1. (新北师九上 P29)如图,将矩形纸片 $ ABCD $ 沿 $ EF $ 折叠,顶点 $ A $ 落在 $ BC $ 边上的 $ A' $ 点,顶点 $ B $ 落在纸片外的 $ B' $ 点. 展开纸片,得到四边形 $ AFA'E $,试判断这个四边形的形状,并证明你的结论.

解：四边形$AFA'E$是菱形。
证明：
$\because$矩形纸片$ABCD$沿$EF$折叠，顶点$A$落在$BC$边上的$A'$点，顶点$B$落在纸片外的$B'$点，
$\therefore\angle AEF=\angle A'EF$，$AE = A'E$，$AF = A'F$。
$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AD// BC$，
$\therefore\angle AEF=\angle EFA'$，
$\therefore\angle A'EF=\angle EFA'$，
$\therefore A'E = A'F$，
$\therefore AE = A'E = A'F = AF$，
$\therefore$四边形$AFA'E$是菱形。

2. (2025 商丘一模)综合与实践《矩形的折叠》探究课上,刘老师让同学们裁出一个矩形纸片 $ ABCD $,点 $ P $ 为边 $ CD $ 上一个动点,以直线 $ PQ $ 为对称轴折叠矩形 $ ABCD $,进行以下探究:
【问题提出】
(1) 如图 1,点 $ E,F $ 分别为 $ AD,BC $ 的中点,点 $ Q $ 与点 $ A $ 重合,点 $ D $ 的对应点为点 $ M $,当点 $ M $ 落在 $ EF $ 上时,展开纸片,折痕交 $ CD $ 于点 $ P $,连接 $ DM $ 交折痕 $ AP $ 于点 $ O $,则 $ AP $ 与 $ DM $ 的位置关系为, $ DO $ 与 $ OM $ 的数量关系为;
【再次探究】
(2) 如图 2,点 $ Q $ 在边 $ AB $ 上,点 $ D $ 的对应点为点 $ M $,点 $ A $ 的对应点为点 $ N $,若点 $ M $ 始终落在边 $ AB $ 上,展开纸片,折痕交 $ CD $ 于点 $ P $,连接 $ DM $ 交折痕 $ PQ $ 于点 $ O $,判断四边形 $ PDQM $ 的形状,并说明理由;
【拓展延伸】
(3) 如图 3,点 $ Q $ 在边 $ AD $ 上,点 $ D $ 的对应点为点 $ M $,若点 $ M $ 始终落在边 $ AB $ 上,且 $ AB = 8 $, $ AD = 4 $,直接写出 $ DQ $ 长度的取值范围.

(1)AP⊥DM，DO=OM；(2)菱形；(3)2≤DQ≤4

(1) 由折叠性质知AP为DM的对称轴，故AP垂直平分DM，因此AP⊥DM且DO=OM。
(2) 折叠后D与M、A与N关于PQ对称，故PQ垂直平分DM，即DO=OM，PQ⊥DM。∵CD//AB，∴∠PDO=∠QMO，又∠POD=∠QOM，∴△POD≌△QOM(ASA)，∴PD=QM。∵PD//QM，∴四边形PDQM为平行四边形，又PQ⊥DM，故四边形PDQM为菱形。
(3) 设DQ=x，Q(0,4-x)，M(m,0)，由DQ=MQ得√[m²+(x-4)²]=x，化简得m²=8x-16。∵0≤m≤8，∴0≤8x-16≤64，解得2≤x≤10，又Q在AD上，DQ≤AD=4，故2≤DQ≤4。