9. 一次函数$y=kx+b$的图象经过点$(3,10)$，且$x$每增加一个单位长度时，$y$增加2个单位长度，则此一次函数的表达式为（）

A.$y=2x+4$
B.$y=-2x+16$
C.$y=x+7$
D.$y=\frac{1}{2}x+\frac{17}{2}$

9.A

【分析】
要确定一次函数的表达式，可使用待定系数法求解。首先明确一次函数中k的意义：x每变化1个单位时y的变化量，题目给出x每增加1个单位y增加2个单位，可先确定k的值；再将已知的函数经过的点代入含k的表达式，就能求出b的值，最终得到完整的函数表达式。
【解析】
首先，根据“x每增加1个单位长度时，y增加2个单位长度”，可得一次函数的斜率$k=2$，因此该一次函数可写为$y=2x+b$。
已知函数图象经过点$(3,10)$，将$x=3$，$y=10$代入$y=2x+b$，得：
$10 = 2×3 + b$
计算得$10=6+b$，解得$b=4$。
因此该一次函数的表达式为$y=2x+4$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题属于一次函数基础考题，解题关键是理解一次函数中k的实际意义，熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9

10. 传统文化情境化象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久.某次对弈的残图如图所示，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点$(-2,-1)$的位置，则在同一平面直角坐标系中，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数表达式为.

(第10题图)
(第11题图)

10.$y=x+1$

【分析】
要得到经过“帅”和“马”的一次函数表达式，首先需要确定两个点的坐标：①已知“帅”的坐标为$(-2,-1)$，结合象棋盘的方格，以向右为x轴正方向、向上为y轴正方向，每个方格边长为1个单位长度，数出“马”的坐标；②设一次函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将两个点的坐标代入表达式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，即可得到一次函数表达式。
【解析】
第一步：确定“马”的坐标
已知“帅”位于点$(-2,-1)$，可知坐标系中向右为x轴正方向，向上为y轴正方向，每个小方格边长为1个单位长度。数方格可得，“马”的横坐标为$-2+5=3$，纵坐标为$-1+5=4$，即“马”的坐标为$(3,4)$。
第二步：用待定系数法求一次函数表达式
设经过点$(-2,-1)$和$(3,4)$的一次函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将两点坐标分别代入表达式：
$\begin{cases} -2k + b = -1 \\ 3k + b = 4 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$5k=5$，解得$k=1$。
将$k=1$代入$-2k + b = -1$，得$-2×1 + b = -1$，解得$b=1$。
因此该一次函数表达式为$y=x+1$。
【答案】
$y=x+1$
【知识点】
坐标的确定；待定系数法；一次函数表达式
【点评】
本题结合中国象棋的情境，考查了平面直角坐标系中点的坐标识别，以及用待定系数法求一次函数表达式的基础方法，解题的关键是准确确定“马”的坐标，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7

11.如图，一条直线经过点A(-1,0),B(0,-2),将这条直线向上平移，与x轴、y轴分别交于点C,D.若OB=OD,则直线CD的函数表达式为.

11.$y=-2x+2$

【分析】
解题时首先需要求出原直线AB的函数表达式：因为直线CD是直线AB向上平移得到的，根据一次函数平移的性质，平移前后直线的斜率k相等。首先用待定系数法，将A、B两点坐标代入一次函数一般式，求出直线AB的k值；再结合OB=OD的条件，先算出OB的长度，得到OD的长度，结合向上平移的特点确定D点坐标（即直线CD的y轴截距），最后结合k值和截距就能写出直线CD的表达式。
【解析】
设直线AB的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），将点A(-1,0)、B(0,-2)代入解析式：
1. 当$x=0$时，$y=-2$，可得$b=-2$；
2. 将$b=-2$、A(-1,0)代入得：$0 = -k -2$，解得$k=-2$，即直线AB的解析式为$y=-2x-2$。
因为直线CD是直线AB向上平移得到的，所以直线CD的斜率$k=-2$。
由B(0,-2)可知$OB=2$，根据$OB=OD$得$OD=2$，又因为直线向上平移，D在y轴正半轴，所以D点坐标为(0,2)，即直线CD的y轴截距为2。
因此直线CD的函数表达式为$y=-2x+2$。
【答案】
$y=-2x+2$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数平移性质，一次函数图像特征
【点评】
本题是一次函数的基础应用题，核心考点是一次函数平移的性质和待定系数法的使用，解题的关键是明确平移前后一次函数的斜率不变，再结合线段长度条件确定平移后直线与y轴的交点，整体解题思路清晰，是一次函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7

