6. (2021 河南,21)猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色, 猕猴玩偶非常畅销. 小李在某网店选中 A, B 两款猕猴玩偶, 决定从该网店进货并销售. 两款玩偶的进货价和销售价如下表:
(1)第一次小李用 1 100 元购进了 A, B 两款玩偶共 30 个, 求两款玩偶各购进多少个.
(2)第二次小李进货时, 网店规定 A 款玩偶进货数量不得超过 B 款玩偶进货数量的一半. 小李计划购进两款玩偶共 30 个, 应如何设计进货方案才能获得最大利润, 最大利润是多少?
(3)小李第二次进货时采取了(2)中设计的方案, 并且两次购进的玩偶全部售出, 请从利润率的角度分析, 对于小李来说哪一次更合算?
(注: 利润率 $ = \frac { \mathrm{ 利润 } } { \mathrm{ 成本 } } × 100 \% $ )
(1)第一次小李用 1 100 元购进了 A, B 两款玩偶共 30 个, 求两款玩偶各购进多少个.
(2)第二次小李进货时, 网店规定 A 款玩偶进货数量不得超过 B 款玩偶进货数量的一半. 小李计划购进两款玩偶共 30 个, 应如何设计进货方案才能获得最大利润, 最大利润是多少?
(3)小李第二次进货时采取了(2)中设计的方案, 并且两次购进的玩偶全部售出, 请从利润率的角度分析, 对于小李来说哪一次更合算?
(注: 利润率 $ = \frac { \mathrm{ 利润 } } { \mathrm{ 成本 } } × 100 \% $ )
答案
(1) A款玩偶20个，B款玩偶10个；
(2) A款玩偶10个，B款玩偶20个，最大利润是460元；
(3) 第二次
(2) A款玩偶10个，B款玩偶20个，最大利润是460元；
(3) 第二次
解析
(1) 设购进A款玩偶$x$个，B款玩偶$y$个，依题意有：
$\begin{cases}x + y = 30, \\40x + 30y = 1100.\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 20, \\y = 10.\end{cases}$
所以购进A款玩偶20个，B款玩偶10个。
(2) 设购进A款玩偶$a$个，则购进B款玩偶$30 - a$个，依题意有：
$a \leq \frac{1}{2}(30 - a)$，
解得$a \leq 10$，
设利润为$w$元，则
$w = (56 - 40)a + (45 - 30)(30 - a) = 16a + 15(30 - a) = a + 450$，
因为$1 ＞ 0$，
所以$w$随$a$的增大而增大，
所以当$a = 10$时，$w$取最大值，即$w = 10 + 450 = 460$，
此时$30 - a = 30 - 10 = 20$，
所以应购进A款玩偶10个、B款玩偶20个才能获得最大利润，最大利润是460元。
(3) 第一次销售利润为：
$(56 - 40) × 20 + (45 - 30) × 10 = 320 + 150 = 470 \mathrm{(元)}$,
第一次利润率为：
$\frac{470}{1100} × 100\% \approx 42.73\%$，
第二次销售利润率为：
$\frac{460}{10 × 40 + 20 × 30} × 100\% = \frac{460}{1000} × 100\% = 46\%$，
因为$46\% ＞ 42.73\%$，
所以对于小李来说第二次的进货方案更合算。
$\begin{cases}x + y = 30, \\40x + 30y = 1100.\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 20, \\y = 10.\end{cases}$
所以购进A款玩偶20个，B款玩偶10个。
(2) 设购进A款玩偶$a$个，则购进B款玩偶$30 - a$个，依题意有：
$a \leq \frac{1}{2}(30 - a)$，
解得$a \leq 10$，
设利润为$w$元，则
$w = (56 - 40)a + (45 - 30)(30 - a) = 16a + 15(30 - a) = a + 450$，
因为$1 ＞ 0$，
所以$w$随$a$的增大而增大，
所以当$a = 10$时，$w$取最大值，即$w = 10 + 450 = 460$，
此时$30 - a = 30 - 10 = 20$，
所以应购进A款玩偶10个、B款玩偶20个才能获得最大利润，最大利润是460元。
(3) 第一次销售利润为：
$(56 - 40) × 20 + (45 - 30) × 10 = 320 + 150 = 470 \mathrm{(元)}$,
第一次利润率为：
$\frac{470}{1100} × 100\% \approx 42.73\%$，
第二次销售利润率为：
$\frac{460}{10 × 40 + 20 × 30} × 100\% = \frac{460}{1000} × 100\% = 46\%$，
因为$46\% ＞ 42.73\%$，
所以对于小李来说第二次的进货方案更合算。
7. (2025 郑州模拟)水龙头关闭不严会造成滴水, 为了调查漏水量与漏水时间的关系, 某兴趣小组进行以下试验与探究:
试验: 在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器量筒, 每 5 min 记录一次容器中的水量, 但由于操作延误, 开始计时的时候量筒中已经有少量水, 因而得到下表中的一组数据.
