教材溯源→1. (华师七下P125)如图,四边形ABCD是正方形,△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合.
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转了多少度？
(3)如果连接EF,那么△AEF是怎样的三角形？
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转了多少度？
(3)如果连接EF,那么△AEF是怎样的三角形？
答案
1. （1）
解：因为$\triangle ADE$经顺时针旋转后与$\triangle ABF$重合，$A$点在旋转过程中位置不变。
所以旋转中心是点$A$。
2. （2）
解：由于四边形$ABCD$是正方形，$\angle DAB = 90^{\circ}$，$AD$旋转后与$AB$重合。
所以旋转角$\angle DAB=90^{\circ}$，即旋转了$90^{\circ}$。
3. （3）
解：因为$\triangle ADE$绕点$A$顺时针旋转$90^{\circ}$后与$\triangle ABF$重合，所以$AE = AF$，$\angle EAF=\angle DAB = 90^{\circ}$。
根据等腰直角三角形的定义（有一个角是$90^{\circ}$的等腰三角形是等腰直角三角形），可知$\triangle AEF$是等腰直角三角形。
综上，答案依次为：（1）点$A$；（2）$90^{\circ}$；（3）等腰直角三角形。
解：因为$\triangle ADE$经顺时针旋转后与$\triangle ABF$重合，$A$点在旋转过程中位置不变。
所以旋转中心是点$A$。
2. （2）
解：由于四边形$ABCD$是正方形，$\angle DAB = 90^{\circ}$，$AD$旋转后与$AB$重合。
所以旋转角$\angle DAB=90^{\circ}$，即旋转了$90^{\circ}$。
3. （3）
解：因为$\triangle ADE$绕点$A$顺时针旋转$90^{\circ}$后与$\triangle ABF$重合，所以$AE = AF$，$\angle EAF=\angle DAB = 90^{\circ}$。
根据等腰直角三角形的定义（有一个角是$90^{\circ}$的等腰三角形是等腰直角三角形），可知$\triangle AEF$是等腰直角三角形。
综上，答案依次为：（1）点$A$；（2）$90^{\circ}$；（3）等腰直角三角形。
母题变式→2. 如图1,在正方形ABCD中,点E在边BC上,延长CD至点H,使DH=BE,连接AH,AE.求证:AE=AH.
(1)小明写出了如下证明过程:
∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠B=∠ADC=90°.∴∠ADH=90°=∠B.
∵BE=DH,∴△ABE≌△ADH().
∴AE=AH.
上述证明过程中,括号内应填写的证明依据是.
【探究】(2)如图2,连接EH,将线段EC绕着点E旋转,使点C的对应点F落在AE上,过点F作FG⊥AE交EH于点G.
求证:$GH=\sqrt{2}AF$.
【应用】(3)将图2中的△EFG绕着点E顺时针旋转α(0°＜α＜90°),当A,F,G三点在同一条直线上时,若AB=4,BE=1,直接写出此时线段GH的长.
(1)小明写出了如下证明过程:
∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠B=∠ADC=90°.∴∠ADH=90°=∠B.
∵BE=DH,∴△ABE≌△ADH().
∴AE=AH.
上述证明过程中,括号内应填写的证明依据是.
【探究】(2)如图2,连接EH,将线段EC绕着点E旋转,使点C的对应点F落在AE上,过点F作FG⊥AE交EH于点G.
求证:$GH=\sqrt{2}AF$.
【应用】(3)将图2中的△EFG绕着点E顺时针旋转α(0°＜α＜90°),当A,F,G三点在同一条直线上时,若AB=4,BE=1,直接写出此时线段GH的长.
答案
解$:(1)SAS$
$(2)$证明：如答图$2,$过点$G$作$GM⊥AH$于点$M.$
∴$∠AMG=∠GMH=90°$
由$(1)，$得$△ABE≌△ADH.$
∴$∠BAE=∠DAH.$
∵$∠BAD=∠BAE+∠EAD=90°,$
∴$∠EAH=∠DAH+∠EAD=90°$
∵$FG⊥AE,$
∴$∠AFG=90°$
∴$∠EAH=∠AFG=∠AMG=90°$
∴四边形$AFGM$为矩形$.$
∴$AF=MG,AF//MG.$
∵$AE=AH，$$∠EAH =90°，$
∴$△EAH$为等腰直角三角形$.$
∴$∠AEH=45$
又$GM//AE,$
∴$∠MGH=∠AEH=45°$
在$Rt△GMH$中$,cos∠MGH=\frac{MG}{GH}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴$GH=\sqrt{2}MG$
又$AF=MG,$
∴$GH =\sqrt{2}AF.$
$(3)GH=4$ 
