC,
∴ ∠BEC = ∠ADC.
(2)FE=FD.证明如下:如图,过点 F 作 FG ⊥ AB 交 AB 于 G,作 FH ⊥ BC 交 BC 于 H,作 FK ⊥ AC交 AC 于 K,
∵ AD,CE 分别是∠BAC,∠BCA 的平分线,
∴ FG=FK=FH.在四边形 BGFH 中,∠GFH = 360° - 60° - 90°×2 = 120°.
∵ AD,CE 分别是∠BAC,∠BCA 的平分线,∠B=60°,
∴ ∠FAC+∠FCA=$\frac{1}{2}$×( 180°-60° )= 60°,在△AFC 中,∠AFC=180°-( ∠FAC+∠FCA )= 180°-60°= 120°,
∴ ∠EFD=∠AFC=120°,
∴ ∠GFH=∠EFD,
∴ ∠EFG=∠DFH.在△EFG 和 △DFH 中,
$\begin{cases}∠EFG=∠DFH,\\FG=FH,\\∠EGF=∠DHF=90°,\end{cases}$
∴ △EFG ≌ △DFH(ASA),
∴ FE=FD.