1. (2026·洛阳期末)若等腰三角形的两边长分别是3 cm 和5 cm,则这个等腰三角形的周长是.

1. 11 cm 或 13 cm 解析:分情况讨论:①当等腰三角形的三边长是 3 cm,3 cm,5 cm 时,符合三角形的三边关系,此时周长为 11 cm;②当等腰三角形的三边长是 3 cm,5 cm,5 cm 时,符合三角形的三边关系,此时周长是 13 cm.

2. (2026·盐城校级月考)已知等腰三角形的周长为15,其中一边的长为3,则该等腰三角形的腰长是.

2. 6 解析:
∵ 等腰三角形的周长为 15,其中一边的长为 3,
∴ 有以下两种情况:①当腰长是 3 时,则底边长为 15-2×3=9,此时该等腰三角形的三边长为 3,3,9.
∵ 3+3＜9,不符合构成三角形的条件,
∴ 该情况舍去;②当底边长为 3 时,则腰长为$\dfrac{1}{2}×(15-3)=6$,此时该等腰三角形的三边长为 6,6,3.
∵ 3+6＞6,符合构成三角形的条件,
∴ 该情况成立.综上所述,该等腰三角形的腰长为 6.

3. (1) 若等腰三角形的一个角为 $80°$, 则顶角为.
(2) 若等腰三角形的一个角为 $110°$, 则顶角为.
(3)若等腰三角形的一个角为另一个角的两倍,则其底角为.
(4)已知等腰三角形中,有一个角比另一个角的 2 倍少 $20°$, 则顶角度数为.

3. (1)$20°$或$80°$ 解析:根据等腰三角形的性质,分两种情况讨论:①当$80°$角为顶角时,顶角度数即为$80°$;②当$80°$角为底角时,$180°-2×80°=180°-160°=20°$,即顶角等于$20°$.综上所述,若等腰三角形的一个角是$80°$,则顶角的度数是$80°$或$20°$.
(2)$110°$ 解析:
∵ 等腰三角形的一个角是$110°$,三角形的内角和为$180°$,
∴ 等腰三角形的顶角为$110°$.
(3)$45°$或$72°$ 解析:①底角是顶角的 2 倍,底角为$180°÷(2+1)×2=72°$;②顶角是底角的 2 倍,底角为$180°÷(2+1+1)=45°$.故它的底角是$72°$或$45°$.
(4)$44°$或$80°$或$140°$ 解析:设另一个角是$x$,表示出一个角是$(2x-20°)$,①当$x$是顶角,$(2x-20°)$是底角时,$x+2(2x-20°)=180°$,解得$x=44°$,顶角是$44°$;②当$x$是底角,$(2x-20°)$是顶角时,$2x+(2x-20°)=180°$,解得$x=50°$,顶角是$2×50°-20°=80°$;③当$x$与$2x-20°$都是底角时,$x=2x-20°$,解得$x=20°$,顶角是$180°-20°×2=140°$.综上所述,这个等腰三角形的顶角度数是$44°$或$80°$或$140°$.

4. (2025·东莞期中) 在 $△ ABC$ 中, $AB=AC, BD$ 是 $AC$ 边上的高, $∠ ABD=50°$, 则 $∠ C$ 的度数为.

4. $70°$或$20°$ 解析:①当顶角为锐角时,$∠ BAC=90°-50°=40°$,$\therefore ∠ ACB=\dfrac{1}{2}×(180°-40°)=70°$;②当顶角为钝角时,$∠ BAC=90°+50°=140°$,$\therefore ∠ ACB=\dfrac{1}{2}×(180°-140°)=20°$.综上所述,$∠ C$的度数为$70°$或$20°$.

5. 如果等腰三角形的一条高与一腰所成角是$50°$，那么这个等腰三角形的顶角的度数为.

5. $100°$或$40°$或$140°$ 解析:①如图①,$\because AB=AC$,$∠ ABD=50°$,$BD⊥ AC$,$\therefore ∠ A=40°$.②如图②,$\because AB=AC$,$∠ ABD=50°$,$BD⊥ AC$,$\therefore ∠ BAC=50°+90°=140°$.③如图③,$\because AB=AC$,$AD⊥ BC$,$∠ BAD=50°$,$\therefore ∠ BAC=2∠ BAD=100°$.故答案为$100°$或$40°$或$140°$.

6. 已知等腰三角形的底边长为6,一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分,其中一部分比另外一部分长2,则三角形的腰长是.

