8 解二元一次方程组$\begin{cases}4x -5y=17, \\4x +7y=-19\end{cases}$时，用代入消元法整体消去4x，得到的方程是（ ）

A.$2y=-2$
B.$2y=-36$
C.$12y=-36$
D.$12y=-2$

8. C

【分析】
要使用代入消元法整体消去4x，首先需要从其中一个方程中将4x用含y的式子表示出来，再将其代入另一个方程替换掉4x，即可得到只含y的一元一次方程。具体思考步骤：第一步，对第一个方程移项，把4x单独放在等号一侧；第二步，将表示4x的式子代入第二个方程；第三步，合并同类项整理即可得到结果。
【解析】
记方程组为$\begin{cases}4x -5y=17&① \\4x +7y=-19&②\end{cases}$
第一步：由方程①移项可得：$4x=17+5y$ ③
第二步：将③整体代入方程②，替换②中的$4x$，可得：
$17+5y+7y=-19$
第三步：合并同类项、移项整理：
$12y=-19-17$
即$12y=-36$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.代入消元法
2.整体代入思想
【点评】
本题考查代入消元法中整体代入的应用，整体代入可减少计算量，是解二元一次方程组的常用技巧，解题时注意移项的符号问题，细心计算即可。
【难度系数】
0.8

9 对于二元一次方程组$\begin{cases}······①, \\ x - 3y = 5②,\end{cases}$将①代入②，消去$y$可得$x - 3x - 6 = 5$，则方程①是（ ）

A.$y = x - 2$
B.$y = x + 2$
C.$x = 2y - 1$
D.$x = 2y + 1$

9. B

【分析】
本题考查代入消元法的逆向运用，解题思路有两种：一是逆推法，抓住代入消元的本质，即把①中用x表示y的式子代入②的y位置，对比代入后得到的式子和原②式，反推出①的形式；二是代入验证法，将各选项依次代入②，看是否能得到题目给出的化简结果，同时注意题目要求是消去y，因此①应该是用x表示y的形式，可先排除不符合形式的选项。
【解析】
方法一：逆推法
已知方程②为$x - 3y = 5$，将①代入②消去y后得到$x - 3x - 6 = 5$，说明代入时是将y替换为含x的代数式，即：
$x - 3×(\mathrm{①中}y\mathrm{的表达式}) = x - 3x - 6$
对比等式两边可得：$3×(\mathrm{①中}y\mathrm{的表达式}) = 3x + 6$
两边同时除以3，得$y = x + 2$，即方程①为$y = x + 2$。
方法二：代入验证法
首先题目要求消去y，说明①是用x表示y的形式，可先排除C、D两个用y表示x的选项；
将A选项$y = x - 2$代入②，得$x - 3(x - 2) = 5$，展开为$x - 3x + 6 = 5$，不符合题意，排除；
将B选项$y = x + 2$代入②，得$x - 3(x + 2) = 5$，展开为$x - 3x - 6 = 5$，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
代入消元法，代数式运算，二元一次方程组
【点评】
本题从逆向角度考查代入消元法的运用，既可以通过逆推快速求解，也可以通过代入验证排除错误选项，能帮助我们更好地理解代入消元法的核心逻辑。
【难度系数】
0.8

10 由方程组$\begin{cases}2x + m = 1, \\ m = y - 3,\end{cases}$可得$x$与$y$的关系是 ______ 。

10. $2x+y=4$

【分析】
本题要得到x与y的关系，核心是消去方程组中的公共参数m。我们可以利用本节课学习的代入消元法，将第二个方程里表示m的式子直接代入第一个方程，替换掉m，再通过等式的变形整理就能得到只含x和y的关系式。
【解析】
记方程组为：
$\begin{cases}2x + m = 1&① \\ m = y - 3&②\end{cases}$
第一步，将②式代入①式，替换①式中的m，可得：
$2x + (y - 3) = 1$
第二步，去括号得：
$2x + y - 3 = 1$
第三步，移项合并常数项：
$2x + y = 1 + 3$
即$2x + y = 4$
【答案】
$2x+y=4$
【知识点】
代入消元法、等式的基本性质、代数式变形
【点评】
本题是消元思想的基础应用，解题关键是明确消去中间参数m的目标，通过代入替换实现消参，再做简单的整式变形即可得到结果，主要考查基础运算能力和对消元思路的理解。
【难度系数】
0.8

11 已知方程组$\begin{cases}2x+y=7①, \\x=y-1②\end{cases}$的解也是关于x，y的方程$ax+y=4$的一个解，则a的值为 ______ .

