13. (2025 南阳三模)在平面直角坐标系中，边长为 $ 2 $ 的等边三角形 $ AOP $ 在第二象限，$ OA $ 与 $ x $ 轴重合，将 $ \triangle AOP $ 绕点 $ O $ 顺时针旋转 $ 60^{\circ} $，得到 $ \triangle A_1OP_1 $，再作 $ \triangle A_1OP_1 $ 关于原点 $ O $ 的中心对称图形，得到 $ \triangle A_2OP_2 $，再将 $ \triangle A_2OP_2 $ 绕点 $ O $ 顺时针旋转 $ 60^{\circ} $，得到 $ \triangle A_3OP_3 $，再作 $ \triangle A_3OP_3 $ 关于原点 $ O $ 的中心对称图形，得到 $ \triangle A_4OP_4 ··· ··· $ 依此类推，则点 $ P_{2025} $ 的坐标是()

A.$ (1, \sqrt{3}) $
B.$ (1, -\sqrt{3}) $
C.$ (2,0) $
D.$ (-2,0) $

D

初始等边三角形AOP在第二象限，OA与x轴重合，OA=2，故A(-2,0)，O(0,0)。P在第二象限，由等边三角形性质得P(-1,√3)，即P₀(-1,√3)。
变换规律：
1. 绕O顺时针旋转60°得P₁：由旋转公式得P₁(1,√3)；
2. 关于原点中心对称得P₂：P₂(-1,-√3)；
3. 绕O顺时针旋转60°得P₃：P₃(-2,0)；
4. 关于原点中心对称得P₄：P₄(2,0)；
5. 绕O顺时针旋转60°得P₅：P₅(1,-√3)；
6. 关于原点中心对称得P₆：P₆(-1,√3)=P₀，周期为6。
2025÷6=337……3，故P₂₀₂₅对应P₃(-2,0)。

14. (2025 德阳)如图，在平面直角坐标系中，$ A(2,0) $，$ B(0, 2\sqrt{3}) $，点 $ C $ 在直线 $ m: y = \dfrac{\sqrt{3}}{3}x - \dfrac{2\sqrt{3}}{3} $ 上，且 $ AC = 3 $，连接 $ AB $，$ BC $，将 $ \triangle ABC $ 绕点 $ C $ 顺时针旋转到 $ \triangle A_1B_1C_1 $，点 $ B $ 的对应点 $ B_1 $ 落在直线 $ m $ 上，再将 $ \triangle A_1B_1C_1 $ 绕点 $ B_1 $ 顺时针旋转到 $ \triangle A_2B_2C_2 $，点 $ A_1 $ 的对应点 $ A_2 $ 也落在直线 $ m $ 上……如此下去，则 $ A_{1001} $ 的纵坐标是.

3003

1. 确定关键信息：点A(2,0)在直线m: $ y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{2\sqrt{3}}{3} $上，AC=3且C在直线m上，故AC为直线m上长3的线段。直线m倾斜角30°，方向向量为$(\sqrt{3},1)$，sin30°=1/2。
2. △ABC的性质：A(2,0)，B(0,2√3)，AB=4，直线AB倾斜角120°，与直线m夹角90°，故△ABC为直角三角形（∠BAC=90°），AC=3，BC=5。
3. 旋转规律：每次旋转后，点沿直线m移动固定距离。绕C旋转时CB=CB₁=5，绕B₁旋转时A₁B₁=A₂B₁=4，每两次旋转A点沿直线m移动3+5+4=12，纵坐标增加12×sin30°=6，即每次旋转纵坐标增加3。
4. 周期与结果：Aₙ的纵坐标为3n，故A₁₀₀₁的纵坐标为3×1001=3003。

15. (2025 南阳二模)如图，在平面直角坐标系中，正方形 $ ABCD $ 的中心位于原点 $ O $ 处，$ AB = 4 $，$ BC ⊥ x $ 轴于点 $ E $，$ F $ 为 $ CE $ 的中点. 射线 $ l $ 的端点为 $ O $，将射线 $ l $ 从与 $ OF $ 重合的位置开始绕点 $ O $ 逆时针旋转，每次旋转 $ 45^{\circ} $，则第 $ 2025 $ 次旋转结束时，射线 $ l $ 与正方形 $ ABCD $ 的边的交点坐标为()

A.$ (-1,2) $
B.$ (1,2) $
C.$ \left(2, -\dfrac{2}{3}\right) $
D.$ \left(\dfrac{2}{3},2\right) $

