12. 利用完全平方公式进行简便计算：
(1)$301^2$；
(2)$99.9^2$。

解：
(1) $301^2=(300+1)^2$
$=300^2 + 2×300×1 + 1^2$
$=90000 + 600 + 1$
$=90601$
(2) $99.9^2=(100-0.1)^2$
$=100^2 - 2×100×0.1 + 0.1^2$
$=10000 - 20 + 0.01$
$=9980.01$

13. 已知$x+\frac{1}{x}=3$，求下列各式的值：
(1)$(x-\frac{1}{x})^2$；
(2)$x^4+\frac{1}{x^4}$。

解：
(1) 把$x+\frac{1}{x}=3$两边同时平方，得：
$(x+\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2· x·\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 9$
化简得：
$x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 = 9$
即$x^2 + \frac{1}{x^2} = 7$。
由完全平方公式可得：
$(x-\frac{1}{x})^2 = x^2 - 2· x·\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} - 2$
代入$x^2 + \frac{1}{x^2}=7$，得：
$(x-\frac{1}{x})^2 = 7 - 2 = 5$
(2) 把$x^2 + \frac{1}{x^2}=7$两边同时平方，得：
$(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = x^4 + 2· x^2·\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^4} = 49$
化简得：
$x^4 + \frac{1}{x^4} + 2 = 49$
即：
$x^4 + \frac{1}{x^4} = 47$
综上，(1)的值为5，(2)的值为47。

14.【背景】
对于两数和(差)的完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$中的三个代数式:$a\pm b,a^2+b^2$和$ab$,若已知其中任意两个代数式的值,则可求第三个代数式的值。由此解决下列问题:
【应用】
(1)若$(a+b)^2=49,ab=6$,求$a-b$的值。
【迁移】
(2)如图,在长方形$ABCD$中,$AB=14,AD=10$,点$E,F$分别是边$AD,AB$上的点,且$DE=BF=a$,分别以$AE,AF$为边在长方形$ABCD$外侧作正方形$AEMN$和正方形$APQF$。若长方形$AFGE$的面积为60,求图中两个正方形的面积之和。

解：
(1) 由完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，
将$(a+b)^2=49$，$ab=6$代入，得：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=49-2×6=37$，
又$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=37-2×6=25$，
所以$a-b=\pm5$。
(2) 由题意得：
$AE=AD-DE=10-a$，
$AF=AB-BF=14-a$，
两个正方形的面积之和为$AE^2+AF^2$。
已知长方形$AFGE$的面积为60，即$AE· AF=60$，
且$AF-AE=(14-a)-(10-a)=4$，
将等式两边平方得：$(AF-AE)^2=16$，
展开得：$AF^2-2AE· AF+AE^2=16$，
把$AE· AF=60$代入上式：
$AE^2+AF^2=16+2×60=136$。
答：图中两个正方形的面积之和为136。