11. $\frac{1}{2}$ 【解析】把②代入①，得$2(y-1)+y=7$，解得$y=3$。将$y=3$代入①，解得$x=2$。把$x=2,y=3$代入方程$ax+y=4$，得$2a+3=4$，解得$a=\frac{1}{2}$。

【分析】
本题需先求出已知二元一次方程组的解，再将解代入含参数$a$的方程求出$a$的值。思考路径如下：首先观察方程组，第二个方程已经用含$y$的代数式表示出$x$，适合用代入消元法求解方程组；得到$x$、$y$的具体值后，由于该解同时满足方程$ax+y=4$，将$x$、$y$代入后即可得到只含$a$的一元一次方程，求解该方程就能得到$a$的值。
【解析】
把②代入①，得$2(y-1)+y=7$，
去括号得：$2y-2+y=7$，
合并同类项得：$3y=9$，
解得$y=3$。
将$y=3$代入②，得$x=3-1=2$，
即方程组的解为$\begin{cases}x=2 \\ y=3\end{cases}$。
把$\begin{cases}x=2 \\ y=3\end{cases}$代入方程$ax+y=4$，得$2a+3=4$，
移项得$2a=1$，
解得$a=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
代入消元法，二元一次方程组的解，一元一次方程的解法
【点评】
本题是代入消元法的常规基础考题，解题核心是先求出方程组的公共解，再利用方程解的定义代入含参数的方程求解参数，整体逻辑清晰，运算量小。
【难度系数】
0.8

12 用代入消元法解下列方程组：
(1) [2025 淄博] $\begin{cases} x - \dfrac{y}{2} = 2, \\ 2x + 3y = 12; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 3(y+2)=x-1, \\ 5y - 2(x-1)=8; \end{cases}$
(3) $\dfrac{3x + 4y}{3} = \dfrac{x - 2y}{6} = 2.$

12. (1) $\begin{cases}x=3, \\ y=2\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=-53, \\ y=-20\end{cases}$
(3) $\begin{cases}x=6, \\ y=-3\end{cases}$

