6. (2025 安徽) 某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛。如图，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段 $AB$ 和 $CD$ 表示，彩带用线段 $AD$ 表示。工作人员在点 $A$ 处测得点 $C$ 的俯角为 $23.8^{\circ}$，测得点 $D$ 的仰角为 $36.9^{\circ}$。已知 $AB = 13.20$ m，求 $AD$ 的长。（精确到 $0.1$ m，参考数据：$\sin 23.8^{\circ}\approx0.40$，$\cos 23.8^{\circ}\approx0.91$，$\tan 23.8^{\circ}\approx0.44$，$\sin 36.9^{\circ}\approx0.60$，$\cos 36.9^{\circ}\approx0.80$，$\tan 36.9^{\circ}\approx0.75$）
答案
37.5
解析
过点A作AE⊥CD于点E，则AE=BC，EC=AB=13.20m。在Rt△AEC中，∠EAC=23.8°，tan∠EAC=EC/AE，即0.44=13.20/AE，解得AE=30m。在Rt△AED中，∠EAD=36.9°，cos∠EAD=AE/AD，即0.80=30/AD，解得AD=37.5m。
7. (2025 商丘三模) 老君山老子文化苑的老子铜像被吉尼斯世界纪录认证为“世界上最高的老子铜像”。如图 1，某数学活动小组到老君山老子文化苑测量老子铜像（含底座）的高度，具体过程如下：
方案设计：如图 2，在老子铜像（含底座）的两侧地面上选取 $A$，$B$ 两点，先测得 $A$，$B$ 两点之间的距离，再在 $A$，$B$ 两点利用同一测角仪分别测得铜像头顶的仰角（点 $A$，$D$，$B$ 在同一水平线上）。
数据收集：通过实地测量，地面 $A$，$B$ 之间的距离为 $46$ m，在点 $A$ 处测得铜像头顶的仰角为 $78^{\circ}$，在点 $B$ 处测得铜像头顶的仰角为 $60^{\circ}$。
问题解决：已知测角仪 $AE$ 的高度为 $1.5$ m，求老子铜像（含底座）$CD$ 的高度。（结果精确到 $1$ m，参考数据：$\sin 78^{\circ}\approx0.98$，$\cos 78^{\circ}\approx0.21$，$\tan 78^{\circ}\approx4.70$，$\sqrt{3}\approx1.7$）
方案设计：如图 2，在老子铜像（含底座）的两侧地面上选取 $A$，$B$ 两点，先测得 $A$，$B$ 两点之间的距离，再在 $A$，$B$ 两点利用同一测角仪分别测得铜像头顶的仰角（点 $A$，$D$，$B$ 在同一水平线上）。
数据收集：通过实地测量，地面 $A$，$B$ 之间的距离为 $46$ m，在点 $A$ 处测得铜像头顶的仰角为 $78^{\circ}$，在点 $B$ 处测得铜像头顶的仰角为 $60^{\circ}$。
问题解决：已知测角仪 $AE$ 的高度为 $1.5$ m，求老子铜像（含底座）$CD$ 的高度。（结果精确到 $1$ m，参考数据：$\sin 78^{\circ}\approx0.98$，$\cos 78^{\circ}\approx0.21$，$\tan 78^{\circ}\approx4.70$，$\sqrt{3}\approx1.7$）
答案
59
解析
设铜像高度为 $ CD = h \, \mathrm{m} $，测角仪高度 $ AE = BF = 1.5 \, \mathrm{m} $，则 $ C $ 点相对测角仪的垂直高度为 $ h - 1.5 \, \mathrm{m} $。设 $ AD = x \, \mathrm{m} $，则 $ DB = (46 - x) \, \mathrm{m} $。
在 $ \triangle CED $ 中，$ \tan 78° = \frac{h - 1.5}{x} \Rightarrow x = \frac{h - 1.5}{\tan 78°} $。
在 $ \triangle CFD $ 中，$ \tan 60° = \frac{h - 1.5}{46 - x} \Rightarrow 46 - x = \frac{h - 1.5}{\tan 60°} $。
两式相加：$ x + (46 - x) = (h - 1.5)\left( \frac{1}{\tan 78°} + \frac{1}{\tan 60°} \right) $，即 $ 46 = (h - 1.5)\left( \frac{1}{4.70} + \frac{1}{1.7} \right) $。
计算括号内：$ \frac{1}{4.70} \approx 0.213 $，$ \frac{1}{1.7} \approx 0.588 $，和为 $ 0.213 + 0.588 = 0.801 $。
则 $ h - 1.5 \approx \frac{46}{0.801} \approx 57.4 $，故 $ h \approx 57.4 + 1.5 = 58.9 \approx 59 \, \mathrm{m} $。
在 $ \triangle CED $ 中，$ \tan 78° = \frac{h - 1.5}{x} \Rightarrow x = \frac{h - 1.5}{\tan 78°} $。
在 $ \triangle CFD $ 中，$ \tan 60° = \frac{h - 1.5}{46 - x} \Rightarrow 46 - x = \frac{h - 1.5}{\tan 60°} $。
两式相加：$ x + (46 - x) = (h - 1.5)\left( \frac{1}{\tan 78°} + \frac{1}{\tan 60°} \right) $，即 $ 46 = (h - 1.5)\left( \frac{1}{4.70} + \frac{1}{1.7} \right) $。
计算括号内：$ \frac{1}{4.70} \approx 0.213 $，$ \frac{1}{1.7} \approx 0.588 $，和为 $ 0.213 + 0.588 = 0.801 $。
则 $ h - 1.5 \approx \frac{46}{0.801} \approx 57.4 $，故 $ h \approx 57.4 + 1.5 = 58.9 \approx 59 \, \mathrm{m} $。
