基础知识·预习
问题1 请你从几何直观的角度用图形的面积解释平方差公式.
问题2 请你说一说平方差公式的结构特征.

解：
问题1
取边长为$a$的大正方形，在它的一个角上剪去一个边长为$b$（$a＞b$）的小正方形，剩余部分的面积为$a^2 - b^2$。
将剩余图形分割后拼接成一个长为$(a+b)$、宽为$(a-b)$的长方形，该长方形的面积为$(a+b)(a-b)$。
拼接前后图形的面积相等，因此可得$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，从几何面积的角度解释了平方差公式。
问题2
平方差公式的结构特征：
1. 公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
2. 公式右边是相同项的平方减去符号相反项的平方，也就是两个数的平方差；
3. 公式里的$a$和$b$可以是具体数字，也可以是单项式或多项式。

【典型例题1】计算：
(1)$(x+1)(x-1)$；
(2)$(2a-b)(b+2a)$；
(3)$(-2a-3b)(2a-3b)$；
(4)$(m+\dfrac{1}{2})(m-\dfrac{1}{2})(m^2+\dfrac{1}{4})$。
思路导引 运用平方差公式计算时，一定要分清谁是公式中的$a$，谁是$b$，不要受字母位置顺序因素干扰。
【解】(1)原式$=x^2-1^2=x^2-1$。
(2)原式$=(2a)^2-b^2=4a^2-b^2$。
(3)原式$=(-3b)^2-(2a)^2=9b^2-4a^2$。
(4)原式$=[(m+\dfrac{1}{2})(m-\dfrac{1}{2})](m^2+\dfrac{1}{4})$
$=(m^2-\dfrac{1}{4})(m^2+\dfrac{1}{4})=m^4-\dfrac{1}{16}$。
规律方法 平方差公式的常见变形
(1)位置变化：$(a+b)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a^2-b^2$；
(2)符号变化：$(-a+b)(-a-b)=(-a)^2-b^2=a^2-b^2$；
(3)系数变化：$(2a+3b)(2a-3b)=(2a)^2-(3b)^2=4a^2-9b^2$；
(4)指数变化：$(a^3+b^2)(a^3-b^2)=(a^3)^2-(b^2)^2=a^6-b^4$；
(5)项数变化：$(a+b+c)(a+b-c)=(a+b)^2-c^2$。

解：
(1) 原式$=x^2 - 1^2 = x^2 - 1$
(2) 原式$=(2a - b)(2a + b) = (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$
(3) 原式$=(-3b - 2a)(-3b + 2a) = (-3b)^2 - (2a)^2 = 9b^2 - 4a^2$
(4) 原式$=[(m+\dfrac{1}{2})(m-\dfrac{1}{2})](m^2+\dfrac{1}{4})$
$=(m^2 - (\dfrac{1}{2})^2)(m^2 + \dfrac{1}{4})$
$=(m^2 - \dfrac{1}{4})(m^2 + \dfrac{1}{4})$
$=(m^2)^2 - (\dfrac{1}{4})^2$
$=m^4 - \dfrac{1}{16}$