12.（教材P48习题T13变式）（2024－2025·合肥蜀山区期末）已知$2y-3$与$3x+1$成正比例，且当$x=2$时，$y=5$.
（1）求$y$与$x$之间的函数表达式；
（2）将（1）中的函数图象向上平移1个单位长度，则平移后的图象与$x$轴的交点坐标为.

12. 解:(1)由题意,设$2y-3=k(3x+1)$.把$x=2,y=5$代入,得$2×5-3=k×(3×2+1)$,解得$k=1$.所以$2y-3=3x+1$.所以$y$与$x$之间的函数表达式为$y=\frac{3}{2}x+2$.(2)$(-2,0)$

【分析】
（1）根据正比例的定义，若两个量成正比例，可表示为$A=kB$（$k$为常数且$k≠0$）的形式，因此本题先设$2y-3=k(3x+1)$，再将已知的$x=2$、$y=5$代入式子求出$k$，最后整理为$y$关于$x$的函数形式即可。（2）一次函数图象上下平移遵循“上加下减常数项”的规律，向上平移1个单位即把原函数的常数项加1得到新函数；求图象与$x$轴的交点时，令$y=0$解出对应的$x$值，即可得到交点坐标。
【解析】
（1）解：
∵$2y-3$与$3x+1$成正比例，
∴设$2y-3=k(3x+1)$（$k≠0$），
把$x=2$，$y=5$代入上式，得：
$2×5-3=k×(3×2+1)$，
即$7=7k$，解得$k=1$，
将$k=1$代入所设式子，得$2y-3=3x+1$，
整理得$y=\frac{3}{2}x+2$。
（2）解：将函数$y=\frac{3}{2}x+2$的图象向上平移1个单位长度，根据平移规律可得平移后的函数表达式为：
$y=\frac{3}{2}x+2+1=\frac{3}{2}x+3$，
令$y=0$，则$\frac{3}{2}x+3=0$，
解得$x=-2$，
因此平移后的图象与$x$轴的交点坐标为$(-2,0)$。
【答案】
（1）$y=\frac{3}{2}x+2$；（2）$(-2,0)$
【知识点】
正比例定义，待定系数法，一次函数平移
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，综合考查了正比例的定义、待定系数法的应用以及一次函数图象的平移规律，解题核心是熟练掌握相关基础知识点，计算时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.8

13.一个“函数求值机”的示意图如图所示，其中y是x的函数。

通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值如下表。

根据以上信息，解答下列问题：
(1)当输入x的值为－3时，输出y的值为；
(2)求k，b的值；
(3)当输出y的值为6时，求输入x的值。

13. 解:(1)$-5$ (2)将$(5,4),(7,10)$代入$y=kx+b$,得$\begin{cases}5k+b=4,\\7k+b=10,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=3,\\b=-11.\end{cases}$(3)由(2),得当$x≥3$时,$y=3x-11$.若$x≥3$,把$y=6$代入$y=3x-11$,得$6=3x-11$,解得$x=\frac{17}{3}$;若$x＜3$,把$y=6$代入$y=2x+1$,得$2x+1=6$,解得$x=\frac{5}{2}$.所以当输出$y$的值为6时,输入$x$的值为$\frac{17}{3}$或$\frac{5}{2}$.

