22.(本题10分)已知BD是$□ ABCD$的对角线。小滨和小江分别用尺规作特殊的平行四边形：
(1)小滨:如图1作BD的中垂线,分别交BC,AD,BD于点E,F,O,连结BF,DE,则得到的四边形BEDF是菱形。请问小滨的作法是否正确?若正确,请证明;若不正确,请说明理由;
(2)小江:如图2,过BD中点O作直线MQ,分别交AB,CD于点M,Q。以点O为圆心,OM长为半径画弧,与边AD交于点N,连结NO并延长NO交BC于点P,连结MN,NQ,QP,PM,则得到的四边形MPQN是矩形。请问小江的作法是否正确?若正确,请证明;若不正确,请说明理由。

22.解:(1)小滨的作法正确。证明:因为EF垂直平分BD,所以$BF=DF$,所以$∠ DFO=∠ BFO$。因为在$□ABCD$中,$AD// BC$,所以$∠ DFO=∠ BEO$,所以$∠ BFO=∠ BEO$,所以$BE=BF$,所以$BE=DF$(或证$OE=OF$)。又因为$BE// DF$(或证$OB=OD$),所以四边形BEDF是平行四边形。又因为$BE=BF$,所以四边形BEDF是菱形；(2)小江的作法正确。证明:因为在$□ABCD$中,$AB// CD$,所以$∠ ABO=∠ ODC$。因为O为BD中点,所以$BO=DO$。又因为$∠ MOB=∠ QOD$,所以$△ BOM≌△ DOQ$(ASA),所以$MO=QO$。同理可证,$△ DNO≌△ BPO$,所以$NO=PO$,所以四边形MPQN是平行四边形。又因为$MO=NO$,所以$MQ=PN$,所以四边形MPQN是矩形。

【分析】
本题需结合平行四边形的性质，以及菱形、矩形的判定定理，通过全等三角形的证明完成推导。
(1) 小滨的作法：先利用线段垂直平分线的性质，结合平行四边形对边平行的特点，证明四边形BEDF是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形完成判定；
(2) 小江的作法：先利用平行四边形的中点条件，通过全等三角形证明四边形MPQN是平行四边形，再结合半径相等得到对角线相等，从而判定为矩形。
【解析】
(1) 小滨的作法正确，证明如下：
∵ EF垂直平分BD，
∴ OB=OD，EF⊥BD，BF=DF，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠DFO=∠BEO，
又
∵ ∠DOF=∠BOE=90°，
∴ △DOF≌△BOE（AAS），
∴ OE=OF，
∴ 四边形BEDF的对角线互相平分，故四边形BEDF是平行四边形，
又
∵ BF=DF，
∴ 平行四边形BEDF是菱形。
(2) 小江的作法正确，证明如下：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，
∴ ∠MBO=∠QDO，
∵ O是BD中点，
∴ BO=DO，
又
∵ ∠MOB=∠QOD，
∴ △BOM≌△DOQ（ASA），
∴ MO=QO，
同理，
∵ AD//BC，
∴ ∠NDO=∠PBO，
又
∵ DO=BO，∠DON=∠BOP，
∴ △DNO≌△BPO（ASA），
∴ NO=PO，
∴ 四边形MPQN的对角线互相平分，故四边形MPQN是平行四边形，
又
∵ 以O为圆心，OM长为半径画弧得N，
∴ OM=ON，
∴ MQ=MO+QO=2MO，PN=NO+PO=2NO，
∴ MQ=PN，
∴ 平行四边形MPQN是矩形。
【答案】
22.解:(1)小滨的作法正确。证明:因为EF垂直平分BD,所以$BF=DF$,所以$∠ DFO=∠ BFO$。因为在$□ABCD$中,$AD// BC$,所以$∠ DFO=∠ BEO$,所以$∠ BFO=∠ BEO$,所以$BE=BF$,所以$BE=DF$(或证$OE=OF$)。又因为$BE// DF$(或证$OB=OD$),所以四边形BEDF是平行四边形。又因为$BE=BF$,所以四边形BEDF是菱形；(2)小江的作法正确。证明:因为在$□ABCD$中,$AB// CD$,所以$∠ ABO=∠ ODC$。因为O为BD中点,所以$BO=DO$。又因为$∠ MOB=∠ QOD$,所以$△ BOM≌△ DOQ$(ASA),所以$MO=QO$。同理可证,$△ DNO≌△ BPO$,所以$NO=PO$,所以四边形MPQN是平行四边形。又因为$MO=NO$,所以$MQ=PN$,所以四边形MPQN是矩形。
【知识点】
平行四边形性质，特殊平行四边形判定，全等三角形判定
【点评】
本题结合尺规作图考查特殊平行四边形的判定，需熟练运用平行四边形、菱形、矩形的判定定理及全等三角形知识，逻辑推理要求较高，是典型的几何综合题。
【难度系数】
0.5

