1. ★★★ 在$△ ABC$中，$∠ A=40°$，$BD$为$AC$边上的高，若$∠ CBD=10°$，求$∠ ABC$的度数.

1. 依照题意画出图形，如图所示.
∵ $BD ⊥ AC$,
∴ $∠ BDA=90°$,
∴ $∠ ABD = 180°-∠ BDA-∠ A = 180°-90°-40° = 50°$.
∴ 当高 $BD$ 在三角形外部时, $∠ ABC = ∠ ABD-∠ CBD = 50°-10° = 40°$; 当高 $BD$ 在三角形内部时, $∠ ABC = ∠ ABD+∠ CBD = 50°+10° = 60°$. 综上, $∠ ABC$ 的度数为 $40°$ 或 $60°$.

2. 已知非直角$△ ABC$中，$∠ ABC = ∠ ACB$，$BD$是高，$BE$是角平分线，$∠ DBE = 30°$，求$∠ ACB$的度数.

2. ①如图①,当$∠ BAC$是锐角时,高 $BD$ 在 $△ ABC$ 内部,设$∠ EBC=∠ ABE=x$,则$∠ ACB=2x$,可得 $x-30°+2x=90°$,解得 $x=40°$,
∴ $∠ ACB=80°$;
②如图②,当$∠ BAC$是钝角时,高 $BD$ 在 $△ ABC$ 外部,设$∠ EBC=∠ ABE=x$,则$∠ ACB=2x$.
∵ $∠ DEB$ 是 $△ EBC$ 的外角,
∴ $∠ DEB=∠ ACB+∠ EBC=90°-∠ DBE=60°$,可得 $x+2x=60°$,解得 $x=20°$,
∴ $∠ ACB=40°$. 综上所述, $∠ ACB$ 的度数为 $80°$ 或 $40°$.

3. 如图,已知$△ ABC$,点$P$为$△ ABC$外一点(点$P$不在直线$AB,BC,AC$上).连结$PB,PC$,设$∠ PBA=x°,∠ PCA=y°,∠ BPC=m°,∠ BAC=n°$.直接写出$x,y,m,n$之间所有可能的数量关系,并画出相应的图形.

3.
①如图①,构成8字型,得 $m+x=n+y$;
②如图②,构成燕尾型,得 $n=x+m+y$;
③如图③,构成8字型,得 $n+x=m+y$;
④如图④,构成燕尾型,得 $x=m+n+y$;
⑤如图⑤,构成燕尾型,得 $y=m+n+x$;
⑥如图⑥,根据四边形内角和,得 $x+y+m+n=360$.