探究: (1)根据上表中的数据, 请判断 $ y = \frac { k _ { 1 } } { t } $ ($ k _ { 1 } \neq 0 $)和 $ y = k _ { 2 } t + b $ ($ k _ { 2 } \neq 0, k _ { 2 }, b $ 为常数)哪个解析式能准确地反映水量 $ y $ 与时间 $ t $ 的函数关系? 求出该解析式并写出漏记的 $ a $ 值.
应用: (2)①兴趣小组用 100 mL 量筒进行测量, 请估计在第 30 分钟量筒是否滴满?
②成年人每天大约需饮水 1 600mL, 请估算这个水龙头一个月(按 30 天计)的漏水量可供一个成年人饮用的天数.
试验: 在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器量筒, 每 5 min 记录一次容器中的水量, 但由于操作延误, 开始计时的时候量筒中已经有少量水, 因而得到下表中的一组数据.
探究: (1)根据上表中的数据, 请判断 $ y = \frac { k _ { 1 } } { t } $ ($ k _ { 1 } \neq 0 $)和 $ y = k _ { 2 } t + b $ ($ k _ { 2 } \neq 0, k _ { 2 }, b $ 为常数)哪个解析式能准确地反映水量 $ y $ 与时间 $ t $ 的函数关系? 求出该解析式并写出漏记的 $ a $ 值.
应用: (2)①兴趣小组用 100 mL 量筒进行测量, 请估计在第 30 分钟量筒是否滴满?
②成年人每天大约需饮水 1 600mL, 请估算这个水龙头一个月(按 30 天计)的漏水量可供一个成年人饮用的天数.
答案
(1) $y = 3t + 2, a = 62$；(2) ①未满；② 81
解析
(1) 由表中数据可知，水量 $y$ 与时间 $t$ 之间为一次函数关系，设 $y = k_2 t + b$，
将 $(5, 17)$ 和 $(10, 32)$ 代入方程：
$\begin{cases}17 = 5k_2 + b, \\32 = 10k_2 + b.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}k_2 = 3, \\b = 2.\end{cases}$
因此，解析式为 $y = 3t + 2$。
当 $t = 20$ 时，$y = a = 3 × 20 + 2 = 62$。
(2) ① 当 $t = 30$ 时，代入解析式 $y = 3 × 30 + 2 = 92 ＜ 100$，因此量筒未满。
② 水龙头每分钟漏水量为 $3$ mL，一个月漏水量为 $3 × 60 × 24 × 30 = 129600 \mathrm{(mL)}$（按每月 30 天，每天 24 小时，每小时 60 分钟计算），
可供一个成年人饮用的天数为：
$129600 ÷ 1600 = 81 \mathrm{(天)}$
将 $(5, 17)$ 和 $(10, 32)$ 代入方程：
$\begin{cases}17 = 5k_2 + b, \\32 = 10k_2 + b.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}k_2 = 3, \\b = 2.\end{cases}$
因此，解析式为 $y = 3t + 2$。
当 $t = 20$ 时，$y = a = 3 × 20 + 2 = 62$。
(2) ① 当 $t = 30$ 时，代入解析式 $y = 3 × 30 + 2 = 92 ＜ 100$，因此量筒未满。
② 水龙头每分钟漏水量为 $3$ mL，一个月漏水量为 $3 × 60 × 24 × 30 = 129600 \mathrm{(mL)}$（按每月 30 天，每天 24 小时，每小时 60 分钟计算），
可供一个成年人饮用的天数为：
$129600 ÷ 1600 = 81 \mathrm{(天)}$