23.(本题10分)阅读材料:如果$x_1,x_2$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个实数根,且$x_1,x_2$均不为0,若其中一个根是另外一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”;例如:1,2是方程$x^2-3x+2=0$的两根,2是1的2倍,则这是一个“倍根方程”。
(1)解方程:$x^2+9x+18=0$,并判断该方程是否属于“倍根方程”;
(2)已知关于$x$的一元二次方程$x^2+(k+3)x+2k+2=0(k≠1)$,
①求证:该方程必有两个不相等的实数根;
②若该方程是“倍根方程”,求$k$的值。

23.解:(1)该方程属于“倍根方程”,理由如下:由题意,因为$x^2+9x+18=0$,所以$(x+3)(x+6)=0$,所以$x=-3$或$x=-6$,所以其中一个根是另外一个根的2倍,所以该方程属于“倍根方程”；
(2)①证明:因为一元二次方程为$x^2+(k+3)x+2k+2=0(k≠1)$,所以$\Delta=(k+3)^2-4(2k+2)=k^2+6k+9-8k-8=k^2-2k+1=(k-1)^2$。因为$k≠1$,所以对于任意实数$k(k≠1)$都有$(k-1)^2＞0$,所以该方程必有两个不相等的实数根；②由题意,因为$x^2+(k+3)x+2k+2=0$,所以$[x+(k+1)](x+2)=0$,所以$x=-k-1$或$x=-2$。又因为该方程是“倍根方程”,所以$-k-1=2×(-2)$,或$2(-k-1)=-2$,所以$k=3$或$k=0$。

【分析】
本题是“倍根方程”的新定义题型，解题思路如下：(1)先通过因式分解法解一元二次方程，得到两根后，依据“倍根方程”的定义判断是否符合；(2)①要证明方程有两个不相等的实数根，需计算判别式，将其变形为完全平方形式，结合k≠1的条件判断判别式大于0；②先因式分解求出方程的两根，再根据“倍根方程”中“一根是另一根的2倍”的条件，分两种情况列方程求解k的值。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 + 9x + 18 = 0$，因式分解得$(x + 3)(x + 6) = 0$，解得$x_1 = -3$，$x_2 = -6$。因为$-6 = 2×(-3)$，即其中一个根是另一个根的2倍，所以该方程属于“倍根方程”。
(2) ① 对于一元二次方程$x^2 + (k + 3)x + 2k + 2 = 0(k≠1)$，计算判别式：
$\Delta = (k + 3)^2 - 4×1×(2k + 2) = k^2 + 6k + 9 - 8k - 8 = k^2 - 2k + 1 = (k - 1)^2$。
因为$k≠1$，所以$(k - 1)^2 ＞ 0$，因此该方程必有两个不相等的实数根。
② 对$x^2 + (k + 3)x + 2k + 2 = 0$因式分解得$[x + (k + 1)](x + 2) = 0$，解得两根为$x_1 = -k - 1$，$x_2 = -2$。
因为该方程是“倍根方程”，所以分两种情况：
情况一：$-k - 1 = 2×(-2)$，解得$k = 3$；
情况二：$2×(-k - 1) = -2$，解得$k = 0$。
综上，$k$的值为3或0。
【答案】
(1) 该方程属于“倍根方程”；(2) ① 证明见解析；② $k$的值为3或0。
【知识点】
一元二次方程的解法、根的判别式、新定义问题
【点评】
本题属于新定义类题型，需要准确理解“倍根方程”的核心定义，结合一元二次方程的因式分解解法、根的判别式等基础知识解题，重点考查学生的阅读理解能力与知识应用能力，是常规的中档题型。
【难度系数】
0.5