D

1. 确定正方形顶点坐标：正方形中心在原点，AB=4，BC⊥x轴于E。由中心对称性及BC⊥x轴，得顶点坐标：A(-2,-2)，B(2,-2)，C(2,2)，D(-2,2)，E(2,0)。
2. 求点F坐标：F为CE中点，C(2,2)，E(2,0)，则F(2,1)。
3. 旋转角度分析：射线l从OF开始，每次逆时针旋转45°，第2025次旋转总角度为2025×45°。因360°=8×45°，周期为8，2025=8×253+1，故总旋转角度等价于45°。
4. 射线方程：初始射线OF斜率为1/2（F(2,1)），旋转45°后斜率tan(α+45°)=(1/2+1)/(1-1/2×1)=3，射线方程为y=3x。
5. 求交点：射线y=3x与正方形上边y=2交于x=2/3，交点坐标(2/3,2)。

16. (2025 河北)在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点. 如图，正方形 $ EFGH $ 与正方形 $ OABC $ 的顶点均为整点. 若只将正方形 $ EFGH $ 平移，使其内部(不含边界)有且只有 $ A $，$ B $，$ C $ 三个整点，则平移后点 $ E $ 的对应点坐标为()

A.$ (\dfrac{7}{5}, \dfrac{11}{5}) $
B.$ (\dfrac{8}{5}, \dfrac{23}{10}) $
C.$ (\dfrac{3}{2},2) $
D.$ (\dfrac{3}{2}, \dfrac{9}{4}) $

A

首先确定正方形EFGH的顶点坐标为E(1,2)、F(-1,1)、G(0,-1)、H(2,0)，其四条边所在直线方程分别为：EF：$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$，FG：$y=-2x-1$，GH：$y=\frac{1}{2}x-1$，HE：$y=-2x+4$。设平移向量为$(h,k)$，平移后E的对应点为$(1+h,2+k)$，需使平移后正方形内部（不含边界）仅有A、B、C三个整点。
对各选项分析：
选项A：$E'(\frac{7}{5},\frac{11}{5})$，则$h=0.4$，$k=0.2$。平移后边界方程为：上左$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$，下左$y=-2x$，下右$y=\frac{1}{2}x-1$，上右$y=-2x+5$。内部整点满足：$\frac{1}{2}x-1＜y＜\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$且$-2x＜y＜-2x+5$。解得整点为$(0,1)$、$(1,0)$、$(1,1)$，共3个，符合条件。
选项B、C、D：经计算，平移后内部整点数均超过3个，不符合题意。

17. 定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $ OABC $ 三个顶点的坐标分别为 $ O(0,0) $，$ A(6,0) $，$ C(0,8) $. 已知点 $ M(4,0) $，点 $ P $ 在边 $ AB $ 上，若 $ \triangle CMP $ 为“智慧三角形”，则点 $ P $ 的坐标为()

A.$ (6,2) $ 或 $ (6,6) $
B.$ (6,2) $ 或 $ (6,3) $
C.$ (6,1) $ 或 $ (6,3) $ 或 $ (6,6) $
D.$ (6,1) $ 或 $ (6,2) $ 或 $ (6,6) $

D

由题意，矩形$OABC$中，$O(0,0)$，$A(6,0)$，$C(0,8)$，$M(4,0)$，点$P$在$AB$上，设$P(6,p)$（$0\leq p\leq8$）。“智慧三角形”定义等价于直角三角形（斜边上中线等于斜边一半），分三种直角情况讨论：
1. $\angle M=90°$：向量$\overrightarrow{MC}=(-4,8)$，$\overrightarrow{MP}=(2,p)$，由$\overrightarrow{MC}·\overrightarrow{MP}=0$得$-4×2+8p=0$，解得$p=1$，即$P(6,1)$。
2. $\angle P=90°$：向量$\overrightarrow{PC}=(-6,8-p)$，$\overrightarrow{PM}=(-2,-p)$，由$\overrightarrow{PC}·\overrightarrow{PM}=0$得$(-6)(-2)+(8-p)(-p)=0$，即$p^2-8p+12=0$，解得$p=2$或$p=6$，即$P(6,2)$或$(6,6)$。
3. $\angle C=90°$：解得$p=11$（超出$AB$范围，舍去）。
综上，$P$坐标为$(6,1)$、$(6,2)$、$(6,6)$。