【分析】
使用代入消元法解二元一次方程组的核心是通过“消元”将二元问题转化为一元一次方程求解，通用思考步骤如下：1. 观察方程组中各方程的系数，选择系数更简单的方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的代数式表示；2. 将变形后的式子代入另一个未变形的方程，消去一个未知数，得到一元一次方程；3. 解一元一次方程得到一个未知数的值；4. 将该值代回变形后的式子，求出另一个未知数的值；5. 代入原方程组检验是否成立。本题三个方程组分别对应常规代入、整体代入、连等式拆分转化三种常见考法，按照上述思路求解即可。
【解析】
(1) 解方程组 $\begin{cases} x - \dfrac{y}{2} = 2 \quad \mathrm{①} \\ 2x + 3y = 12 \quad \mathrm{②} \end{cases}$
由①变形得：$x = 2 + \dfrac{y}{2}$ ③
将③代入②得：$2(2 + \dfrac{y}{2}) + 3y = 12$
去括号：$4 + y + 3y = 12$
合并同类项、移项得：$4y = 8$
解得：$y = 2$
把$y=2$代入③得：$x = 2 + \dfrac{2}{2} = 3$
经检验，$\begin{cases}x=3 \\ y=2\end{cases}$是原方程组的解。
---
(2) 解方程组 $\begin{cases} 3(y+2)=x-1 \quad \mathrm{①} \\ 5y - 2(x-1)=8 \quad \mathrm{②} \end{cases}$
观察发现两个方程均含$(x-1)$，可整体代入简化计算：
由①得：$x-1 = 3(y+2)$ ③
将③代入②得：$5y - 2×3(y+2) = 8$
去括号：$5y -6y -12 = 8$
合并同类项、移项得：$-y = 20$
解得：$y = -20$
把$y=-20$代入③得：$x-1 = 3×(-20+2) = -54$，解得$x=-53$
经检验，$\begin{cases}x=-53 \\ y=-20\end{cases}$是原方程组的解。
---
(3) 先将连等式$\dfrac{3x + 4y}{3} = \dfrac{x - 2y}{6} = 2$拆分为标准二元一次方程组：
$\begin{cases} \dfrac{3x + 4y}{3} = 2 \quad \mathrm{①} \\ \dfrac{x - 2y}{6} = 2 \quad \mathrm{②} \end{cases}$
去分母化简两个方程：
由①得：$3x + 4y = 6$ ③
由②得：$x - 2y = 12$，变形得$x = 12 + 2y$ ④
将④代入③得：$3(12 + 2y) + 4y = 6$
去括号：$36 + 6y + 4y = 6$
合并同类项、移项得：$10y = -30$
解得：$y = -3$
把$y=-3$代入④得：$x = 12 + 2×(-3) = 6$
经检验，$\begin{cases}x=6 \\ y=-3\end{cases}$是原方程组的解。
【答案】
(1) $\begin{cases}x=3, \\ y=2\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=-53, \\ y=-20\end{cases}$
(3) $\begin{cases}x=6, \\ y=-3\end{cases}$
【知识点】
代入消元法，二元一次方程组求解，整体代入思想
【点评】
本题是代入消元法的基础训练题，覆盖了常规变形代入、整体简化代入、连等式转化三类常见题型，有助于熟练掌握代入消元的解题步骤，提升消元转化的运算能力。
【难度系数】
0.7

13 阅读材料，解决问题：
小军在解方程组 $\begin{cases}2x + 5y = 3①, \\4x + 11y = 5②\end{cases}$ 时，采用了“整体代入”的解法：将②变形，得 $4x + 10y + y = 5$，即 $2(2x + 5y) + y = 5$③。将①代入③，得 $2×3 + y = 5$，解得 $y = -1$。把 $y = -1$ 代入①，得 $2x - 5 = 3$，解得 $x = 4$。所以方程组的解为 $\begin{cases}x = 4, \\y = -1.\end{cases}$
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组 $\begin{cases}3x - 2y = 5①, \\9x - 4y = 19②.\end{cases}$

13. 将②变形，得 $9x-6y+2y=19$，即 $3(3x-2y)+2y=19$③。将①代入③，得 $3×5+2y=19$，解得 $y=2$。把 $y=2$ 代入①，得 $3x-4=5$，解得 $x=3$。所以方程组的解为 $\begin{cases}x=3, \\ y=2\end{cases}$

【分析】
首先观察方程组两个方程的未知数系数关系，发现方程②中x的系数9是方程①中x的系数3的3倍，因此可以将方程②变形，构造出含有方程①左边“3x-2y”的整体形式，再把①中3x-2y=5整体代入变形后的方程，先消去x求出y的值，再将y的值代入①求出x的值，就能得到方程组的解。
【解析】
将②变形，得 $9x-6y+2y=19$，即 $3(3x-2y)+2y=19$③。将①代入③，得 $3×5+2y=19$，计算得$15+2y=19$，移项解得 $y=2$。把 $y=2$ 代入①，得 $3x-4=5$，移项解得 $x=3$。所以方程组的解为 $\begin{cases}x=3, \\ y=2\end{cases}$
【答案】
$\begin{cases}x=3, \\ y=2\end{cases}$
【知识点】
1.整体代入思想 2.代入消元法解二元一次方程组
【点评】
本题属于方法模仿类题目，解题核心是抓住整体代入的技巧，通过观察方程系数的倍数关系，将待解方程变形构造出可整体代入的形式，能大幅简化消元步骤，降低计算量。
【难度系数】
0.8