【分析】
本题考查分段函数的相关计算，解题思路如下：①首先明确函数的分段规则：以x=3为分界点，x＜3和x≥3对应不同的函数解析式；②第(1)问先判断x=-3所属的取值区间，选择对应解析式代入求值即可；③第(2)问求k、b使用待定系数法，将x≥3区间内给出的两组x、y对应值代入y=kx+b，得到二元一次方程组，解方程组即可求出系数；④第(3)问已知y值求x，需分x＜3和x≥3两种情况讨论，分别代入对应解析式求解，最后验证所得x是否符合对应区间的取值要求。
【解析】
(1) 由题意可知，当x＜3时，函数解析式为$y=2x+1$，
$\because -3 ＜ 3$，
$\therefore$ 将$x=-3$代入$y=2x+1$，得$y=2×(-3)+1=-5$。
(2) 当$x≥3$时，函数解析式为$y=kx+b$，将表格中$(5,4)$、$(7,10)$代入解析式，得：
$\begin{cases}5k+b=4 \\7k+b=10 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$2k=6$，解得$k=3$，
将$k=3$代入$5k+b=4$，得$15+b=4$，解得$b=-11$。
(3) 分两种情况讨论：
① 当$x＜3$时，将$y=6$代入$y=2x+1$，得$2x+1=6$，解得$x=\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}＜3$，符合取值要求；
② 当$x≥3$时，由(2)知此时解析式为$y=3x-11$，将$y=6$代入得$3x-11=6$，解得$x=\frac{17}{3}$，$\frac{17}{3}＞3$，符合取值要求。
综上，输入x的值为$\frac{17}{3}$或$\frac{5}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-5}$
(2) $\boldsymbol{k=3}$，$\boldsymbol{b=-11}$
(3) $\boldsymbol{\frac{17}{3}}$或$\boldsymbol{\frac{5}{2}}$
【知识点】
分段函数的应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数代入求值
【点评】
本题围绕分段函数的求值、解析式求解展开，重点考查分类讨论思想的运用，解题时要注意不同自变量范围对应不同的解析式，求解未知自变量时要注意验证结果是否符合对应的取值范围，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.65

14. 安徽热点双空题在平面直角坐标系中，已知一次函数 $ y = kx + b $（$ k,b $ 为常数且 $ k ≠ 0 $）。
(1) 当 $ b = 3k + 6 $ 时，该函数图象恒过一定点，则该定点的坐标为 ；
(2) 当 $ -2 ≤ x ≤ 2 $ 时，$ -8 ≤ y ≤ 4 $，则该函数的解析式为 。

14.(1)$(-3,6)$ (2)$y=3x-2$或$y=-3x-2$

【分析】
(1) 函数恒过定点的含义是：无论k取何非零值，该点坐标都满足函数解析式。因此我们将b=3k+6代入函数式，把含k的项合并，令k的系数为0，即可消去k的影响，求出定点坐标。
(2) 一次函数的增减性由k的符号决定：k＞0时y随x增大而增大，k＜0时y随x增大而减小。因此需要分k＞0和k＜0两种情况，分别代入x、y的端点值，用待定系数法求解k和b，得到函数解析式。
【解析】
(1) 将$b=3k+6$代入$y=kx+b$，得：
$y=kx+3k+6$，整理为$y=k(x+3)+6$
要使上式对任意$k≠0$恒成立，需满足$x+3=0$，即$x=-3$，此时$y=6$
因此定点坐标为$(-3,6)$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$k＞0$时，y随x的增大而增大，因此$x=-2$时$y=-8$，$x=2$时$y=4$，代入解析式得方程组：
$\begin{cases}-2k + b = -8 \\2k + b = 4 \end{cases}$
两式相加得$2b=-4$，解得$b=-2$，将$b=-2$代入$2k + b =4$，得$2k=6$，解得$k=3$，此时解析式为$y=3x-2$。
② 当$k＜0$时，y随x的增大而减小，因此$x=-2$时$y=4$，$x=2$时$y=-8$，代入解析式得方程组：
$\begin{cases}-2k + b = 4 \\2k + b = -8 \end{cases}$
两式相加得$2b=-4$，解得$b=-2$，将$b=-2$代入$2k + b =-8$，得$2k=-6$，解得$k=-3$，此时解析式为$y=-3x-2$。
综上，函数解析式为$y=3x-2$或$y=-3x-2$。
【答案】
(1)$(-3,6)$；(2)$y=3x-2$或$y=-3x-2$
【知识点】
一次函数性质，待定系数法，函数定点问题
【点评】
本题是一次函数的常考题型，第一问的核心是通过消去参数k求解定点，第二问需要结合一次函数的增减性分类讨论，避免遗漏k为负数的情况，考查学生分类讨论的思想和基础计算能力。
【难度系数】
0.7