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8. 某同学模仿“曹冲称象”，用厚底直筒形的玻璃杯制作了一把“浮力秤”，如图所示。已知玻璃杯的质量为150g，底面积为30cm²，高度为15cm，$\rho_{水}=1×10^{3}\mathrm{kg/m}^3$，$g$取10N/kg。
（1）将杯子开口向上竖直放入水中时（注：水未进入杯内），请计算杯子受到的浮力大小。
（2）此时杯子浸入水中的深度（即为该浮力秤的零刻度位置）为多少？
（3）此“浮力秤”一次能测量的最大质量是多少？
（1）将杯子开口向上竖直放入水中时（注：水未进入杯内），请计算杯子受到的浮力大小。
（2）此时杯子浸入水中的深度（即为该浮力秤的零刻度位置）为多少？
（3）此“浮力秤”一次能测量的最大质量是多少？
答案
（1）1.5N （2）5cm （3）300g
解析
【分析】
本题考查浮力的相关计算，需利用漂浮条件和阿基米德原理解题。（1）杯子漂浮时，浮力等于自身重力，先计算杯子重力即可得到浮力；（2）根据阿基米德原理，结合排开水的体积与浸入深度的关系，可求出浸入深度；（3）当杯子刚好完全浸入水中时，浮力最大，此时总浮力减去杯子重力即为最大可测物体的重力，进而求出最大质量，解题时需注意单位换算。
【解析】
（1）杯子的质量$m_{杯}=150\mathrm{g}=0.15\mathrm{kg}$，杯子的重力：
$G_{杯}=m_{杯}g=0.15\mathrm{kg}×10\mathrm{N/kg}=1.5\mathrm{N}$。
杯子开口向上竖直放入水中时处于漂浮状态，根据漂浮条件，浮力等于重力，因此杯子受到的浮力：
$F_{浮}=G_{杯}=1.5\mathrm{N}$。
（2）根据阿基米德原理$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}$，可得杯子排开水的体积：
$V_{排}=\frac{F_{浮}}{\rho_{水}g}=\frac{1.5\mathrm{N}}{1×10^3\mathrm{kg/m}^3×10\mathrm{N/kg}}=1.5×10^{-4}\mathrm{m}^3$。
杯子的底面积$S=30\mathrm{cm}^2=30×10^{-4}\mathrm{m}^2$，由$V_{排}=Sh$得，浸入水中的深度：
$h=\frac{V_{排}}{S}=\frac{1.5×10^{-4}\mathrm{m}^3}{30×10^{-4}\mathrm{m}^2}=0.05\mathrm{m}=5\mathrm{cm}$。
（3）当杯子刚好完全浸入水中时，排开水的体积最大，此时最大排开体积：
$V_{排}'=Sh'=30\mathrm{cm}^2×15\mathrm{cm}=450\mathrm{cm}^3=4.5×10^{-4}\mathrm{m}^3$。
此时最大浮力：
$F_{浮}'=\rho_{水}gV_{排}'=1×10^3\mathrm{kg/m}^3×10\mathrm{N/kg}×4.5×10^{-4}\mathrm{m}^3=4.5\mathrm{N}$。
漂浮时总重力等于最大浮力，总质量：
$m_{总}=\frac{G_{总}}{g}=\frac{F_{浮}'}{g}=\frac{4.5\mathrm{N}}{10\mathrm{N/kg}}=0.45\mathrm{kg}=450\mathrm{g}$。
一次能测量的最大质量：
$m_{物}=m_{总}-m_{杯}=450\mathrm{g}-150\mathrm{g}=300\mathrm{g}$。
【答案】
（1）1.5N；（2）5cm；（3）300g
【知识点】
漂浮条件、阿基米德原理、浮力计算
【点评】
本题结合“曹冲称象”原理考查浮力应用，需掌握漂浮时浮力等于重力、阿基米德原理的应用，解题关键是明确最大测量时杯子完全浸入水中，注意单位统一，属于浮力基础应用题。
【难度系数】
0.6
本题考查浮力的相关计算，需利用漂浮条件和阿基米德原理解题。（1）杯子漂浮时，浮力等于自身重力，先计算杯子重力即可得到浮力；（2）根据阿基米德原理，结合排开水的体积与浸入深度的关系，可求出浸入深度；（3）当杯子刚好完全浸入水中时，浮力最大，此时总浮力减去杯子重力即为最大可测物体的重力，进而求出最大质量，解题时需注意单位换算。
【解析】
（1）杯子的质量$m_{杯}=150\mathrm{g}=0.15\mathrm{kg}$，杯子的重力：
$G_{杯}=m_{杯}g=0.15\mathrm{kg}×10\mathrm{N/kg}=1.5\mathrm{N}$。
杯子开口向上竖直放入水中时处于漂浮状态，根据漂浮条件，浮力等于重力，因此杯子受到的浮力：
$F_{浮}=G_{杯}=1.5\mathrm{N}$。
（2）根据阿基米德原理$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}$，可得杯子排开水的体积：
$V_{排}=\frac{F_{浮}}{\rho_{水}g}=\frac{1.5\mathrm{N}}{1×10^3\mathrm{kg/m}^3×10\mathrm{N/kg}}=1.5×10^{-4}\mathrm{m}^3$。
杯子的底面积$S=30\mathrm{cm}^2=30×10^{-4}\mathrm{m}^2$，由$V_{排}=Sh$得，浸入水中的深度：
$h=\frac{V_{排}}{S}=\frac{1.5×10^{-4}\mathrm{m}^3}{30×10^{-4}\mathrm{m}^2}=0.05\mathrm{m}=5\mathrm{cm}$。
（3）当杯子刚好完全浸入水中时，排开水的体积最大，此时最大排开体积：
$V_{排}'=Sh'=30\mathrm{cm}^2×15\mathrm{cm}=450\mathrm{cm}^3=4.5×10^{-4}\mathrm{m}^3$。
此时最大浮力：
$F_{浮}'=\rho_{水}gV_{排}'=1×10^3\mathrm{kg/m}^3×10\mathrm{N/kg}×4.5×10^{-4}\mathrm{m}^3=4.5\mathrm{N}$。
漂浮时总重力等于最大浮力，总质量：
$m_{总}=\frac{G_{总}}{g}=\frac{F_{浮}'}{g}=\frac{4.5\mathrm{N}}{10\mathrm{N/kg}}=0.45\mathrm{kg}=450\mathrm{g}$。
一次能测量的最大质量：
$m_{物}=m_{总}-m_{杯}=450\mathrm{g}-150\mathrm{g}=300\mathrm{g}$。
【答案】
（1）1.5N；（2）5cm；（3）300g
【知识点】
漂浮条件、阿基米德原理、浮力计算
【点评】
本题结合“曹冲称象”原理考查浮力应用，需掌握漂浮时浮力等于重力、阿基米德原理的应用，解题关键是明确最大测量时杯子完全浸入水中，注意单位统一，属于浮力基础应用题。
【难度系数】
0.6