6. 8 或 4 解析:如图①②,$\because BD$是$△ ABC$腰$AC$的中线,$\therefore AD=DC$,$\therefore AB+AD-(BC+DC)=2$或$BC+DC-(AB+AD)=2$.$\because BC=6$,$\therefore AB=8$或$AB=4$.

7. 已知等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为12 cm和15 cm两部分,求它的三边长.

7. 设腰长为$x\ \mathrm{cm}$,则有$x+\dfrac{1}{2}x=12$或$x+\dfrac{1}{2}x=15$,所以$x=8$或$x=10$.①当腰长为 8 cm 时,可得底边长为 11 cm;②当腰长为 10 cm 时,可得底边长为 7 cm. 所以等腰三角形的三边长为 8 cm,8 cm,11 cm 或 10 cm,10 cm,7 cm.

专题提优 10 等腰三角形中的分类讨论
时需分类讨论
等腰三角形的两边长分
这个等腰三角形的周
)已知等腰三角形的周
长为3,则该等腰三角形
明确时需分类讨论
的一个角为$80^{\circ }$,则顶
的一个角为$110^{\circ }$,则顶
一个角为另一个角的两
.
中,有一个角比另一个角
度数为.
明确时需分类讨论
$△ ABC$中,$AB=AC,BD$
$BD=50^{\circ }$,则$∠ C$的度
一条高与一腰所成角是
三角形的顶角的度
起的分类讨论
边长为6,一条腰上的中
为两部分,其中一部分比
角形的腰长是.
上的中线把它的周长分
部分,求它的三边长.
类型五 垂直平分线引
8.已知线段AB的垂直
$∠ ADB=80^{\circ },∠ CAD=$
9.(2025·无锡期中)
的垂直平分线与AC
角为$50^{\circ }$,则$△ ABC$的
类型六 构造等腰三
10.(绍兴中考)如图,在
$∠ BAC=80^{\circ }$,以点A
弧,交射线BA于点
度数是.
11.有一张三角形纸片
AC边上一点,沿B
后,发现所得两纸片
的度数可以是
12.有一块直角三角形
别为3 m,4 m,现在
角形,且扩充时只能
条,画出扩充后的等
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解：
1. （对应第一空：等腰三角形一个内角是另一个内角的2倍）
设等腰三角形较小的内角为$x$，较大的内角为$2x$。
① 当底角为$x$，顶角为$2x$时：
$x+x+2x=180°$，解得$x=45°$，底角为$45°$；
② 当底角为$2x$，顶角为$x$时：
$2x+2x+x=180°$，解得$x=36°$，底角为$72°$。
第一空结果：$\boldsymbol{45°或72°}$
2. （对应第二空：等腰三角形一个角比另一个角大$30°$）
设等腰三角形较小的内角为$x$，较大的内角为$x+30°$。
① 当顶角为$x$，底角为$x+30°$时：
$x+2(x+30°)=180°$，解得$x=40°$，顶角为$40°$；
② 当顶角为$x+30°$，底角为$x$时：
$2x+x+30°=180°$，解得$x=50°$，顶角为$80°$。
第二空结果：$\boldsymbol{40°或80°}$
3. （对应第三空：等腰三角形一边长为6，腰上的中线把周长分为两部分，其中一部分比另一部分长2）
设等腰三角形腰长为$a$，腰上的中线将腰分为两段长度均为$\frac{a}{2}$。
两部分周长差为$\left|(a+\frac{a}{2})-(\frac{a}{2}+6)\right|=|a-6|=2$，
解得$a=8$或$a=4$，均满足三角形三边关系。
第三空结果：$\boldsymbol{4或8}$
4. （对应第四空：等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线夹角为$50°$）
① 当顶角为锐角时，垂直平分线与另一腰交于腰上，顶角$=90°-50°=40°$；
② 当顶角为钝角时，垂直平分线与另一腰的延长线相交，顶角$=90°+50°=140°$。
第四空结果：$\boldsymbol{40°或140°}$
5. （对应第五空：沿BD折叠三角形纸片得到两个等腰三角形，求∠C的可能度数）
分类讨论所有符合等腰三角形条件的情况，得∠C的可能值为$20°、36°、45°$。
第五空结果：$\boldsymbol{20°或36°或45°}$

8. 已知线段$AB$的垂直平分线上有两点$C,D$,若$∠ ADB=80^{\circ },∠ CAD=10^{\circ }$,则$∠ ACB=$.

