11. 如图,在$□ ABCD$中,$E,F$分别为$BC,AD$上的点,$BD$和$EF$相交于点$O$,且$OE=OF$.
求证:四边形$AECF$是平行四边形.

11. 证明:
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC,AD = BC$，
∴ $∠ODF = ∠OBE$.
在$△DOF$和$△BOE$中，
∵ $\begin{cases} ∠ODF = ∠OBE, \\ ∠DOF = ∠BOE, \\ OF = OE, \end{cases}$
∴ $△DOF≌△BOE(\mathrm{AAS})$，
∴ $DF = BE$，
∴ $AD - DF = BC - BE$，
即 $AF = EC$，
∴ 四边形$AECF$为平行四边形.

12. 如图,在$△ ABC$中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线,交CE的延长线于点F,且$AF = BD$,连接BF.
(1)BD与$CD$有什么数量关系?说明理由.
(2)当$△ ABC$满足什么条件时,四边形$AFBD$是矩形?说明理由.

12. 解:(1)$BD = CD$. 理由如下：
依题意得 $AF// BC$，
∴ $∠AFE = ∠DCE$.
∵ E是AD的中点,
∴ $AE = DE$.
在$△AEF$和$△DEC$中，
∵ $\begin{cases} ∠AFE = ∠DCE, \\ ∠AEF = ∠DEC, \\ AE = DE, \end{cases}$
∴ $△AEF≌△DEC(\mathrm{AAS})$，
∴ $AF = CD$.
∵ $AF = BD$，
∴ $BD = CD$.
(2)当$△ABC$满足$AB = AC$时,四边形$AFBD$是矩形.
∵ $AB = AC,BD = CD$，
∴ $∠ADB = 90°$，
∴ 四边形$AFBD$是矩形.