8. $60°$或$100°$ 解析:如图,$\because DE$垂直平分$AB$,垂足为$E$,$\therefore DA=DB$,$\therefore ∠ DAB=∠ DBA=\dfrac{1}{2}(180°-∠ ADB)=\dfrac{1}{2}×(180°-80°)=50°$.①当点$C$在线段$DE$上,$∠ CAD=10°$时,则$∠ CAB=50°-10°=40°$.$\because CA=CB$,$\therefore ∠ CAB=∠ CBA=40°$,$\therefore ∠ ACB=180°-40°-40°=100°$.②当点$C'$在$ED$的延长线上,$∠ C'AD=10°$时,则$∠ C'AB=50°+10°=60°$.$\because C'A=C'B$,$\therefore ∠ AC'B=60°$. 综上所述,$∠ ACB$的度数为$60°$或$100°$.

9. (2025·无锡期中) 在 $△ ABC$ 中, $AB=AC, AB$ 的垂直平分线与 $AC$ 所在直线相交所得的锐角为 $50°$, 则 $△ ABC$ 的底角 $∠ B=$.

9. $70°$或$20°$ 解析:符合题意的图形有两种:①如图①,当$△ ABC$为锐角三角形时,交点$D$在腰$AC$上.由题意可得$∠ ADE=50°$,故$∠ A=40°$,$\therefore ∠ B=∠ C=\dfrac{1}{2}×(180°-40°)=70°$.②如图②,当$△ ABC$为钝角三角形时,交点$D$在腰$CA$的延长线上.由题意可得$∠ ADE=50°$,故$∠ BAC=∠ ADE+∠ AED=140°$,$\therefore ∠ B=∠ C=\dfrac{1}{2}×(180°-140°)=20°$.综上所述,$∠ B=70°$或$20°$.

10. (绍兴中考) 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=40°$,$∠ BAC=80°$,以点$A$为圆心,$AC$长为半径作弧,交射线$BA$于点$D$,连接$CD$,则$∠ BCD$的度数是.

10. $10°$或$100°$ 解析:如图,有点$D$与点$D'$两种情况. ① 在$△ ABC$中,$∠ ABC=40°$,$∠ BAC=80°$,$\therefore ∠ ACB=180°-40°-80°=60°$,由作图可知$AC=AD$,$\therefore ∠ ACD=∠ ADC=\dfrac{1}{2}(180°-80°)=50°$,$\therefore ∠ BCD=∠ ACB-∠ ACD=60°-50°=10°$;②由作图可知$AC=AD'$,$\therefore ∠ ACD'=∠ AD'C$.$\because ∠ ACD'+∠ AD'C=∠ BAC=80°$,$\therefore ∠ AD'C=40°$,$\therefore ∠ BCD'=180°-∠ ABC-∠ AD'C=180°-40°-40°=100°$.综上所述,$∠ BCD$的度数是$10°$或$100°$.

11. 有一张三角形纸片$ABC$，$∠ A=80°$，点$D$是$AC$边上一点，沿$BD$方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则$∠ C$的度数可以是.

11. $25°$或$40°$或$10°$ 解析:由题意知$△ ABD$与$△ DBC$均为等腰三角形,对于$△ ABD$可能有①$AB=BD$,此时$∠ ADB=∠ A=80°$,$\therefore ∠ BDC=180°-∠ ADB=180°-80°=100°$,$∠ C=\dfrac{1}{2}×(180°-100°)=40°$;②$AB=AD$,此时$∠ ADB=\dfrac{1}{2}×(180°-∠ A)=\dfrac{1}{2}×(180°-80°)=50°$,$\therefore ∠ BDC=180°-∠ ADB=180°-50°=130°$,$∠ C=\dfrac{1}{2}×(180°-130°)=25°$;③$AD=BD$,此时$∠ ADB=180°-2×80°=20°$,$\therefore ∠ BDC=180°-∠ ADB=180°-20°=160°$,$∠ C=\dfrac{1}{2}×(180°-160°)=10°$.综上所述,$∠ C$的度数可以是$25°$或$40°$或$10°$.

12. 有一块直角三角形绿地,量得两直角边长分别为3 m,4 m,现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充时只能延长两条直角边中的一条,画出扩充后的等腰三角形绿地的示意图.

12. ①$BC=CD$,如图①;②$AC=CD$,如图②;③$AD=BD$,如图③;④$AB=BD$,如图④;⑤$AB=AD$,如图⑤;⑥$AC=CD$,如图⑥.